階常系數(shù)非齊次線性方程

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1、( ) (1)y py qy f x 二 階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 方 程對 應(yīng) 齊 次 方 程 ,0 qyypy通 解 結(jié) 構(gòu) ,*yYy 難 點 ： 如 何 求 特 解 ？ 方 法 ： 待 定 系 數(shù) 法 .f(x)常 見 類 型 ),(xPm ,)( xm exP ,cos)( xexP xm ,sin)( xexP xm (1) ( ) ( ), ( )x m mf x e P x P x m 其 中 是 常 數(shù) , 是 次 多 項 式22: 6 9 (1 )( ) (1 ), 2, 1xxy y y e xf x e x m 例 如 即下 面 我 們 討 論 特 解 會 具

2、 有 什 么 樣 的 表 達 式 . 由 于 指 數(shù) 函 數(shù) 與 多 項 式 之 積 的 導 數(shù) 仍 是 同 類 型的 函 數(shù) ,而 方 程 的 右 端 正 好 是 這 種 形 式 的 函 數(shù) .因 此我 們 可 以 推 斷 出 方 程 (1)的 特 解 應(yīng) 該 也 是 指 數(shù) 函 數(shù)與 多 項 式 之 積 .故 設(shè) * ( ) xy Q x e接 著 我 們 可 以 推 導 出 Q (x)應(yīng) 該 是 幾 次 多 項 式 . 將 * ( ) ,xy Q x e * ( ) ( )xy e Q x Q x * 2 ( ) 2 ( ) ( )xy e Q x Q x Q x 代 入 原 方 程 (

3、1)中 ,整 理得 2( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ). (2)mQ x p Q x p q Q x P x 22(1) 00. ( )( )mr pr qr pr q Q xm Q x 如 果 不 是 的 特 征 根 ,那 么為 使 (2)式 兩 端 恒 等 ， 也必 須 是 次 多 項 式 .10 1 1( ) .m mm m mQ x b x b x b x b ;)(* xm exQy ),()( xQxQ m可 設(shè) ,02 qp綜 上 所 述 ， 若 不 是 特 征 方 程 的 根 ，* 0 1 0 1*( ) , , 1, ,( ) .xm m mxmy Q x e

4、 xb b b mb b by Q x e 將 代 入 方 程 (1),比 較 等 式 兩 端 的同 次 冪 的 系 數(shù) ,就 得 到 含 的 個 方 程的 聯(lián) 立 方 程 組 .從 而 可 定 出 系 數(shù) ,并 得 到所 求 特 解 2 1,2: 6 9 (1 ), 2, 3xy y y e x r 例 如 * 2 ( ), , ;xy e ax b a b 故 設(shè) 其 中 是 待 定 常 數(shù) 是 特 征 方 程 的 單 根 ，若 )2( ,02 qp ,02 p),()( xxQxQ m可 設(shè) ;)(* xm exxQy )()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m 3 1

5、2: 4 3 (1 ), 3,1, 3, xy y y e xr r 例 如 * 33 , ( ) , ; xy x a bx ea b 即 是 單 根 則 可 設(shè)其 中 是 待 定 常 數(shù) 是 特 征 方 程 的 重 根 ，若 )3( ,02 qp ,02 p),()( 2 xQxxQ m可 設(shè)綜 上 討 論 ,)(* xQexy mxk 設(shè) 是 重 根是 單 根不 是 根2 ,10k注 意 上 述 結(jié) 論 可 推 廣 到 n階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性微 分 方 程 （ k是 重 根 次 數(shù) ） . .)(2* xm exQxy :)( 的 步 驟求 xPeqyypy mx )(:

6、特 征 根 法解先 求 對 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通第 一 步 Y *: y方 程 的 一 個 特 解用 待 定 系 數(shù) 法 求 非 齊 次第 二 步 見 下 表的 形 式從 而 確 定的 關(guān) 系與比 較 ,.1 *yr 是 重 根 xm exQxy )(2* 是 單 根 xm exxQy )(* 不 是 特 征 根 xm exQy )(* 的 關(guān) 系與 r 的 設(shè) 法*y 的 幾 種 形 式)(xQm ),( 2, 1, 0,)( 2是 待 定 系 數(shù)cba mcbxax mbax maxQm . , ,)(,)(.2 * * y yyy出 原 方 程 的 一 個 特 解 從 而 求確 定

7、 待 定 系 數(shù) 的 值比 較 兩 邊 的 形 式 代 入 原 方 程 中及將 設(shè) 好 形 式 的 3.由 非 齊 次 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu) 定 理 知 其 通 解 為,*yYy Y的 通 解次 方 程對 應(yīng) 齊 *y特 解的 一 個原 方 程 .23 2 的 通 解求 方 程 xxeyyy 解對 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,0232 rr特 征 根 ， 21 21 rr ,221 xx ececY 是 單 根 ，2 ,)( 2* xebaxxy 設(shè)代 入 方 程 , 得 xabax 22 , 121 baxexxy 2* )121( 于 是 為 原 方 程 通 解.)121

