《數(shù)學(xué)物理方法》PPT課件

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1、3-3 貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解n用級(jí)數(shù)解法來(lái)求貝塞爾方程在x=0的鄰域中的級(jí)數(shù)解2 2 2( ) 0 x y xy x y 貝塞爾方程：將方程改寫為： 2 21 (1 ) 0y y yx x 1( )p x x 22( ) 1q x x 可知：x=0是p(x)的一階極點(diǎn)，是q(x)的二階極點(diǎn)，故x=0是方程的正則奇點(diǎn)。 在正則奇點(diǎn)鄰域內(nèi)求方程級(jí)數(shù)解的一般步驟：第1步：對(duì)方程系數(shù)做變換，使其解析，將其展開為泰勒級(jí)數(shù)形式；第2步：寫出第一解形式，將其代入系數(shù)寫為泰勒級(jí)數(shù)形式的方程；第3步：比較系數(shù)，得到判定方程和系數(shù)之間的遞推關(guān)系： 由最低次冪項(xiàng)系數(shù)得到判定方程；由一般次冪項(xiàng)系數(shù)得到系數(shù)間遞推關(guān)系。第

2、4步：根據(jù)判定方程和遞推關(guān)系求出方程第一解；由判定方程兩個(gè)根（即 和 ）的關(guān)系，寫出方程第二解形式，根據(jù)不同形式分別求解。 第1步：對(duì)方程系數(shù)做變換，使其解析，將其展開為泰勒級(jí)數(shù)形式；本例中，( ) ( ) 1P x p x x 2 2 2( ) ( )Q x q x x x 所以，這兩個(gè)函數(shù)已經(jīng)展成了泰勒級(jí)數(shù)，其中系數(shù)0 20 21, 0 ( 1), 1, 0 ( 0,2)n nP P nQ Q Q n 按正則奇點(diǎn)鄰域中級(jí)數(shù)解法的有關(guān)定理，方程的解應(yīng)具有第2步：寫出第一解形式，將其代入系數(shù)寫為泰勒級(jí)數(shù)形式的方程；設(shè)第一解為： 求出：121 0 002 0 00( ) ( ) ( )( ) (

3、 ) ( )nnn nnny x x x a x xy x x x b x x 或：1 21 0 002 0 1 0 0 00 ( ) ( ) ( )( ) ( )ln( ) ( ) ( )nnn nnny x x x a x xy x c y x x x x x b x x 00( ) 0nnny x x c x a 10 ( ) nnny c n x 20 ( )( 1) nnny c n n x 代入貝塞爾方程2 2 2( ) 0 x y xy x y 得：2 2 1 2 20 0 0( )( 1) ( ) ( ) 0n n nn n nn n nx c n n x x c n x x

4、x c x 2 2 20 0( ) 0n nn nn nn c x c x 00( ) 0nnny x x c x a 10 ( ) nnny c n x 20 ( )( 1) nnny c n n x 2 20 0 0 0( )( 1) ( ) 0n n n nn n n nn n n nc n n x c n x c x c x 2 20 0( )( 1) ( ) 0n nn nn nn n n c x c x 2 2 20 0( ) 0n nn nn nn c x c x 求判定方程：令n=0，得到最低次冪項(xiàng)的系數(shù)為：2 2 令其等于0，得：2 2 0 判定方程第3步：比較系數(shù)，得到判定

5、方程和系數(shù)之間的遞推關(guān)系：求系數(shù)之間遞推關(guān)系：由一般次冪項(xiàng) 系數(shù)求得kx2 2 2 2 2( ) 0k kk kk c x c x 2 2 2( ) 0kk kk c c x 2 2 2( ) 0k kk c c 22 21( )k kc ck 遞推公式 2 2 20 0( ) 0n nn nn nn c x c x 第4步：根據(jù)判定方程和遞推關(guān)系求出方程第一解和第二解。它的兩個(gè)根分別是：12 兩根之差為： 1 2 2 由此可見，參數(shù) 將決定方程兩個(gè)線性獨(dú)立解的形式。判定方程：將第一個(gè)根 代入方程，并利用遞推關(guān)系式，便可求出方程的第一解；而方程的第二解與判定方程的兩根之差有關(guān)。下面，根據(jù)方程兩

