數(shù)學(xué)物理方程FirstS

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1、7.2 節(jié) 定解條件 什 么 是 邊 界 ？由 連 接 研 究 對(duì) 象 和 環(huán) 境 的 所 有 點(diǎn) 組 成 的 物 理 區(qū)域?qū)?于 一 維 系 統(tǒng) ， 它 是 兩 個(gè) 端 點(diǎn)對(duì) 于 二 維 系 統(tǒng) ， 它 是 閉 合 曲 線(xiàn)對(duì) 于 三 維 系 統(tǒng) ， 它 是 封 閉 曲 面要 確 定 一 個(gè) 由 數(shù) 理 方 程 描 述 的 物 理 問(wèn) 題 的 解 ，必 須 給 定 所 有 邊 界 上 的 信 息 ： 確 切 說(shuō) 明 邊 界 上的 物 理 狀 況 邊 界 條 件常 見(jiàn) 的 線(xiàn) 性 邊 界 條 件 ， 數(shù) 學(xué) 上 分 為 三 類(lèi) ：第 一 類(lèi) 邊 界 條 件 ， 直 接 規(guī) 定 了 所 研 究 的

2、 物 理 量在 邊 界 上 的 數(shù) 值 。第 二 類(lèi) 邊 界 條 件 ， 規(guī) 定 了 所 研 究 物 理 量 在 邊 界外 法 線(xiàn) 方 向 上 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 數(shù) 值 。第 三 類(lèi) 邊 界 條 件 ， 規(guī) 定 了 所 研 究 物 理 量 及 其 外法 向 導(dǎo) 數(shù) 的 線(xiàn) 性 組 合 在 邊 界 上 的 數(shù) 值 。 邊 界 條 件第 一 類(lèi) 0 0 0 0 0 0boundary , , , , , , ,x y zu x y z t f x y z t第 二 類(lèi) 0 0 0 0 0 0boundary , , , , ,x y zu f x y z tn 第 三 類(lèi) 0 0 0 0 0 0

3、boundary , , , , ,n x y zu Hu f x y z t 課堂作業(yè)（5 分鐘）弦的橫振動(dòng)問(wèn)題，一端固定，另一端與一豎直彈簧相連，彈簧的另一端固定，求這個(gè)定解問(wèn)題的邊界條件。板書(shū)畫(huà)圖。筆記 P66 頁(yè)。 具 體 的 例 子 （ 第 一 類(lèi) 邊 界 條 件 ）弦 的 兩 端 固 定 而 振 動(dòng) ， 邊 界 條 件 為 0 0, 0 x x Lu u 具 體 的 例 子 （ 第 一 類(lèi) 邊 界 條 件 ）熱 傳 導(dǎo) 問(wèn) 題 ， 桿 的 兩 端 恒 溫 ， 邊 界 條 件 為 Fire Ice0, , ,x x Lu x t u u x t u 具 體 的 例 子 （ 第 二 類(lèi)

4、 邊 界 條 件 ） 具 體 的 例 子 （ 第 二 類(lèi) 邊 界 條 件 ）板書(shū)推導(dǎo)筆記 P1 P2 頁(yè) 具 體 的 例 子 （ 第 二 類(lèi) 邊 界 條 件 ）縱 振 動(dòng) 桿 一 端 受 沿 外 法 向 方 向 外 力 ， 根 據(jù) 胡 克定 律 ， 邊 界 條 件 為 x L F tux YS 具 體 的 例 子 （ 第 二 類(lèi) 邊 界 條 件 ）一 端 有 已 知 熱 流 流 入 的 熱 傳 導(dǎo) 問(wèn) 題 ， 根 據(jù) 熱 傳導(dǎo) 定 律 ， 邊 界 條 件 為 x Luk F tx 板書(shū)推導(dǎo) 具 體 的 例 子 （ 第 三 類(lèi) 邊 界 條 件 ） 具 體 的 例 子 （ 第 三 類(lèi) 邊 界 條

5、件 ）板書(shū)推導(dǎo)筆記 P2 頁(yè) 具 體 的 例 子 （ 第 三 類(lèi) 邊 界 條 件 ）桿 的 一 端 通 過(guò) 彈 簧 與 固 定 點(diǎn) 連 接 ， 經(jīng) 過(guò) 受 力 分析 ， 邊 界 條 件 為 0 x LuKu YS x 一 個(gè) 完 整 的 定 解 問(wèn) 題 的 邊 界 條 件 可 以 是 三 類(lèi) 邊界 條 件 的 組 合 ， 例 如 ： 一 端 固 定 另 一 端 受 力 的 桿 的 縱 振 動(dòng) 問(wèn) 題 的 完整 邊 界 條 件 為 （ 第 一 類(lèi) 和 第 二 類(lèi) 邊 界 條 件 的組 合 ） 0 0,x x L F tuu x YS 一 端 恒 溫 ， 另 一 端 有 已 知 熱 流 的 熱 傳

