數(shù)字信號(hào)處理-數(shù)字信號(hào)習(xí)題

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1、2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 第 三 章 習(xí) 題 講 解 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 1, 0 4( ) 0,n nx n n 其 他3 設(shè) 4( ) ( 2)h n R n 令 ， ，6( ) ( )x n x n 6( ) ( )h n h n試 求 與 的 周 期 卷 積 并 作 圖 。 ( )x n ( )h n解 ： 10( ) ( ) ( )Nmy n x m h n m 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1

2、 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 0 6 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m /x n m h m 1h m 2h m 3h m 4h m 5h m /h n m 14 12 10 8 6 10 ( )y n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 4. 已 知 如 圖 P3-4（ a） 所 示 ， 為 ， 試畫 出 ，

3、 ， ， ， ， 等 各 序 列 。 1,1,3,2( )x n 5( )x n 6 6( ) ( )x n R n 3 3( ) ( )x n R n6( )x n 5 5( 3) ( )x n R n 7 7( ) ( )x n R n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理5( )x n 6( )x n 6 6( ) ( )x n R n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理5 5( 3) ( )x n R n 3 3( ) ( )x n R n7 7( ) ( )x n R n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 5. 試 求 以 下 有 限 長(zhǎng) 序 列 的 點(diǎn) （

4、閉 合 形 式 表達(dá) 式 ） ： N DFT0( ) cos( ) ( )Nx n a n R n(1) 10( ) ( ) ( )N nkN NnX k x n W R k解 ： 0 0 2101 ( ) ( )2 N j nkj n j n N Nna e e e R k 21 00 cos( ) ( )N j nkN Nn a n e R k 0 02 21 1( ) ( )0 01 ( )2 N Nj k n j k nN N Nn na e e R k 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 0 00 02 2( ) ( )1 1 1 ( )2 1 1j N j N Nj k j

5、 kN Ne ea R ke e 0 0 00 0 02 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 21 ( )2 ( )N N Nj j jj k j k j kN N Ne e ea e e e 0 0 00 0 02 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )2 2 2( ) ( )( )N N Nj j j Nj k j k j kN N Ne e e R ke e e 0 00 01 12 20 0sin( ) sin( )1 2 2 ( )1 12 sin( ) sin( )2 2N Nj k j j k jN N NN Na e e R kk kN N 2

6、021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 210 ( )N j nkn N Nn a e R k (2) ( ) ( )n Nx n a R n 10( ) ( ) ( )N nkN NnX k x n W R k解 ： 21 ( )1 N Nj kNa R kae 210 ( )nN j kN Nn ae R k 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 210 ( ) ( )N j nkN Nn x n e R k 21 00 ( ) ( )N j nkN Nn n n e R k 02 ( )j n kN Ne R k(3) 0( ) ( )x n n n 00 n N 10( ) (

7、 ) ( )N nkN NnX k x n W R k解 ： 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 1 ( 2 / )01( ) ( )N j N n kkx n X k eN 6. 如 圖 P3-6（ a） 畫 出 了 幾 個(gè) 周 期 序 列 ， 這些 序 列 可 以 表 示 成 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) ( )x n（ 1） 哪 些 序 列 能 夠 通 過 選 擇 時(shí) 間 原 點(diǎn) 使 所 有 的 成 為 實(shí) 數(shù) ？ ( )X k（ 2） 哪 些 序 列 能 夠 通 過 選 擇 時(shí) 間 原 點(diǎn) 使 所 有 的 （ 除 外 ） 成 為 虛 數(shù) ？( )X k (0)X（ 3） 哪 些 序 列

8、能 做 到 ，( ) 0X k 2, 4, 6,.k 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 為 共 軛 對(duì) 稱 序 列 ， 即 滿 足 實(shí) 部 偶 對(duì) 稱 ， 虛 部奇 對(duì) 稱 （ 以 為 軸 ） 。( )x n 0n 即 是 以 為 對(duì) 稱 軸 的 偶 對(duì) 稱( )x n 0n解 :（ 1） 要 使 為 實(shí) 數(shù) ， 根 據(jù) DFT的 性 質(zhì) :( )X k( ) ( ) Re ( )ex n x n X k ( ) 0 Im ( ) 0ox n j X k ( )x n ( )x n( ) ( )x n x n 又 由 圖 知 ， 為 實(shí) 序

