《階常系數(shù)線性方程》PPT課件

一 、 線 性 微 分 方 程 的 解 法(一 ) 線 性 微 分 方 程 的 解 的 結(jié) 構(gòu)問 題 : 一 定 是 通 解 嗎 ？2211 yCyCy )1(0)()( yxQyxPy1.二 階 齊 次 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu) : 例 如 xx 22 sin,cos1， xxx eee 2,， 線 性 無 關(guān)線 性 相 關(guān)時(shí) ，當(dāng) ),( x 1).函 數(shù) 的 線 性 相 關(guān) 性 例 如 ,0 yy ,sin,cos 21 xyxy ,tan12 常 數(shù)且 xyy .sincos 21 xCxCy 2)二 階 齊 次 線 性 方 程 的 通 解 2.二 階 非 齊 次 線 性 方 程 的 解 的 結(jié) 構(gòu) 1)通 解 的 構(gòu) 成 2) 特 解 的 疊 加 原 理 (二 ) 降 階 法 與 常 數(shù) 變 易 法1.齊 次 線 性 方 程 求 線 性 無 關(guān) 特 解 -降 階 法的 一 個(gè) 非 零 特 解 ，是 方 程設(shè) )1(1y 12 )( yxuy 令 代 入 (1)式 , 得 ,0)()()(2( 111111 uyxQyxPyuyxPyuy ,uv 令則 有 ,0)(2( 111 vyxPyvy ,0)(2( 111 uyxPyuy即 解 得 ,1 )(21 dxxPeyv dxeyu dxxP )(211,1 )(2112 dxeyyy dxxP 劉 維 爾 公 式齊 次 方 程 通 解 為 .1 )(211211 dxeyyCyCy dxxP 0)(2( 111 vyxPyvy 降 階 法的 一 階 方 程 v 設(shè) 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解 為 2211 yCyCy (3)設(shè) 非 齊 次 方 程 通 解 為 2211 )()( yxcyxcy 22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy 設(shè) 0)()( 2211 yxcyxc 22112211 )()()()( yxcyxcyxcyxcy (4)2.非 齊 次 線 性 方 程 通 解 求 法 -常 數(shù) 變 易 法 得代 入 方 程將 ),2(, yyy )()()()( )()()()()( 2222 11112211 xfyxQyxPyxc yxQyxPyxcyxcyxc )()()( 2211 xfyxcyxc (5)(4),(5)聯(lián) 立 方 程 組 )()()( 0)()( 2211 2211 xfyxcyxc yxcyxc ,0)( 21 21 yy yyxw系 數(shù) 行 列 式 ,)( )()( 21 xw xfyxc ,)( )()( 12 xw xfyxc 積 分 可 得 ,)( )()( 211 dxxw xfyCxc ,)( )()( 122 dxxw xfyCxc非 齊 次 方 程 通 解 為 .)( )()( )( 12212211 dxxw xfyydxxw xfyyyCyCy .1111 的 通 解求 方 程 xyxyxxy解 ,01111 xxx對(duì) 應(yīng) 齊 方 一 特 解 為 ,1 xey 由 劉 維 爾 公 式 dxeeey dxxxxx 122 1 ,x對(duì) 應(yīng) 齊 方 通 解 為 .21 xeCxCY 例 ,)()( 21 xexcxxcy 設(shè) 原 方 程 的 通 解 為應(yīng) 滿 足 方 程 組， )()( 21 xcxc 1)()( 0)()( 21 21 xxcexc xcexcx x x 解 得 xxexc xc )( 1)(21 22 )( Cexexc xx ，11 )( Cxxc 原 方 程 的 通 解 為 .1221 xxeCxCy x 小 結(jié)主 要 內(nèi) 容 線 性 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu) ；線 性 相 關(guān) 與 線 性 無 關(guān) ；降 階 法 與 常 數(shù) 變 易 法 ；補(bǔ) 充 內(nèi) 容 可 觀 察 出一 個(gè) 特 解0)()( yxQyxPy ,0)()()1( xxQxP若 ;xy特 解,0)()(1)2( xQxP若 ;xey特 解,0)()(1)3( xQxP若 .xey 特 解 (三 ） 齊 次 線 性 方 程 1.定 義 2. 