空間平面與平面的位置關系

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1、b 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內 的 兩 條 直 線 叫 做 異 面 直 線 。異 面 直 線 的 定 義 : 相 交 直 線 平 行 直 線異 面 直 線空 間 兩 直 線 的 位 置 關 系上 節(jié) 回 顧 :公 理 : 在 空 間 平 行 于 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 互 相 平 行 異 面 直 線 的 求 法 : 一 作 (找 )二 證 三 求空 間 中 , 如 果 兩 個 角 的 兩 邊 分 別 對 應 平 行 , 那 么 這 兩 個 角 相 等 或 互 補 等 角 定 理 :異 面 直 線 的 畫 法 用 平 面 來 襯 托異 面 直 線 所 成 的 角 平

2、移 , 轉 化 為 相 交 直 線 所 成 的 角 3、 如 何 用 符 號 語 言 表 示 直 線 與 平 面 的 位 置 關 系 。 直 線 a在 平 面 內 , 記 作 a ; 直 線 a與 平 面 相 交 于 A點 , 記 作 a=A; 直 線 a與 平 面 平 行 , 記 作 a ; 第 一 、 二 層 的 底 面 無論 怎 樣 延 伸 都 沒 有 公 共 點 ; 前 、 后 兩 面 房 頂 則有 一 條 交 線 AB A B二 層 樓 房 示 意 圖探 究 平 面 與 平 面 之 間 的 位 置 關 系 ( 1) 兩 個 平 面 平 行 如 果 兩 個 平 面 沒 有 公 共 點

3、, 我 們 就 說這 兩 個 平 面 互 相 平 行 ( 2) 兩 個 平 面 相 交 如 果 兩 個 平 面 有 公 共 點 , 它 們 就 相 交 于一 條 過 該 公 共 點 的 直 線 , 我 們 就 說 這 兩 個 平面 相 交 ( 3) 兩 個 平 面 的 位 置 關 系 只 有 兩 種 兩 個 平 面 平 行 沒 有 公 共 點 ; 記 為 / 兩 個 平 面 相 交 有 一 條 公 共 直 線 ,記 為 a 兩 個 平 面 的 位 置 關 系兩 平 面 平 行沒 有 公 共 點 有 一 條 公 共 直 線兩 平 面 相 交 =a位 置 關 系公 共 點符 號 表 示圖 形 表

4、示 畫 兩 個 互 相 平 行 的 平 面 時 , 要 注 意 使 表 示平 面 的 兩 個 平 行 四 邊 形 的 對 應 邊 平 行 , 如 圖 1,而 不 應 畫 成 圖 2那 樣 ( 4) 兩 個 平 面 平 行 的 畫 法圖 1 圖 2 1.一 個 平 面 內 的 一 條直 線 平 行 于 另 一 個 平面 ,能 否 推 出 這 兩 個 平面 平 行 ?2.一 個 平 面 內 的 兩 條直 線 平 行 于 另 一 個 平面 ,能 否 推 出 這 兩 個 平面 平 行 ?3.無 數(shù) 條 呢 ?(不 能 )(不 能 )(不 能 ) 如 果 一 個 平 面 內 有 兩 條 相 交直 線 都

5、 平 行 于 另 一 個 平 面 , 那 么 這 兩 個 平 面 平 行 /b/aAbaba ,已 知 : /求 證 :證 明 : 用 反 證 法 . :.1 1 111111DBC DABDCBAABCD平 行 于 截 面 中 的 截 面長 方 體求 證例 1A 1D 1C1BA D B C 說 明 定 理 可 以 簡 記 為平 面 與 平 面 平 行 的 判 定.21.要 證 明 平 面 與 平 面 平 行 ,關 鍵 要 證 明線 面 平 行 ,而 這 又 取 決 于 線 線 平 行 ,因此 在 平 行 關 系 中 線 線 平 行 是 基 礎 .面 面 平 行 ”線 面 平 行“ 線 線