9、 列 ， 虛 部 為 零 ， 故 應(yīng)滿 足 偶 對(duì) 稱 ： 故 第 二 個(gè) 序 列 滿 足 這 個(gè) 條 件 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 為 共 軛 反 對(duì) 稱 序 列 ， 即 滿 足 實(shí) 部 奇 對(duì) 稱 ， 虛部 偶 對(duì) 稱 （ 以 為 軸 ） 。( )x n 0n 即 是 以 對(duì) 稱 軸 的 奇 對(duì) 稱( )x n 0n （ 2） 要 使 為 虛 數(shù) ， 根 據(jù) DFT的 性 質(zhì) :( )X k ( ) 0 Re ( ) 0ex n X k ( ) ( ) Im ( )ox n x n j X k ( )x n ( )x n( ) ( )x n x n 又 由 圖 知 ， 為

10、 實(shí) 序 列 ， 虛 部 為 零 ， 故 應(yīng)滿 足 奇 對(duì) 稱 ： 故 這 三 個(gè) 序 列 都 不 滿 足 這 個(gè) 條 件 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 （ 3） 由 于 是 8點(diǎn) 周 期 序 列 ， 其 DFS:23 81 0 4 41 1 ( 1)( ) 1 1j k kj nk j k j kn eX k e e e 當(dāng) 時(shí) ， 2, 4, 6,.k 1( ) 0X k 序 列 2: 32 442 0 41( ) 1 j kj nk j kn eX k e e 21 7 80 0( ) ( ) ( )N j nknkNn nX k x n W x n e 序 列 1:當(dāng) 時(shí)

11、 ， 2, 4, 6,.k 1( ) 0X k 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 序 列 3: 3 1 1( ) ( ) ( 4)x n x n x n 根 據(jù) 序 列 移 位 性 質(zhì) 可 知3 1 1 41 ( 1)X ( ) X ( ) X ( ) (1 )1 kj k j k j kk k e k e e 當(dāng) 時(shí) ， 2, 4, 6,.k 3( ) 0X k 綜 上 所 得 ， 第 一 個(gè) 和 第 三 個(gè) 序 列 滿 足 ( ) 0X k 2, 4,.k 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 8. 下 圖 表 示 一 個(gè) 5點(diǎn) 序 列 。( )x n（ 1） 試 畫 出

12、； ( ) ( )x n x n（ 2） 試 畫 出 ； ( )x n ( )x n（ 3） 試 畫 出 ； ( )x n ( )x n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 ( ) ( )x n x n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 ( )x n ( )x n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 ( )x n ( )x n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 9. 設(shè) 有 兩 個(gè) 序 列 ( ), 0 5( ) 0,x n nx n n 其 他( ), 0 14( ) 0,y n ny n n 其 他 各 作 15點(diǎn) 的 DFT， 然 后 將 兩 個(gè) DF

13、T相 乘 ， 再 求乘 積 的 IDFT， 設(shè) 所 得 結(jié) 果 為 ， 問 的哪 些 點(diǎn) （ 用 序 號(hào) 表 示 ） 對(duì) 應(yīng) 于 應(yīng)該 得 到 的 點(diǎn) 。 ( )f n ( )f nn ( ) ( )x n y n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 解 : 序 列 的 點(diǎn) 數(shù) 為 ， 的 點(diǎn) 數(shù) 為 ，故 的 點(diǎn) 數(shù) 應(yīng) 為( )x n 1 6N ( )y n 2 15N ( ) ( )x n y n 1 2 1 20N N N 0n 4( 1)n N L 0 19( 1)N ( )f n ( )x n ( )y n又 為 與 的 15點(diǎn) 的 圓 周 卷 積 ， 即 L 15。是 線

14、 性 卷 積 以 15為 周 期 周 期 延 拓 后 取 主 值 序 列混 疊 點(diǎn) 數(shù) 為 N L 20 15 5( )f n 5n 14n ( ) ( )x n y n故 中 只 有 到 的 點(diǎn) 對(duì) 應(yīng) 于 應(yīng) 該 得 到 的 點(diǎn) 。15 4( 1)L N ( )L 15 34( 1)L N ( )L 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 10. 已 知 兩 個(gè) 有 限 長(zhǎng) 序 列 為1, 0 3( ) 0, 4 6n nx n n 1, 0 4( ) 1, 5 6ny n n 試 用 作 圖 表 示 ， 以 及 。( )x n ( )y n ( ) ( )f n x n ( )y n

15、 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 0 0 0-1 -1 -1 -1 -1 1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1-1 1 1 -1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 -1 -1 -1-1 -1 -1 1 1 -1 -1-1 -1 -1 -1 1 1 -1-1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1n m /x

16、n m /y n m 77y m R n 771y m R n 772y m R n 773y m R n 774y m R n 775y m R n 7y m 7y m 776y m R n 0 4 -2 -10 -10 -8 ( )f n-4 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 11.已 知 是 N點(diǎn) 有 限 長(zhǎng) 序 列 ， 。現(xiàn) 將 長(zhǎng) 度 變 成 rN點(diǎn) 的 有 限 長(zhǎng) 序 列( )x n ( ) ( )X k DFT x n( )y n( ), 0 1( ) 0, 1x n n Ny n N n rN 試 求 rN點(diǎn) 與 的 關(guān) 系 。 ( )DFT y n ( )X k解