6、根之差的不同情況，討論兩個(gè)解的求解過(guò)程。 2 2 0 1 1. 整數(shù)、半整數(shù)時(shí)的解 此時(shí)， 整數(shù)。1 2 根據(jù)定理可知，兩個(gè)根的形式為 1 21(2 )k kc ck k 先求第一解。第一解對(duì)應(yīng)判定方程的第一個(gè)根：將其代入遞推關(guān)系式：得：可見，待定系數(shù) 將可以依次類推，用 表示；2kc 0c2 1kc 可用 表示。1c121 0 002 0 00( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnn nnny x x x a x xy x x x b x x 22 21( )k kc ck 下面求用 表示 的公式。由遞推公式可得：0c 2kc2 0 01 12(2 2) 2 2( 1)c c c

7、4 2 21 14(2 4) 2 2 2( 2)c c c 2 2 2 4 2 41 1(2 2)(2 2 2) 2( 1) 2( 1)k k kc c ck k k k 2 2 2 2 21 12 (2 2 ) 2 2( )k k kc c ck k k k 將以上等式的左右兩邊分別相乘，消去相同因子，即可得：2 02 1( 1) 2 !( 1)( 2).( )kk kc ck k 21(2 )k kc ck k 將 代入，得：下面求用 表示 的公式。重寫系數(shù)關(guān)系式：21(2 )k kc ck k 1c 2 1kc 由 的系數(shù)，得：1x 2 21 ( 1) 0c （由于級(jí)數(shù)從 次項(xiàng)開始，對(duì)應(yīng)

8、的系數(shù)為 ，之前的系數(shù)均為0。因此第二項(xiàng)舍去）1(2 1) 0c 因此，有： 1 0c x 0c2 2 2( ) 0k kk c c 21(2 )k kc ck k 2 1 2 1 2 311(2 1)(2 2 1)1 1 (2 1)(2 2 1) (2 1)(2 2 1) . 1 1 ( 1) .(2 1)(2 2 1) 3 (2 3) 0k k kkc ck k ck k k k ck k 由遞推公式可得： 得到方程第一解為：21 0 0 ( 1)( ) ( )!( 1)( 2).( ) 2k kk xy x c x k k 將 和 代入第一解2 02 1( 1) 2 !( 1)( 2).

9、( )kk kc ck k 2 1 0kc 1 0 0( ) n kn kn ky x x c x c x ( 1) ( ) ( 1) ( 1) . ( 1) ( 1) !n n （ ）通常將 取為：0c 0 12 ( 1)c 函數(shù)性質(zhì)：當(dāng) （n為整數(shù)）時(shí)：n 把這樣的 記作1y J ( )x 21 0 ( 1)J ( ) ( ) ( )! ( 1) 2k kk xx y x k k 稱為+ 階貝塞爾函數(shù) J ( )x此時(shí)，另一個(gè)線性獨(dú)立的解應(yīng)對(duì)應(yīng)2 22 0 0 ( 1)( ) ( )!( 1)( 2).( ) 2k kk xy x c x k k 21 0 0 ( 1)( ) ( )!(

10、1)( 2).( ) 2k kk xy x c x k k 將其代入第二解形式（與第一解形式相同），可得：(1) 1 得到 階的貝塞爾函數(shù) 為：通常也將 取為：0c 0 12 ( 1)c 22 0 ( 1)J ( ) ( ) ( )! ( 1) 2k kk xx y x k k J ( )x最后，非整數(shù)半整數(shù)階的貝塞爾方程的通解就是 和 的線性組合。J ( )xJ ( )x1 2( ) J ( ) J ( )y x c x c x 2. =整數(shù)時(shí)的解判別方程的兩根之差為1 2 ( ) 2n n n 第一個(gè)解只需將 里的 換成n 21 0 ( 1)J ( ) ( ) ( )! ( 1) 2k k

11、k xx y x k k 即為：21 0 ( 1)J ( ) ( ) ( )! ( 1) 2k n kn k xx y x k n k 因?yàn)? 1) ( )!n k n k 所以正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)可寫成 20 1J ( ) ( 1) ( )!( )! 2k n kn k xx k n k 當(dāng)n=1，2，3時(shí)，觀察第二個(gè)解（ ）：22 0 ( 1)J ( ) ( ) ( )! ( 1) 2k n kn k xx y x k n k n 當(dāng)n=0時(shí)，很明顯，只給出了同一個(gè)解。前k=0,1,2,n-1各項(xiàng)的系數(shù)均為0，這是因?yàn)閤=0,-1,-2,都是 函數(shù)的一階極點(diǎn)。對(duì)k之求和實(shí)際上從k=n開始，