解 法 )(xfqyypy 1,2 jr xj jy e 由 此 得 特 解 ：1,2 ,2pr 特 征 根 ： .2 0rxy er pr q 2 0r pr q 特 征 方 程 ：1、 由 對(duì) 結(jié) 果 的 猜 想 得 ：2、 對(duì) 判 別 式 的 討 論 齊 次 線 性 方 程 有 兩 個(gè) 不 相 等 的 實(shí) 根 ,2 421 qppr ,2 422 qppr 由 定 理 2得 通 解 ： ;21 21 xrxr eCeCy )0( 特 征 根 為 有 兩 個(gè) 相 等 的 實(shí) 根 1 2 ,rxy y e 特 解 :)0( 特 征 根 為 1 2 ,2pr r r 問 ： 如 何 求 通 解 ？通 解 顯 然 不 是 1 1 2 2y = C y +C y . 21yy 原 因 ： 常 數(shù) 。2r xxe 1r再 回 顧 ： 常 數(shù)e 1 22rx r xe ey 1（ 此 時(shí) 稱 y 與 線 性 無 關(guān) ） 。于 是 須 尋 找 新 函 數(shù) 3 13 3 31: rxy y ey y yy 1 與 有 關(guān)常 數(shù) （ 即 y 與 線 性 無 關(guān) ） 3 31 ,rxy x yy xe 由 簡(jiǎn) 單 性 原 則 猜 得 ： （ 常 數(shù) 變 易 法 ） ， 即由 此 得 通 解 ： 1 2 rxy C C x e 注 :也 可 由 降 階 法 (劉 維 爾 公 式 )得 y3 有 一 對(duì) 共 軛 復(fù) 根 ,1 jr ,2 jr ,)(1 xjey ,)(2 xjey )0( 特 征 根 為 1 2 (i x i xy Ce C e 得 通 解 ： 復(fù) 數(shù) 形 式 ）如 何 得 實(shí) 數(shù) 解 ？由 歐 拉 公 式 cos sin 1iy ie y i y e 注 ：cos sinx iy iyx xe e e e y i y 1 21 1 22 coscos sin 2,cos sin sin2 xxx xy y e xy e x i x y yy e x i x e xi 1 2 1 22 1 2 2, , 2 2y y y y yi 1y1,y2 是 齊 次 線 性 方 程 的 解 ， 則 : 由 此 得 : 1 2 1 2cos , sin2 2x xy y y ye x e xi 也 是 原 方 程 的 解 .由 定 理 1: 也 是 原 方 程 的 解 . 1 2,C Cx 1 2y=e Ccos x+C sin x 由 此 得 通 解 ： 可 任 取 。 綜 上 得 特 征 方 程 法 ： 1 2 1 22 .rxr r r y C C x e 二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 方 程 解 法 小 結(jié)2 1 20 ,r pr q r r 解 特 征 方 程 ： 得 ： ； 1 2 1 21 21 ;rx r xr r y Ce C e 1 2cos sin .: ( 0) a xy e C x C xr i 。特 例 1 2,C C以 上 可 任 取 。 例 .044 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 為 ,0442 rr解 得 ,221 rr故 所 求 通 解 為 .)( 221 xexCCy 例 1 .052 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 為 ,0522 rr解 得 ,2121 jr ，故 所 求 通 解 為 ).2sin2cos( 21 xCxCey x 例 2 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 04 yy ； 2、 025204 22 xdtdxdtxd ； 3、 0136 yyy ； 4、 0365)4( yyy . 二 、 下 列 微 分 方 程 滿 足 所 給 初 始 條 件 的 特 解 : 1、 0,2,044 00 xx yyyyy ； 2、 3,0,0134 00 xx yyyyy . 三 、 求 作 一 個(gè) 二 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 微 分 方 程 ,使3,2,1 xxx eee 都 是 它 的 解 . 四 、 設(shè) 圓 柱 形 浮 筒 ,直 徑 為 m5.0 ,鉛 直 放 在 水 中 ,當(dāng) 稍向 下 壓 后 突 然 放 開 ,浮 筒 在 水 中 上 下 振 動(dòng) 的s2周 期 為 ,求 浮 筒 的 質(zhì) 量 . 