17、： 由 210( ) ( ) ( ) ,0 1N j nkNnX k DFT x n x n e k N 得 10( ) ( ) ( )rN nkrNnY k DFT y n y n W 210 ( ) kN j nN rn x n e 10 ( )N nkrNn x n W, 0,1,., 1k lr l N kX r 210 ( )N j nkrNn x n e 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 在 一 個(gè) 周 期 內(nèi) ， Y (k)的 抽樣 點(diǎn) 數(shù) 是 X (k)的 r倍 ( Y (k)的 周 期 為 Nr)， 相 當(dāng) 于 在X (k)的 每 兩 個(gè) 值 之 間 插入 r-1個(gè)

18、 其 他 值 （ 不 一 定為 零 ） ， 而 當(dāng) k為 r的 整 數(shù)l倍 時(shí) ， Y (k)與 X (k / r)相等 。 相 當(dāng) 于 頻 域 插 值210( ) ( ) 0 1N j nkNnX k x n e k N , 0,1,., 1k lr l N ( ) kY k X r 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 12. 已 知 是 N點(diǎn) 的 有 限 長(zhǎng) 序 列 ， ，現(xiàn) 將 的 每 兩 點(diǎn) 之 間 補(bǔ) 進(jìn) 個(gè) 零 值 點(diǎn) ， 得 到一 個(gè) rN點(diǎn) 的 有 限 長(zhǎng) 序 列 ( )x n ( ) ( )X k DFT x n( )x n 1r( )y n( ), , 0,1,.,

19、 1( ) 0,x n r n ir i Ny n n 其 他試 求 rN點(diǎn) 與 的 關(guān) 系 。 ( )DFT y n ( )X k解 ： 由 10( ) ( ) ( ) ,0 1N nkNnX k DFT x n x n W k N 10( ) ( ) ( )rN nkrNnY k DFT y n y n W 得 10 ( )N irkrNi x ir r W 0 1k rN 10 ( )N ikNi x i W 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 故 ( ) ( ) ( )N rNY k X k R k 離 散 時(shí) 域 每 兩 點(diǎn) 間 插入 r -1個(gè) 零 值 點(diǎn) ， 相當(dāng) 于 頻

20、 域 以 N為 周 期延 拓 r次 ， 即 Y(k)周 期為 rN。 10( ) ( ) 0 1N nkNnX k x n W k N 0 1k rN 10( ) ( )N ikNiY k x i W 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 14.設(shè) 有 一 譜 分 析 用 的 信 號(hào) 處 理 器 ， 抽 樣 點(diǎn) 數(shù) 必 須為 2的 整 數(shù) 冪 ， 假 定 沒 有 采 用 任 何 特 殊 數(shù) 據(jù) 處 理措 施 ， 要 求 頻 率 分 辨 力 ， 如 果 采 用 的 抽樣 時(shí) 間 間 隔 為 0.1ms， 試 確 定 ： （ 1） 最 小 記 錄 長(zhǎng)度 ； （ 2） 所 允 許 處 理 的

21、信 號(hào) 的 最 高 頻 率 ； （ 3）在 一 個(gè) 記 錄 中 的 最 少 點(diǎn) 數(shù) 。10Hz 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 解 :（ 1） 因 為 ， 而 ， 所 以0 01T F 0 10F Hz 0 110T s即 最 小 記 錄 長(zhǎng) 度 為 0.1s。（ 2） 因 為 ， 而31 1 10 100.1sf kHzT 2s hf f1 52h sf f kHz 即 允 許 處 理 的 信 號(hào) 的 最 高 頻 率 為 。5kHz 又 因 N必 須 為 2的 整 數(shù) 冪 ， 所 以 一 個(gè) 記 錄 中 的最 少 點(diǎn) 數(shù) 為 30 0.13 10 10000.1TN T （ ）

22、102 1024N 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 19. 復(fù) 數(shù) 有 限 長(zhǎng) 序 列 是 由 兩 個(gè) 實(shí) 有 限 長(zhǎng) 序 列 和 組 成 的 ，且 已 知 有 以 下 兩 種 表 達(dá) 式 ： f n x n 0 1y n n N f n x n jy n F k DFT f n 1 11 1 1N Nk kN Na bF k jaW bW 2 1F k jN 其 中 為 實(shí) 數(shù) 。 試 用 求,a b F k ,X k DFT x n ,Y k DFT y n ,x n y n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 1 11 1 1N Nk kN Na bF k jaW b

