藥學(xué)高數(shù)26一階線性方程

1 二 、 一 階 線 性 微 分 方 程當(dāng) Q(x)=0 時(shí) , 稱 為 一 階 齊 次 線 性 微 分 方 程 . Q(x) 稱 為 非 齊 次 項(xiàng)( ) 0dy P x ydx ( )( )ln ( ) lnP x dxdy P x dxyy P x dx Cy Ce ( ) ( )dy P x y Q xdx (9-14)(9-15) 2 非 齊 次 方 程 通 解 的 求 法 :兩 端 積 分 ( ) ( )( )ln ( )Q x dx P x dxyQ xy dx P x dxyy e e ( ) ( )( ), ( )Q x dx P x dxye C x y C x e 令 則 求 出 待 定 函 數(shù) C(x), 稱 為 常 數(shù) 變 易 法 . ( ) ( )dy P x y Q xdx ( ) ( )dy Q x P x dxy y 變 形 得 3 常 數(shù) 變 異 法 : 設(shè) 方 程 的 解 為代 入 原 方 程 ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )P x dx P x dxP x dxy C x e P x C x eC x e P x y ( ) ( )dy P x y Q xdx 則 ( )( ) P x dxy C x e ( ) ( )( ) ( )( ) ( )P x dx P x dxC x e Q xC x Q x e ( ) ( ) ( ) P x dx P x dxy e Q x e dx C 積 分 得 : ( )( ) ( ) P x dxC x Q x e dx C 4( ) ( )( ) ( ) ,P x dx P x dxP x dxe Q x e dxC e 其 中 為 非 齊 次 方 程 的 特 解 而 為 齊 次 方 程 的 通 解 ( ) ( ) ( ) P x dx P x dxy e Q x e dx C ( ) ( ) ( )( )P x dx P x dx P x dxy Ce e Q x e dx 5 例 9-5 求 的 通 解解 : 先 求 對 應(yīng) 的 齊 次 線 性 微 分 方 程 的 通 解 sincos xy y x e cos 0y y x cosdy xdxy ln sin lny x C sin xy Ce設(shè) y=C(x)e-sinx, 則 y=C(x)e-sinx-C(x)e-sinx cosx 代 入 得 : sin sin sin sinsin sin sin( ) cos ( ) cos, 1( )( )x x x xx x xC e C x e x C x e x eC e e CC x x Cy x C e 6 例 9-6 求 微 分 方 程 滿 足 初 始 條 件 y|x=1=1的 特 解解 : 21 0y y xx 1 2ln( ) 21 1( ) ln ln( ) 2P x dx xP x dx dx xx x xQ x e dx x e dx xdx 2 2ln ( )2 2x x xy e C Cx 212 2xy x 由 公 式由 初 始 條 件 7 例 9-7 求 微 分 方 程 的 通 解 解 : 由 方 程 中 2 21ln( )( ) 2 2 1( ) 2ln ln( )( )1 lnP y dy ydx x ydy y dyP y dy yy yQ y e dy ye dydy yy 通 解 2ln2 ( ln )( ln )yx e y Cx y C y 22dy ydx x y 8 伯 努 里 方 程 : (1 ) 1, 1nn ndz dyn ydx dxdy dzy y z ydx n dx ( ) ( ) ndy P x y Q x ydx 設(shè) z=y1-n , (1 ) ( ) (1 ) ( )dz n P x z n Q x dx 9 例 9-8 求 微 分 方 程 通 解解 : 令 z=y-1, 2 11 lndyy y xdx x 1 lndz z xdx x 將 z 換 成 y -1, 得 原 方 程 的 通 解 : 21 ln2xCx xy 21( ln )2z C x x 解 方 程 得 : 2 lndy y y xdx x 10 四 、 建 立 微 分 方 程 法(二 ) 分 析 法 馬 爾 薩 斯 人 口 模 型 為 N(t)=N0ek(t-t0)假 設(shè) : (1) 人 口 總 數(shù) 增 長 率 與 其 當(dāng) 時(shí) 的 人 口 總 數(shù)成 正 比 , 比 例 系 數(shù) 為 出 生 率 與 死 亡 率 之 差 ;(2) 出 生 率 和 死 亡 率 都 是 人 口 總 數(shù) 的 線 性 函 數(shù) , 且 出 生 率 隨 其 總 數(shù) 的 增 加 而 減 少 , 死 亡 率 隨 其總 數(shù) 的 增 加 而 增 加 . 設(shè) t 時(shí) 刻 人 口 總 數(shù) 為 N(t), 出 生 率 為 p=a-bN, 死亡 率 為 q=g+hN, 其 中 a, b, g, h 均 為 正 的 常 數(shù) , 且 11 根 據(jù) 假 設(shè) ( ) ( )N p q N kN m N ln ln( )dN Nkdt mkt CN m N m N 1mkt mktN mCe Nm N Ce Logistic函 數(shù) : 生 物 群 體 在 受 到 自 然 環(huán) 境 , 物 質(zhì) 資 源 和 社 會(huì) 因 素 等 諸 多 外 界 條 件 影 響 下 的才 長 規(guī) 律 , 中 晚 期 腫 瘤 的 生 長 等( ) ( ) ( )( ) ( ), a gp q a g b h N b h N k m Nb ha gk b h m b h 12 例 9-13 在 一 艘 載 有 1000 人 的 游 船 上 , 發(fā) 現(xiàn) 了 一名 傳 染 病 患 者 , 5 小 時(shí) 后 又 有 3 人 被 傳 染 發(fā) 病 .如 果 醫(yī) 生 10 小 時(shí) 后 才 能 趕 到 , 求 此 時(shí) 的 發(fā) 病 人數(shù) 至 少 是 多 少 ?解 : t 時(shí) 刻 染 病 人 數(shù) 為 x(t), 假 設(shè) 傳 染 速 度 與 染 病人 數(shù) 和 未 染 病 人 數(shù) 的 乘 積 成 正 比 10001000( ) 1 999 ktx t e (1000 )(0) 1dx kx xdtx 0.277861 999(5) 4,1000 ln 0.277865 2491000( ) 1 999 tx kx t e 13 (三 ) 微 元 法例 9-14: 一 容 器 內(nèi) 盛 有 400L 鹽 水 , 含 鹽 8 kg. 現(xiàn)以 8 L/min 的 速 度 注 入 濃 度 為 1.5 kg/L 的 鹽水 , 同 時(shí) 以 4 L/min 的 速 度 抽 出 混 合 均 勻 的 鹽水 . 求 t 時(shí) 刻 溶 器 內(nèi) 鹽 水 的 的 含 鹽 量 x(t)解 : 在 時(shí) 間 區(qū) 間 t, t+dt 內(nèi) , 含 鹽 量 的 增 量 dx注 入 的 鹽 量 為 : 1.5 8dt=12dt流 出 的 鹽 量 為 : 4400 (8 4 ) 100 x xdt dtt t t 14 含 鹽 量 的 增 量 為初 始 條 件 : x(0)=8, 求 得 C=800. t 時(shí) 刻 含 鹽 量 為 12 100 xdx dt dtt 12100(0) 8dx xdt tx ln(100 ) 2ln(100 ), 12 (12 1200) 6 1200100 tx dt t e dt t dt t tt 21( ) (6 1200 )100 x t t t Ct 26 1200 800( ) 100t tx t t 一 階 非 齊 次 線 性 方 程 公 式 15 作 業(yè) : 習(xí) 題 九 , 13-14