6、 導(dǎo) 問(wèn) 題的 完 整 邊 界 條 件 為 （ 第 一 類(lèi) 和 第 二 類(lèi) 邊 界 條件 的 組 合 ） Fire0 ,x x Luu u k F tx 還 有 其 他 類(lèi) 型 的 邊 界 條 件 邊 界 條 件 只 要 確 切 說(shuō) 明 邊 界 上 的 物 理狀 況 就 行 。具 體 問(wèn) 題 具 體 分 析 ： 把 物 理 定 律 應(yīng) 用到 邊 界 上 ， 就 能 得 到 需 要 的 邊 界 條 件 。 沒(méi) 有 邊 界 條 件 的 問(wèn) 題 拿 弦 振 動(dòng) 問(wèn) 題 為 例 , 如 果 弦 很 長(zhǎng) , 著 重 研 究 靠近 一 端 的 那 段 弦 。 在 不 太 長(zhǎng) 的 時(shí) 間 里 , 另 一 端

7、的 影 響 還 沒(méi) 來(lái) 得 及 傳 到 ， 不 妨 認(rèn) 為 另 一 端 并 不存 在 ， 或 者 說(shuō) 另 一 端 在 無(wú) 限 遠(yuǎn) ， 當(dāng) 然 就 無(wú) 需 提出 另 一 端 的 邊 界 條 件 。 這 樣 ， 有 限 長(zhǎng) 的 真 實(shí) 的弦 抽 象 成 半 無(wú) 界 的 弦 。 如 果 著 重 研 究 不 靠 近 兩 端 的 那 段 弦 ， 不 妨 認(rèn)為 兩 端 都 不 存 在 ， 或 者 說(shuō) 兩 端 都 在 無(wú) 限 遠(yuǎn) ， 當(dāng)然 就 無(wú) 需 提 出 邊 界 條 件 了 。 這 樣 ， 有 限 長(zhǎng) 的 真實(shí) 的 弦 抽 象 成 無(wú) 界 的 弦 。看書(shū) 銜 接 條 件針 對(duì) 研 究 區(qū) 域 里 的 躍

8、 變 點(diǎn) ， 泛 定 方 程 在 躍 變 點(diǎn)失 去 意 義板書(shū)推導(dǎo)筆記 P 23 頁(yè) 銜 接 條 件針 對(duì) 研 究 區(qū) 域 里 的 躍 變 點(diǎn) ， 泛 定 方 程 在 躍 變 點(diǎn)失 去 意 義板書(shū)推導(dǎo) 數(shù)學(xué)物理方程的分類(lèi)偏微分方程的分類(lèi)觀看動(dòng)畫(huà)偏微分方程：關(guān)于具有多個(gè)獨(dú)立變量的未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程。不同物理現(xiàn)象可以由相同的偏微分方程描述，因而具有相同的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。（舉例說(shuō)明） 線(xiàn)性二階偏微分方程線(xiàn)性二次指數(shù) 線(xiàn) 性 二 階 偏 微 分 方 程滿(mǎn) 足 如 下 特 征 的 函 數(shù) 稱(chēng) 為 線(xiàn) 性 函 數(shù) ：1. 疊 加 性 , .f x y f x f yf x kxf x y k x y k

9、x ky 板書(shū)推導(dǎo)反例 線(xiàn) 性 二 階 偏 微 分 方 程滿(mǎn) 足 如 下 特 征 的 函 數(shù) 稱(chēng) 為 線(xiàn) 性 函 數(shù) ：2. 常 數(shù) 因 子 不 變 , .f ax af xf x kxf ax k ax a kx 板書(shū)推導(dǎo)反例 線(xiàn) 性 二 階 偏 微 分 方 程其 中 ,aij, bi, c, f 只 是 x1,x2,xn 的 函 數(shù) ,就 叫 做線(xiàn) 性 的 方 程 .1 1 1 0, i j in n nij x x i xj i ia u bu cu f 二 階 偏 微 分 方 程 如 果 可 以 表 示 為0,f 則 方 程 稱(chēng) 為 齊 次 的 ,否 則 叫 非 齊 次 的 .板書(shū)驗(yàn)證