練 習(xí) 題 練 習(xí) 題 答 案 一 、 1、 xeCCy 421 ； 2、 tetCCx 2521 )( ； 3、 )2sin2cos( 213 xCxCey x ； 4、 xCxCeCeCy xx 3sin3cos 432221 . 二 、 1、 )2(2 xey x ； 2、 xey x 3sin2 .三 、 0 yy . (提 示 : 為 兩 個(gè)xe,1 線 性 無 關(guān) 的 解 ) 四 、 195M kg. （ 四 ） 非 齊 次 線 性 方 程)(xfqyypy 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 方 程對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 ,0 qyypy通 解 結(jié) 構(gòu) *y y y ,( )( ) cos , ( ) sinmx xm mf x xP xeP xe x P xe x 常 見 類 型 ：難 點(diǎn) ： 如 何 求 特 解 ？ 方 法 ： 待 定 系 數(shù) 法 （ 同 型 化 ！ ） . 猜 測(cè) ： * ( ) xy Q x e 代 入 原 方 程 )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 1( ) 若 是 特 征 方 程 的 零 重 根 即 不 是 根,02 qp ( ) mQ x P x比 較 不 含 微 分 的 項(xiàng) ， 猜 測(cè) 與 同 型 ， 故 ： 2( ) 若 是 特 征 方 程 的 一 重 根 即 單 根,02 qp ,02 p ( ) mP xQ x 同猜 測(cè) 與 ：型 ， 故 * ( ) ;xm mQ x Q x y Q x e 1、 指 數(shù) 式 乘 多 項(xiàng) 式 型 : )()( xPexf mx( ) .mP x m為 次 多 項(xiàng) 式 *( ), ( ) ;xm mQ x xQ x y xQ x e 3( ) 若 是 特 征 方 程 的 二 重 根 ，,02 qp ,02 p綜 上 討 論 知 可 設(shè) 特 解 ： ( )(k x my x e Q kx 是 特 征 方 程 的 ） .重 根注 意 上 述 結(jié) 論 可 推 廣 到 n階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 微 分 方 程 2 2* ( ) ;xm mQ x x Q x y x Q x e .23 2 的 通 解求 方 程 xxeyyy 解對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,0232 rr特 征 根 ， 21 21 rr 21 2 ,x xy ce c e 是 單 根 ，2 2* ( ) ,xy x Ax B e 設(shè)代 入 方 程 , 得 xABAx 22 ,121 BAxexxy 2)121( 于 是原 方 程 通 解 為 .)121( 2221 xxx exxeCeCy 例 1 2、 指 數(shù) 式 乘 三 角 式 型 ：( ) ( )cos ( )sin x l nf x e P x x P x x 1 2( ) ( ) ( )cos ( )sin ,k x m my x e R x x R x x 次 多 項(xiàng) 式 ，是其 中 mxRxR mm )(),( )2()1( max ,m l n設(shè) ： ， 則 有 結(jié) 論 （ 不 證 明 ） ：i k 是 特 征 方 程 的 重 根 。上 述 結(jié) 論 可 推 廣 到 n階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 微 分 方 程 . ( ) ( ) cos sini xk k xm m mg x x e P x x e P x P x cosxe mg x R g x e P x x f x 的 實(shí) 部 ： ； sinxm mg x I g x e P x x f x 的 虛 部 ： 。