6、平 行 練 習 )(,)( )(,)( )(,)( )(,)( )(,)( 判 斷 : /5 /4 /3 /2 /1.1 baba baba aa aa aa 練 習 /: /,/ ,.2求 證且 ,是 異 面 直 線已 知 : ba baba ab 1.一 個 結 論 根 據(jù) 兩 個 平 面 平 行 及 直 線 和 平 面 平 行 的 定 義 , 容易 得 出 下 面 的 結 論 :如 果 兩 個 平 面 平 行 , 那 么 其 中 一 個 平 面 內 的 任 意 一條 直 線 平 行 于 另 一 個 平 面 /,/ aa a線 面 平 行 ”簡 記 為 “ 面 面 平 行 2.兩 個 平

7、面 平 行 的 性 質 定 理 面 面 平 行 的 性 質 定 理 : 如 果 兩 個平 行 平 面 同 時 和 第 三 個 平 面 相 交 ,那 么 它 們 的 交 線 平 行 即 : baba / 如 何 證 明 ? 線 線 平 行 ”簡 記 為 “ 面 面 平 行 ab線 線 平 行 線 面 平 行 面 面 平 行 a A1A BB1 CD C1D1.21 .2 111111) 求 截 面 面 積( 形 ;) 求 證 : 截 面 是 等 腰 梯( 作 平 面 截 正 方 體 和 點的 中 點 , 經(jīng) 過 對 角 線為 棱點 ,的 棱 長 為已 知 正 方 體例 EDBADE aDCBAA

8、BCD FE 練 習求 證 :夾 在 兩 個 平 行 平 面 之 間 的 平 行 線 段 相 等 . AB CD已 知 :求 證 : CDABDB CA /, ,/ CDAB 平 面 與 平 面 平 行 的 性 質 的 面 積求 : 三 角 形 的 面 積 為, ,、于 點、分 別 交 平 面線 段 、于 點、分 別 交 平 面, 線 段、于 點 、分 別 交 平 面, 線 段平 面、 已 知 平 面例 BED AFCBHAB GAEFHF DCGDBA GH361612 9/3 F C G BE D H A 2.在 鐵 路 、 公 路 旁 , 為 防 止 山 體 滑 坡 , 常 用 石塊 修

9、 筑 護 坡 斜 面 , 并 使 護 坡 斜 面 與 水 平 面 成 適 當?shù)?角 度 ; 修 筑 水 壩 時 , 為 了 使 水 壩 堅 固 耐 用 , 必須 使 水 壩 面 與 水 平 面 成 適 當 的 角 度 , 如 何 從 數(shù) 學的 觀 點 認 識 這 種 現(xiàn) 象 ? 公 路四 、 平 面 的 相 交 問 題1、 在 平 面 幾 何 中 “ 角 ” 是 怎 樣 定 義 的 ?答 : 從 平 面 內 一 點 出 發(fā) 的 兩 條射 線 所 組 成 的 圖 形 叫 做 角 。2、 定 理 1? o答 : 如 果 一 個 角 的 兩 邊 和 另 一個 角 的 兩 邊 分 別 平 行 , 那

10、么 這兩 個 角 相 等 或 互 補 。 A B 想 一 想 AO BBBBBB B 角 兩 個 面 組 成 的 圖 形 ? 平 面 內 的 一 條 直 線 , 把 這 個 平 面 分 成兩 部 分 , 每 一 部 分 都 叫 做 半 平 面 。從 一 條 直 線 引 出 的 兩 個 半 平 面 所 組 成 的 圖形 叫 做 二 面 角 。 這 條 直 線 叫 做 二 面 角 的 棱 ,這 兩 個 半 平 面 叫 做 二 面 角 的 面 。l1、 半 平 面 :2、 二 面 角 :半 平 面 及 二 面 角 的 定 義 l棱 面面半平面半平面 1、 二 面 角 的 畫 法 :( 1) 平 臥

11、式( 2) 直 立 式二 面 角 的 畫 法 與 記 法 2、 二 面 角 的 記 法 :( 1) 、 以 直 線 為 棱 , 以 為 半 平 面 的 二 面 角 記為 : l l, ( 2) 、 以 直 線 AB 為 棱 ,以 為 半 平 面 的 二 面 角 記為 : , ABl A B二 面 角 的 畫 法 與 記 法 CD DABC 或 記 作 1、 二 面 角 的 平 面 角 : 以 二 面 角 的 棱 上 任 意 一 點 為 端 點 , 在 兩 個 面 內分 別 作 垂 直 于 棱 的 兩 條 射 線 , 這 兩 條 射 線 所 成 的 角叫 做 二 面 角 的 平 面 角 。OO