23、W ( ) ( ) ( ) ( )F k DFT f n DFT x n jy n 解 ： 由 DFT的 線 性 性 ( ) ( )DFT x n jDFT y n ( ) ( )X k jY k ( ) ( ) Re ( )X k DFT x n DFT f n ( )epF k *1 ( ) ( ) ( )2 N NF k F N k R k 由 共 軛 對(duì) 稱 性 得 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 *1 1 1 1 1 ( )2 1 1 1 1N N N N Nk k N k N kN N N Na b a bj j R kaW bW aW bW * *1 1 1 1 1

24、( )2 1 1 1 1N N N N Nk k k kN N N Na b a bj j R kaW bW a W b W *1( ) ( ) ( ) ( )2 N NX k F k F N k R k 1 ( )1 N NkNa R kaW 10 ( )N n knN Nn a W R k 1 ( )1 NkN NkNaW R kaW ( ) ( )n Nx n a R n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 ( ) ( ) Im ( )Y k DFT y n DFT f n 1 ( )opF kj *1 ( ) ( ) ( )2 N NF k F N k R kj *1 1 1

25、1 1 ( )2 1 1 1 1N N N N Nk k N k N kN N N Na b a bj j R kj aW bW aW bW * *1 1 1 1 1 ( )2 1 1 1 1N N N N Nk k k kN N N Na b a bj j R kj aW bW a W b W 1 ( )1 N NkNb R kbW 1 0 ( )N n knN Nn b W R k 1 ( )1 NkN NkNbW R kbW ( ) ( )n Ny n b R n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 *1 1 1 ( )2 NjN jN R k 1 1 1 ( )2 NjN jN

26、 R k ( )NR k( ) ( )x n n ( ) ( ) Re ( )X k DFT x n DFT f n ( )epF k *1 ( ) ( ) ( )2 N NF k F N k R k 2 1F k jN 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 *1 1 1 ( )2 NjN jN R kj 1 1 1 ( )2 NjN jN R kj ( )NNR k( ) ( )y n N n ( ) ( ) Im ( )Y k DFT y n DFT f n 1 ( )opF kj *1 ( ) ( ) ( )2 N NF k F N k R k 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào)

27、處 理 20. 已 知 序 列 現(xiàn) 對(duì) 于 x(n) 的 變 換 在 單 位 圓 上 等 分 抽 樣 ， 抽 樣 值 為 試 求 有 限 長(zhǎng) 序 列 , 點(diǎn) 。 IDFT X k ,0 1,nx n a u n a z N 2j kk NNz W eX k X z N 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 ( ) ( ), 0 1nx n a u n a 解 ： 由 10 1( ) ( ) 1nnX z x n z az 得 11( ) ( ) 1kN kNz W z WX k X z az 11 kNaW 1 11 1 N NkNN kNa Wa aW 1011 N nkNN n aW

28、a 1011 N n nkNN n a Wa 1 ( ) ( )1 n NNIDFT X k a R na 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 ( ) ( ) ( ) kN nkNz W nX k N Wz nX X z x 對(duì) 在 單 位 圓 上 點(diǎn) 等 間 隔 抽 樣 ， 得 周 期 序 列 ：( )X k IDFS 的 ：( ) ( )N rx n x n rN ( ) ( ) ( )NN X k X k R k 點(diǎn) ( ) ( )x n IDFT X k 1 ( )1 n NN a R na ( ) ( )N Nx n R n ( ) ( )n rN Nr a u n rN R

29、 n 0 ( )n rN Nr a R n 0 ( )rn N Nra a R n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 26. 研 究 一 個(gè) 離 散 時(shí) 間 序 列 ， 由 形 成 兩 個(gè)新 序 列 和 ， 其 中 相 當(dāng) 于 以 抽 樣周 期 為 2對(duì) 抽 樣 而 得 到 ， 而 則 是 以 2對(duì) 進(jìn) 行 抽 取 而 得 到 ， 即 x n x n px n dx n px n x n dx n x n , 0, 2, 4,0, 1, 3,p x n nx n n 2dx n x n(a)若 如 圖 P3 26 (a)所 示 ， 畫 出 和 。 x n px n dx n(b) 如

30、 圖 P3 26 (b)所 示 ， 畫 出 及 jX e DTFT x n jp pX e DTFT x n j d dX e DTFT x n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 ( )jX e 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 , 0, 2, 4,0, 1, 3,p x n nx n n 2dx n x n 2021-4-23 數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 1 ( )01( ) ( )sD j kjp kX e X eD ( ) ( )jj Dd pX e X e ( )jX e 34 54 2 2 3454 22 3232 ( )jdX e 2 342 ( )jpX e 34