10、線(xiàn)性 解釋P3頁(yè) 筆記 P68頁(yè), , ,x y z t 課 堂 作 業(yè) （ 5 分 鐘 ）2 22 2 2 222 22 0, 0,0,0.u u u ua ut x t xu uat xu 1. 如 下 方 程 是 否 為 線(xiàn) 性 偏 微 分 方 程 ？ 給 出 說(shuō) 明 。 如 果 泛 定 方 程 和 定 解 條 件 都 是 線(xiàn) 性 的 ， 可 以 把定 解 問(wèn) 題 的 解 看 作 幾 個(gè) 部 分 的 線(xiàn) 性 疊 加 ， 只 要這 些 部 分 各 自 所 滿(mǎn) 足 的 泛 定 方 程 和 定 解 條 件 相應(yīng) 的 疊 加 正 好 是 原 來(lái) 的 泛 定 方 程 和 定 解 條 件 就行 。

11、這 叫 做 疊 加 原 理 。疊 加 原 理適當(dāng)解釋線(xiàn) 性 非 齊 次 常 微 分 方 程 的 通 解 等 于 非 齊 次 方 程的 特 解 + 齊 次 方 程 的 通 解 。 雙 曲 型 方 程兩 個(gè) 自 變 數(shù) 方 程 的 分 類(lèi) 2 ,tt xxu a u f x t 一 維 波 動(dòng) 方 程 ： 弦 的 橫 振 動(dòng) 方 程 ,桿 的 縱 振 動(dòng) 方程 ,電 報(bào) 方 程 等 都 是 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 的 雙 曲 型 方 程 。 拋 物 型 方 程兩 個(gè) 自 變 數(shù) 方 程 的 分 類(lèi) 2 ,t xxu a u f x t 一 維 輸 運(yùn) 方 程 ： 擴(kuò) 散 方 程 、 熱 傳 導(dǎo) 方 程 都

12、 是 標(biāo)準(zhǔn) 形 式 的 拋 物 型 方 程 橢 圓 型 方 程兩 個(gè) 自 變 數(shù) 方 程 的 分 類(lèi)2 00 xx yyu uu 二 維 拉 普 拉 斯 方 程 ： 靜 電 場(chǎng) 方 程 、 穩(wěn) 定 溫 度 分布 方 程 都 是 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 的 橢 圓 型 方 程 達(dá)朗貝爾公式 定解問(wèn)題 大家已經(jīng)熟悉常微分方程的常規(guī)解法: 先不考慮任何附加條件, 從方程本身求出通解, 通解中含有任意常數(shù) (積分常數(shù)), 然后利用附加條件確定這些常數(shù). 偏微分方程能否仿照這種辦法求解呢? 課堂作業(yè)（5 分鐘）在無(wú)界空間內(nèi)求如下定解問(wèn)題的解： 2 22 22 2 0, .t Tt t Tu u u ut x x

13、 tt x x tu xu x 注意方程是線(xiàn)性的筆記 P 68 頁(yè) 達(dá) 朗 貝 爾 公 式2 22 2 2 0 0a ut xa a ut x t x 運(yùn) 用 達(dá) 朗 貝 爾 公 式 ， 給 出 無(wú) 界 或 半 無(wú) 界 條 件 下波 動(dòng) 方 程 解 的 物 理 圖 象 ； 數(shù) 學(xué) 上 把 偏 微 分 方 程化 為 常 微 分 方 程 求 解 。 達(dá) 朗 貝 爾 公 式2 222 2 0 0a ut xa a ut x t x 數(shù) 學(xué) 上 把 偏 微 分 方 程 化 為 常 微 分 方 程 求 解 。板書(shū)推導(dǎo) 筆記P4頁(yè) 1 , ,2 1 .,2x x atx att a 作變量代換 2 0 0

14、 uat x at xx at x at uat at atx x x 變 量 代 換 的 思 想 是 數(shù) 學(xué) 和 物 理 學(xué) 中 重 要 的 解 決問(wèn) 題 的 思 路 。 達(dá) 朗 貝 爾 公 式 2 2 1 21 2 0u fu f d f f ff x at f x atu 無(wú)界振動(dòng)方程的通解 達(dá) 朗 貝 爾 公 式 2 2 1 21 2 0u fu f d f f ff x at f x atu 不同于常微分方程的情況, 式中出現(xiàn)任意函數(shù)而不是任意常數(shù).振動(dòng)方程的通解 達(dá) 朗 貝 爾 公 式 1 2u f x at f x at 這 個(gè) 偏 微 分 方 程 描 寫(xiě) 以 速 度 a 向 兩