8、( 2221 xxx exxeCeCy 例 1 02,12 aba .1332 的 通 解求 方 程 xyyy解對 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,0322 rr特 征 根 ， 31 21 rr ,321 xx ececY 是 特 征 根 ，不0 0)(,)(, * yaybaxy可 設(shè)代 入 原 方 程 , 得 13)(32 xbaxa ,311 ba31* xy于 是 例 2 33,132 aba 31321 xeCeCy xx 為 原 方 程 通 解 .0)0(,1)0(,54 的 特 解滿 足求 方 程 yyyy解對 應(yīng) 齊 次 方 程 通 解特 征 方 程 ,042 rr

9、特 征 根 ， 40 21 rr ,421 xeccY 是 特 征 單 根 ，0 0)(,)(, * yayaxy可 設(shè)代 入 原 方 程 , 得 54 a xy 45 * 于 是 例 3 xeCCy x 45421 為 原 方 程 通 解45 a xey ccyy x 451611165: 1611,165,0)0(,1)0( 4 21 故 所 求 特 解 為 得由 初 始 條 件 型二 、 sin)(cos)()( xxPxxPexf nlx sincos)( xPxPexf nlx 22 ieePeePe xixinxixilx xinlxinl eiPPeiPP )()( )22()2

10、2( ,)()( )()( xixi exPexP ,)( )( xiexPqyypy 設(shè) ,)(1* ximk eQxy 利 用 歐 拉 公 式 ,)( )( xiexPqyypy 設(shè) ,)(2* ximk eQxy * ximximxk eQeQexy ,sin)(cos)( )2()1( xxRxxRex mmxk 次 多 項 式 ，是其 中 mxRxR mm )(),( )2()1( nlm ,max,10 是 單 根不 是 根 iik注 意上 述 結(jié) 論 可 推 廣 到 n階 常 系 數(shù) 非 齊 次 線 性 微 分 方 程 . :sin)(cos)( 的 步 驟求 xxPxxPeqy

11、ypy nlx )(: 特 征 根 法解先 求 對 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通第 一 步 Y *: y方 程 的 一 個 特 解用 待 定 系 數(shù) 法 求 非 齊 次第 二 步 見 下 表的 形 式從 而 確 定的 關(guān) 系與比 較 ,.1 *yri 0, ki不 是 特 征 根 ,sin)( cos)()2( )1(* xxQ xxQexy m mxk 的 設(shè) 法*y的 關(guān) 系與 ri 1, ki是 特 征 根 ,max nlm其 中 . , ,)(,)(.2 * * y yyy出 原 方 程 的 一 個 特 解 從 而 求確 定 待 定 系 數(shù) 的 值比 較 兩 邊 的 形 式 代 入 原

12、方 程 中及將 設(shè) 好 形 式 的 3.由 非 齊 次 方 程 解 的 結(jié) 構(gòu) 定 理 知 其 通 解 為,*yYy Y的 通 解次 方 程對 應(yīng) 齊 *y特 解的 一 個原 方 程 .sin4 的 通 解求 方 程 xyy 解 對 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通 解 ,sincos 21 xCxCY ),sincos(* xbxaxy 故 設(shè)例 4 xaxbxbxay xaxbxbxa xbxaxxbxay cos)2(sin)2()( ,sin)(cos)( )cossin()sincos()( * 有代 入 原 方 程將 ,)(, * yy xxbxa sin4cos2sin2 ,i 是 單

13、 根 所 求 非 齊 方 程 特 解 為 ,cos2* xxy 原 方 程 通 解 為 .cos2sincos 21 xxxCxCy 0,2, ba得比 較 等 式 兩 邊 xxbxa sin4cos2sin2 .2cos 的 通 解求 方 程 xxyy 解 對 應(yīng) 齊 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY ,2sin)(2cos)(* xdcxxbaxy 設(shè) 代 入 原 方 程 ,94,0,031 dcba ，得例 5所 求 非 齊 方 程 特 解 為 ,2sin942cos31 * xxxy 原 方 程 通 解 為 .2sin942cos31sincos 21 xxxxCxCy 2

14、 ,i i 不 是 特 征 方 程 的 根 如 果 )()()()( 21 xfxfyxQyxPy 而 *1y 與 *2y 分 別 是 方 程 , )()()( 1 xfyxQyxPy )()()( 2 xfyxQyxPy 的 特 解 , 那 么 *2*1 yy 就 是 原 方 程 的 特 解 . 由 解 的 疊 加 原 理 知 練 習 1 14 cos2 .2 2y y x x 求 方 程 的 通 解2 1,2 4 0 2 ,r r i 解 由 ， 得 1 2cos2 sin 2Y c x c x 故 對 應(yīng) 齊 次 方 程 的 通 解 為 *114 cos2 ( cos2 sin 2 ).