12、ABA B AOB = BOA ? 等 角 定 理 : 如 果 一 個 角 的 兩 邊 和 另一 個 角 的 兩 邊 分 別 平 行 , 并 且 方 向 相同 , 那 么 這 兩 個 角 相 等 。 )注 :( 1) 二 面 角 的 平 面 角 與 點 的 位 置 無 關 , 只 與 二 面 角 的 張 角 大 小 有 關 。 ( 2) 二 面 角 是 用 它 的 平 面 角 來 度 量 的 , 一 個 二 面 角 的 平 面 角 多 大 , 就 說 這 個 二 面 角 是 多 少 度 的 二 面 角 。 ( 3) 平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 做 直 二 面 角 。 ( 4)

13、二 面 角 的 取 值 范 圍 一 般 規(guī) 定 為 0, 。二 面 角 的 平 面 角 的 定 義 、 范 圍 及 作 法l 2、 二 面 角 的 平 面 角 的 作 法 :1、 定 義 法 :根 據(jù) 定 義 作 出 來 。2、 作 垂 面 :作 與 棱 垂 直 的 平 面 與 兩 半 平 面的 交 線 得 到 。 (二 面 角 平 面 角 所 在 平 面是 與 棱 l垂 直 的 ) 注 意 : 二 面 角 的 平 面 角 必 須 滿 足 : ( 1) 角 的 頂 點 在 棱 上 。 ( 2) 角 的 兩 邊 分 別 在 兩 個 面 內 。 ( 3) 角 的 邊 都 要 垂 直 于 二 面 角

14、 的 棱 。 o A B o Ao A BB二 面 角 的 平 面 角 的 定 義 、 范 圍 及 作 法 l l ll 角 BAO 邊 邊頂 點從 一 點 出 發(fā) 的 兩 條 射 線所 組 成 的 圖 形 叫 做 角 。定 義構 成 邊 點 邊 (射 線 )(頂 點 )(射 線 )表 示 法 AOB 二 面 角AB 面面棱 a 從 一 條 直 線 出 發(fā) 的 兩 個半 平 面 所 組 成 的 圖 形 叫做 二 面 角 。面 直 線 面(半 平 面 )( 棱 ) (半 平 面 )二 面 角 l或 二 面 角 AB圖 形角 與 二 面 角 的 比 較 A .O 解 : sin ADO= 2343

15、2 ADO=60 . 二 面 角 l 的 大 小 為 60 . 例 1、 已 知 二 面 角 l , A為 面 內 一 點 , A到 的距 離 為 2 , 到 l 的 距 離 為 4。 求 二 面 角 l 的 大 小 。 lD 分 析 : 首 先 應 找 到 或 作 出 二 面 角 的 平 面 角 ,然 后 證 明 這 個角 就 是 所 求 的 二 面 角 平 面 角 , 最 后 求 出 這 個 角 的 大 小 。3二 面 角 的 應 用 舉 例 1 lAO DlODOAO 由 定 理 得 于,于作 的 平 面 角二 面 角 lADO中 ,AODRt 二 面 角 的 應 用 舉 例 2例 2、

16、 如 圖 , 山 坡 傾 斜 度 是 60度 , 山 坡 上 一條 路 CD和 坡 底 線 AB成 30度 角 .沿 這 條 路 向上 走 100米 ,升 高 了 多 少 ?( 精 確 到 . 米 ) A DC G HBA C BG DH l PAB 解 : PA lPA PABl 平 面的 大 小求 為 垂 足 ,等 于已 知 : 二 面 角例 APB: , 120.3 BAPBPA l lO AO lPB同 理 , OBPAB OAPAB 平 面 ,設 平 面 lAO lBO 同 理 , 的 平 面 角為 二 面 角 lAOB 作 棱 的 垂 直 截 面 法 1、 二 面 角 的 定 義