15、 方 傳 播 的行 波 。 2 222 2 0a ut x 板書(shū)解釋 筆記P4 頁(yè) 由 初 始 條 件 確 定 待 定 函 數(shù) 1, 212 x atx atu x t x at x atda 我 們 假 定 所 研 究 的 弦 、 桿 、 傳 輸 線(xiàn) 是 “ 無(wú) 限 長(zhǎng) ”的 ， 這 就 不 存 在 邊 界 條 件 。 設(shè) 初 始 條 件 是 0 0, ,tt tu x u x x 該 定 解 問(wèn) 題 的 解 為達(dá) 朗 貝爾 公 式板書(shū)推導(dǎo) 筆記 P5 頁(yè) 沒(méi) 有 邊 界 條 件 的 問(wèn) 題 拿 弦 振 動(dòng) 問(wèn) 題 為 例 , 如 果 弦 很 長(zhǎng) , 著 重 研 究 靠近 一 端 的 那 段

16、 弦 。 在 不 太 長(zhǎng) 的 時(shí) 間 里 , 另 一 端的 影 響 還 沒(méi) 來(lái) 得 及 傳 到 ， 不 妨 認(rèn) 為 另 一 端 并 不存 在 ， 或 者 說(shuō) 另 一 端 在 無(wú) 限 遠(yuǎn) ， 當(dāng) 然 就 無(wú) 需 提出 另 一 端 的 邊 界 條 件 。 這 樣 ， 有 限 長(zhǎng) 的 真 實(shí) 的弦 抽 象 成 半 無(wú) 界 的 弦 。 如 果 著 重 研 究 不 靠 近 兩 端 的 那 段 弦 ， 不 妨 認(rèn)為 兩 端 都 不 存 在 ， 或 者 說(shuō) 兩 端 都 在 無(wú) 限 遠(yuǎn) ， 當(dāng)然 就 無(wú) 需 提 出 邊 界 條 件 了 。 這 樣 ， 有 限 長(zhǎng) 的 真實(shí) 的 弦 抽 象 成 無(wú) 界 的 弦

17、?？磿?shū) （ P172） 例 一 ： 定 解 問(wèn) 題 為 1 1 20 12 1 2 1 20 22 1 1 202 , 22 , 20. orx x x x xu x xx xx x x xx u x xx x x x x x 初 始 速 度 為 零初 始位 移 （ P172） 例 一 ： 波 已 “ 通 過(guò) ” 的 地 區(qū) ， 振 動(dòng)消 失 而 弦 靜 止 在 原 平 衡 位 置 。觀看動(dòng)畫(huà) （ P173） 例 二 ： 定 解 問(wèn) 題 為 0 1 21 200 x x x xx x x or x x 初 始 位 移 為 零 初 始速 度 1 1, 2 2 x at x atu x t d d

18、a ax at x at 更正書(shū)上錯(cuò)誤并推導(dǎo) 筆記 P5 頁(yè) 1 1 0 1 22 1 0 2 120121 2 xx da x xx x x x xa x x x xa （ P173） 例 二 ： 波 已 “ 通 過(guò) ” 的 地 區(qū) ， 雖 然 振動(dòng) 也 消 失 ， 但 偏 離 了 原 平 衡 位 置 。 x at xt aax tatx 觀看動(dòng)畫(huà) 端 點(diǎn) 的 反 射 2 000 000,0.tt xxtt txu a uu xu x xxu 定 解 問(wèn) 題 ： 端 點(diǎn) 的 反 射 0 ,0 ;0 , 0 .x xx x xx xx x x 奇 延 拓 ：板書(shū)解釋偶延拓和奇延拓的物理意義 筆

19、記 P5 端 點(diǎn) 的 反 射 1, 21 2 x atx atu x t x at x atda 運(yùn) 用 達(dá) 朗 貝 爾 公 式 ： 板 書(shū) 推 導(dǎo) 筆 記 P6頁(yè) 1, 2 12 x atx atu x t x at x atda 2000 000,0.tt xxtt txu a uu xu x xxu 0 ,0 ;0 ,0 .x xx x xx xx x x 端 點(diǎn) 的 反 射運(yùn) 用 達(dá) 朗 貝 爾 公 式 ： 12 1 ,2, 12 1 .2 x atx atx atat xx at x at xd ta au x t x at at x xd ta a 端 點(diǎn) 的 反 射 , , ,