12、即2( 1)J ( ) ( )! ( 1) 2k n kk n xx k n k 令m=k-n，將求和指標(biāo)從k換成m(m=0,1,2,)，則有 20 20 1J ( ) ( 1) ( )( )! ( 1) 21 ( 1) ( 1) ( )!( )! 2 ( 1) J ( )m n n mn m n m n mmn n xx m n m xm m nx 與第一解線性相關(guān)。 因此另一個(gè)解要取含對(duì)數(shù)項(xiàng)的形式。這個(gè)解稱為諾依曼函數(shù) ：N ( )n x 1 20 22 1 ( 1)!N ( ) ln( / 2) J ( ) ( )! 21 ( 1) 1 1 1 1 1 . 1 . ( )!( )! 2

13、2 2n n kn n kk n n kk n n k xx x C x k xk k n k n k 其中，C為歐拉常數(shù)，C=0.577216最后， =整數(shù)時(shí)的貝塞爾方程的通解應(yīng)是 1 2( ) J ( ) N ( )n ny x c x c x 和 有個(gè)重要性質(zhì)：J ( )x N ( )n x當(dāng)x-0時(shí)，有J ( )x N ( )n x 因此，若在解貝塞爾方程時(shí)帶有邊界條件：要求解在x=0處有限，那么在兩種情況下，應(yīng)分別舍去 和 ，只取 和 。J N ( )n x J Jn 2( )y x原則上，將 代入貝塞爾方程，即可定出系數(shù)。 Nn(x)函數(shù)也可用以下定義求得：( )cos ( ) (

14、 ) sin( ) ( )cos ( )lim ( )sinJ x J xY x J x J x 不等于整數(shù)等于整數(shù)( )cos ( )( ) lim sinn n J x J xN x 綜上所述，貝塞爾函數(shù)的通解可表示為：( ) ( ) ( )y x AJ x BY x ( )( )J xY x：第一類貝塞爾函數(shù)：第二類貝塞爾函數(shù) 3. =半整數(shù)時(shí)的解判別方程的兩根之差為： ，也是整數(shù)，方程的形式同樣要取1 2 2 在此只研究 的特例。12 此時(shí)方程為： 2 2 2 (1/ 2) 0 x y xy x y 這個(gè)方程的解可用初等函數(shù)表示，所以不用級(jí)數(shù)解法，可直接求解。對(duì)方程作如下變換：1/2(

15、 ) (2/ ) ( )y x x u x代入原方程，化簡(jiǎn)得： 0u u 其通解為：( ) sin cosu x A x B x 1 21 0 002 0 1 0 0 00 ( ) ( ) ( )( ) ( )ln( ) ( ) ( )nnn nnny x x x a x xy x c y x x x x x b x x 將原方程的兩個(gè)線性獨(dú)立解分別記作 和 ，1/2J ( )x 1/2J ( )x 1/21/2J ( ) (2/ ) cosx x x 1/21/2J ( ) (2/ ) sinx x x方程的通解是這兩個(gè)解的線性組合：1/2 1/21/2 1/2J ( ) J ( ) (2/

16、 ) sin (2/ ) cosy A x B xA x x B x x 可知：由1/2( ) (2/ ) ( )y x x u x和( ) sin cosu x A x B x 總結(jié)n常點(diǎn)和正則奇點(diǎn)的概念n用冪級(jí)數(shù)解法解二階線性微分方程q常點(diǎn)鄰域n將系數(shù)展開為常點(diǎn)鄰域的泰勒級(jí)數(shù)形式；n將（方程常點(diǎn)鄰域內(nèi)的）解展開為泰勒級(jí)數(shù)，代入微分方程； n比較系數(shù)，得到系數(shù)之間的遞推關(guān)系；n反復(fù)利用遞推關(guān)系，求出系數(shù)的普遍表達(dá)式，最后得出級(jí)數(shù)解； 總結(jié)q正則奇點(diǎn)鄰域n將系數(shù)展開為正則奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)形式；n將第一種級(jí)數(shù)形式（不包含對(duì)數(shù)部分）的解代入方程；n比較最低次項(xiàng)（指數(shù)為零），得到判定方程（指標(biāo)方程）；比較一般次項(xiàng)系數(shù)，得到遞推公式；n反復(fù)利用遞推公式，求出第一解系數(shù)的普遍表達(dá)式； n由判定方程兩個(gè)根的關(guān)系，得出第二解形式，再用相同方法求解：q兩根之差不為整數(shù)時(shí)，第二解也不包含對(duì)數(shù)部分，將判定方程的第二解代入，即可求得；q兩根之差為整數(shù)時(shí)，第二解可能包含對(duì)數(shù)部分，設(shè)解為第二解形式（包含對(duì)數(shù)），代入方程中，用同樣方法求解。