注 :實(shí) 際 計(jì) 算 中 ,常 有 : cos sinx xm mf x e P x f x e P x 或 +iw xk mg x = x e P x此 時(shí) 可 令或 .sin4 的 通 解求 方 程 xyy 解 對(duì) 應(yīng) 齊 方 通 解 1 2cos sin ,y C x C x 作 輔 助 方 程 4 ,ixy y e ,i 是 單 根 * ,ixy Axe故代 入 上 式 2 4,Ai 2 ,A i 2 2 2sin ( cos ), ixg x ixe x x i x x 所 求 非 齊 方 程 特 解 為 2* cosy x x 原 方 程 通 解 為 .cos2sincos 21 xxxCxCy （ 取 虛 部 ） 例 2 .2cos 的 通 解求 方 程 xxyy 解 對(duì) 應(yīng) 齊 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 作 輔 助 方 程 2 ,ixy y xe 2 ,i 不 是 特 征 方 程 的 根 2( ) ,ixg x Ax B e 設(shè) 代 入 輔 助 方 程4 3 03 1Ai BA 1 43 9 ,A B i ， 21 43 9( ) ,ixg x x j e 例 3 1 4 2 23 9( )(cos sin )x i x j x 所 求 非 齊 方 程 特 解 為 1 42 23 9* cos sin ,y x x x g x 的 實(shí) 部原 方 程 通 解 為 .2sin942cos31sincos 21 xxxxCxCy 1 4 4 12 2 2 23 9 9 3cos sin ( cos sin ) ,x x x x x x i 注 意 xAexAe xx sin,cos ( ) .i xAe 分 別 是 的 實(shí) 部 和 虛 部 .tan 的 通 解求 方 程 xyy 解 對(duì) 應(yīng) 齊 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 用 常 數(shù) 變 易 法 求 非 齊 方 程 通 解 ,sin)(cos)( 21 xxcxxcy 設(shè) ,1)( xw ,cos)( tanseclnsin)( 22 11 Cxxc Cxxxxc原 方 程 通 解 為 .tanseclncossincos 21 xxxxCxCy 例 4 三 、 小 結(jié)( ) ( )xf x e P x * k xy =x e Q(x);(待 定 系 數(shù) 法 )只 含 上 式 一 項(xiàng) 解 法 ： 作 輔 助 方 程 ,求 特 解 , 取 特 解 的 實(shí) 部 或 虛 部 , 得原 非 齊 方 程 特 解 . k Q x P x其 中 ， 為 特 征 方 程 得 重 與根 ， 同 型 。 k xxg =x e Q(x)當(dāng) 是 復(fù) 數(shù) 時(shí) 有 : 思 考 題寫 出 微 分 方 程 xexyyy 22 8644 的 待 定 特 解 的 形 式 . 思 考 題 解 答設(shè) 的 特 解 為設(shè) 的 特 解 為則 所 求 特 解 為 0442 rr 特 征 根CBxAxy 2*1 xeDxy 22*2 （ 重 根 ）CBxAx 2 .22 xeDx*2y*1* yy 22,1 r *2y*1* yy xeyyy 2844 *2y2644 xyyy *1y 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 xeyay 2 ； 2、 xxeyyy 323 ； 3、 xxyy cos4 ； 4、 xyy 2sin . 二 、 求 下 列 各 微 分 方 程 滿 足 已 給 初 始 條 件 的 特 解 : 1、 0,1,54 00 xx yyyy ； 2、 xx exeyyy 2 , 1,1 11 xx yy ； 3、 )2cos(214 xxyy , 0,0 00 xx yy . 練 習(xí) 題 三 、 含 源在 CLR , 串 聯(lián) 電 路 中 ,電 動(dòng) E勢(shì) 為 的 電 源 對(duì)電 充 電容 器 C .已 20E知 伏 , 微 法2.0C ,亨1.0L , 歐1000R ,試 求 合 上 開 后關(guān) K 的 電及流 )(ti )(tuc電 壓 . 四 、 設(shè) )(x函 數(shù) 連 續(xù) ,且 滿 足 xxx dttxdtttex 00 )()()( , )(x求 . 練 習(xí) 題 答 案一 、 1、 221 1sincos aeaxCaxCy x ； 2、 )323( 2221 xxeeCeCy xxx ； 3、 xxxxCxCy sin92cos312sin2cos 21 ； 4、 212cos10121 xeCeCy xx . 二 、 1、 xey x 45)511(161 4 ； 2、 xxx exexexeey 26)121(612 23 ； 3、 )2sin1(812sin161 xxxy . 三 、 )105sin(104)( 31052 3 teti t (安 ), 105sin()105cos(2020)( 33105 3 ttetu tc (伏 ). 四 、 )sin(cos21)( xexxx .