20、x xx xat x tx ax atxu x t aat t ta t at a 1 1 20 12 12 1 20 22 1 1 202 , 22 , 20. orx x x x xu x xx xx x x xx u x xx x x x x x 觀看動(dòng)畫(huà) 端 點(diǎn) 的 反 射 板書(shū)推導(dǎo)半無(wú)限長(zhǎng)桿的自由振動(dòng)，桿的端點(diǎn)自由。筆記 P6頁(yè) 定 解 問(wèn) 題 是 一 個(gè) 整 體從 偏 微 分 方 程 解 出 達(dá) 朗 貝 爾 公 式 的 過(guò) 程 ， 與大 家 所 熟 悉 的 常 微 分 方 程 的 求 解 過(guò) 程 是 完 全 類(lèi)似 的 。但 是 很 可 惜 ， 絕 大 多 數(shù) 偏 微 分 方 程 很

21、 難 求 出通 解 ； 即 使 已 求 得 通 解 ， 用 定 解 條 件 確 定 其 中待 定 函 數(shù) 往 往 更 加 困 難 。除 了 達(dá) 朗 貝 爾 公 式 一 類(lèi) 極 少 的 例 外 ， 不 可 能先 求 偏 微 分 方 程 的 通 解 然 后 再 考 慮 定 解 條 件 ，必 須 同 時(shí) 考 慮 偏 微 分 方 程 和 定 解 條 件 進(jìn) 行 求 解 達(dá) 朗 貝 爾 方 程 是 對(duì) 方 程 解 的 理 解 ， 但對(duì) 于 一 般 復(fù) 雜 問(wèn) 題 的 情 形 ， 簡(jiǎn) 單 的 行波 解 形 式 是 求 不 出 來(lái) 的 。 定 解 問(wèn) 題 的 適 定 性有 解解 是 唯 一 的解 是 穩(wěn) 定

22、 的穩(wěn) 定 性 ： 如 果 定 解 條 件 的 數(shù) 值 有 細(xì) 微 的 改變 ， 解 的 數(shù) 值 也 只 作 細(xì) 微 的 改 變非 線(xiàn) 性 偏 微 分 方 程 的 解 就 有 可 能 是 不 穩(wěn) 定的 ， 出 現(xiàn) 混 沌 。 很 長(zhǎng) 時(shí) 間 以 后 ， 位 移 自 然 出 現(xiàn) 比 較 大 的 偏 差板書(shū)證明達(dá)朗貝爾解的穩(wěn)定性。筆記 P7頁(yè) 分離變數(shù)法（傅里葉級(jí)數(shù)法）先求泛定方程通解的辦法只適用于很少數(shù)的某些定解問(wèn)題。分離變數(shù)法（傅里葉級(jí)數(shù)法）是定解問(wèn)題的一種基本解法，適用于大量的各種各樣定解問(wèn)題。分離變數(shù)法的基本思想是把偏微分方程分解為幾個(gè)常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件而構(gòu)成本征值

23、問(wèn)題。 課堂作業(yè)（5 分鐘）筆記P69頁(yè)求解如下定解問(wèn)題： 42 4 000 0,0, 0,0, 0,.x x Lx xx x Ltu uat xu uu uu x 兩 端 固 定 的 均 勻 弦 的 自 由 振 動(dòng) 20 00 0,0,0, , 0.tt xxxx L tt t u a uuuu x x Lu x 波 在 兩 端 點(diǎn) 之 間 反射 ， 兩 列 反 向 行 進(jìn)的 同 頻 率 的 波 形 成駐 波 ， 嘗 試 駐 波 解 駐波觀看動(dòng)畫(huà) 駐 波在 駐 波 中 ， 有 些 點(diǎn) 振 幅 最 大 ， 叫 作 波 腹 ； 有些 點(diǎn) 振 幅 最 小 ， 叫 作 波 節(jié) 。駐 波 沒(méi) 有 波

24、形 傳 播 現(xiàn) 象 ， 各 點(diǎn) 振 動(dòng) 相 位 并 不依 次 滯 后 。各 點(diǎn) 按 同 一 方 式 隨 時(shí) 間 t 振 動(dòng) ， 可 以 統(tǒng) 一 表示 為 T(t)各 點(diǎn) 的 振 幅 X 隨 地 點(diǎn) x 變 化 ， 振 幅 X 是 x 的 函 數(shù) X(x) ,u x t X x T t 駐 波自 變 數(shù) x 只 出 現(xiàn) 于 X(x) 之 中 ， 自 變 數(shù) t 只 出現(xiàn) 于 T(t) 之 中 ， 駐 波 的 一 般 表 示 式 具 有 分 離變 數(shù) 的 形 式 。嘗 試 駐 波 解 ,u x t X x T t 2 20 0tt xxu a uX x T t a X x T t 板書(shū)講解分離變量法 筆記 P7 頁(yè)