17、:2、 二 面 角 的 畫 法 和 記 法 :3、 二 面 角 的 平 面 角 :4、 二 面 角 的 平 面 角 的 作 法 :畫 法 : 直 立 式 和 平 臥 式記 法 : 二 面 角 AB 二 面 角 l 二 面 角 C AB D1、 根 據(jù) 定 義 作 出 來2、 利 用 作 棱 的 垂 面 法 作 出 來3、 應 用 三 垂 線 定 理 或 其 逆 定 理 作 出 來從 一 條 直 線 出 發(fā) 的 兩 個 半平 面 所 組 成 的 圖 形 叫 做 二面 角 。 這 條 直 線 叫 做 二 面角 的 棱 。 這 兩 個 半 平 面 叫做 二 面 角 的 面 。 1、 二 面 角 的

18、平 面 角 的 大 小 與 其 頂 點 在 棱 上 的 位 置 無 關2、 二 面 角 的 大 小 用 它 的 平 面 角 的 大 小 來 度 量 課 堂 小 結 思 考 題 AB CD如 圖 , 將 等 腰 直 角 三 角 形 紙 片 沿斜 線 BC上 的 高 AD折 成 直 二 面 角 . 060, BACCDBD求 證 : 解 :(略 ) 例 .山 坡 的 傾 斜 度 ( 坡 面 與 水 平 面 所 成 的 二面 角 的 度 數(shù) ) 是 , 山 坡 上 有 一 條 直 道 CD,它 和 坡 腳 的 水 平 線 AB的 夾 角 是 , 沿 這 條山 路 上 山 , 行 走 100米 后 升

19、 高 多 少 米 ?60 30 60A C D B HG它就是這個二面角的平面角30 DCA B 解 : 如 圖 所 示 , DH垂 直 于 過 AB的 水 平 平 面 , 垂足 為 H, 線 段 DH的 長 度 就 是 所 求 的 高 度 。在 平 面 ABH內 , 過 點 H作 HG BC, 垂 足 是 G,連 接 GD。 由 三 垂 線 定 理 GD BC.因 此 , DGH就 是 坡 面 DGC和 水 平 平 面 BCH的 二 面 角 的 平 面 角 , DGH= 60DH=DGsin600=CDsin300sin600=100sin300sin60043.3(米 )答 : 沿 直 道

20、 前 進 100米 ,升 高 約 43.3米H GA BDC30 600 0100m 四 、 平 面 和 平 面 垂 直 AB BAB AB 1 平 面 與 平 面 垂 直 的 定 義定 義 兩 個 平 面 相 交 , 如 果 所 成 的 二 面 角 是 直 二 面 角 , 那 么 就 稱這 個 兩 個 平 面 互 相 垂 直 ,平 面 和 垂 直 , 記 作畫 兩 個 平 面 互 相 垂 直 時 , 一 般 把 直 面 的 豎 邊 畫 成 與 水 平 平 面 的橫 邊 垂 直 。如 圖 9-48 所 示2 兩 個 平 面 垂 直 的 判 定 定 理如 果 一 個 平 面 經(jīng) 過 另 一 個

21、平 面 的 一 條 垂 線 , 那 么 這 兩 個平 面 互 相 垂 直 .如 圖 9-49所 示 , 如 果 , 那 么建 筑 工 人 在 砌 墻 時 , 常 用 一 端 系 有 鉛 墜 的 線 來 檢 查 所 砌 的 墻 面 是 否 和 地 面 垂 直 。若 下 垂 的 線 緊 貼 墻 面 , 便 知 所 砌 的 墻 面 和 地 面 垂 直 , 即 依 據(jù) 為 上 面 的 判 定 定 理 。 如 果 一 個 平 面 經(jīng) 過 另 一 個 平 面 的 一條 垂 線 , 那 么 這 兩 個 平 面 互 相 垂 直l l 面 面 垂 直 的 判 定 定 理符 號 表 示 : lA BC D線 面垂 直 面 面垂 直線 線垂 直 例 1 如圖,AB是 O的直徑, PA垂直于 O所在的平面,C是圓周上不同于A, B的任意一點,求證:平面PAC平面PBC. 線 線 垂 直線 面 垂 直面 面 垂 直 PA BOC 練 習 1:探究如 圖 9-50所 示 , A是 直 角 三 角 形 BCD所 在 平 面 外一 點 , , 平 面 ABC,(1) 四個面的形狀怎樣?(2) 有哪些直線與平面垂直?(3) 任意兩個平面所成的二面角的平面角 如何確定?AB C D090C PA

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