15、2y y x y x a x b x 設(shè) 的 特 解1, 0,8b a 解 得 所 以 *1 1 sin 28y x x 1, 0,8 d 解 得 c 所 以 *214 .2y y x y cx d 設(shè) 的 特 解 *2 18y x* 1 1 y sin 28 8 x x x 故 得 原 方 程 的 一 個 特 解 是因 此 ,原 方 程 的 通 解 為 1 2 1 1 y cos2 sin 2 sin 28 8 c x c x x x x 定 理 5.5.11 2 1 21 2 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y

16、 y x iy xy P x y Q x y f x if xy x y xy P x y Q x y f xy P x y Q x y f x 設(shè) 是 方 程的 解 ,則 與 分 別 是 方 程與的 解 . .2cos 的 通 解求 方 程 xxyy 解 對 應(yīng) 齊 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 作 輔 助 方 程 ,2ixxeyy 2 ,i 不 是 特 征 方 程 的 根* 2( ) ,xiy Ax B e 設(shè) 代 入 輔 助 方 程4 3 03 1Ai BA 1 4 ,3 9A B i ， * 21 4( ) ,3 9 xiy x i e 例 6 1 4( )(cos2

17、sin 2 )3 9x i x i x 所 求 非 齊 次 方 程 特 解 為 ,2sin942cos31 xxxy 原 方 程 通 解 為 .2sin942cos31sincos 21 xxxxCxCy 1 4 4 1cos2 sin 2 ( cos2 sin 2 ) ,3 9 9 3x x x x x x i （ 取 實 部 ）注 意 xAexAe xx sin,cos ( ) .i xAe 分 別 是 的 實 部 和 虛 部 .tan 的 通 解求 方 程 xyy 解 對 應(yīng) 齊 方 通 解 ,sincos 21 xCxCY 用 常 數(shù) 變 易 法 求 非 齊 方 程 通 解 ,sin)

18、(cos)( 21 xxcxxcy 設(shè) ,1)( xw ,cos)( tanseclnsin)( 22 11 Cxxc Cxxxxc原 方 程 通 解 為 .tanseclncossincos 21 xxxxCxCy 例 7 三 、 小 結(jié) 可 以 是 復(fù) 數(shù) ） (),()()1( xPexf mx );(* xQexy mxk ,sin)(cos)()()2( xxPxxPexf nlx ;sin)(cos)( )2()1(* xxRxxRexy mmxk (待 定 系 數(shù) 法 ) 思 考 題寫 出 微 分 方 程 xexyyy 22 8644 的 待 定 特 解 的 形 式 . 思 考

19、題 解 答設(shè) 的 特 解 為2644 xyyy *1yxeyyy 2844 設(shè) 的 特 解 為 *2y*2y*1* yy 則 所 求 特 解 為 0442 rr 特 征 根 22,1 rCBxAxy 2*1 xeDxy 22*2 （ 重 根 ）*2y*1* yy CBxAx 2 .22 xeDx 一 、 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 : 1、 xeyay 2 ； 2、 xxeyyy 323 ； 3、 xxyy cos4 ； 4、 xyy 2sin . 二 、 求 下 列 各 微 分 方 程 滿 足 已 給 初 始 條 件 的 特 解 : 1、 0,1,54 00 xx yyyy ；

20、2、 xx exeyyy 2 , 1,1 11 xx yy ； 3、 )2cos(214 xxyy , 0,0 00 xx yy . 練 習 題 三 、 含 源在 CLR , 串 聯(lián) 電 路 中 ,電 動 E勢 為 的 電 源 對電 充 電容 器 C .已 20E知 伏 , 微 法2.0C ,亨1.0L , 歐1000R ,試 求 合 上 開 后關(guān) K 的 電及流 )(ti )(tuc電 壓 . 四 、 設(shè) )(x函 數(shù) 連 續(xù) ,且 滿 足 xxx dttxdtttex 00 )()()( , )(x求 . 練 習 題 答 案一 、 1、 221 1sincos aeaxCaxCy x ； 2、 )323( 2221 xxeeCeCy xxx ； 3、 xxxxCxCy sin92cos312sin2cos 21 ； 4、 212cos10121 xeCeCy xx . 二 、 1、 xey x 45)511(161 4 ； 2、 xxx exexexeey 26)121(612 23 ； 3、 )2sin1(812sin161 xxxy . 三 、 )105sin(104)( 31052 3 teti t (安 ), 105sin()105cos(2020)( 33105 3 ttetu tc (伏 ). 四 、 )sin(cos21)( xexxx .