高考數(shù)學(xué) 6.5 合情推理與演繹推理課件.ppt

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第五節(jié) 合情推理與演繹推理,【知識梳理】 1.必會(huì)知識 教材回扣 填一填 (1)歸納推理: ①定義:由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的_____ 對象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出_________的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納). ②特點(diǎn):由_____到整體、由_____到一般的推理.,全部,一般結(jié)論,部分,個(gè)別,(2)類比推理: ①定義:由兩類對象具有某些_________和其中一類對象的某些已 知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡 稱類比). ②特點(diǎn):由特殊到_____的推理. (3)合情推理:歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、 分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納、_____,然后提出_____的推理,我 們把它們統(tǒng)稱為合情推理.,類似特征,特殊,猜想,(4)演繹推理:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們 把這種推理稱為演繹推理.簡言之,演繹推理是由一般到_____的推理. (5)演繹推理的一般模式——“三段論”: ①大前提——已知的_________; ②小前提——所研究的_________; ③結(jié)論——根據(jù)_________,對_________做出的判斷.,特殊,一般原理,特殊情況,一般原理,特殊情況,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)合情推理的結(jié)論是猜想,不一定正確;演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí),得到的結(jié)論一定正確. (2)合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理;演繹推理是證明結(jié)論的推理.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:歸納,類比. (2)數(shù)學(xué)思想:合情推理思想,演繹推理思想. (3)記憶口訣:合情未必就合理, 推理正確靠演繹; 演繹要用三段論, 大小推理要合理.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理.( ) (2)在類比時(shí),平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.( ) (3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù),某數(shù)m是3的倍數(shù),則m一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.( ) (4)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式,結(jié)論就一定正確.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤;歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理;類比推理是由特殊到特殊的推理. (2)錯(cuò)誤;平面中的三角形與空間中的四面體作為類比對象較為合適. (3)正確;因?yàn)榇笄疤徨e(cuò)誤,所以結(jié)論錯(cuò)誤. (4)錯(cuò)誤;演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí),得到的結(jié)論一定正確. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(選修2-2P77練習(xí)T1改編)已知數(shù)列{an}中,a1=1,n≥2時(shí), an=an-1+2n-1,依次計(jì)算a2,a3,a4后,猜想an的表達(dá)式是( ) A.an=3n-1 B.an=4n-3 C.an=n2 D.an=3n-1 【解析】選C,a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.,(2)(選修2-2P84習(xí)題2.1A組T5改編)在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n19,且n∈N*)成立.類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則存在的等式為 . 【解析】根據(jù)類比推理的特點(diǎn)可知:等比數(shù)列和等差數(shù)列類比,在等差數(shù)列中是和,在等比數(shù)列中是積,故有 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n17,且n∈N*) 答案:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n17,且n∈N*),3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·北京高考)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個(gè)等級,依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙,且其中至少有一門成績高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好,并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有( ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人,【解析】選B.假設(shè)A、B兩位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一樣,由題意知他們語文成績不一樣,這樣他們的語文成績總有人比另一個(gè)人高,語文成績較高的學(xué)生比另一個(gè)學(xué)生“成績好”,與已知條件“他們之中沒有一個(gè)比另一個(gè)成績好”相矛盾.因此,沒有任意兩位學(xué)生數(shù)學(xué)成績是相同的.因?yàn)閿?shù)學(xué)成績只有3種,因而學(xué)生數(shù)量最大為3,即3位學(xué)生的成績分別為(優(yōu)秀,不合格)、(合格,合格)、(不合格,優(yōu)秀)時(shí)滿足條件.,(2)(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí), 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說:我沒去過C城市; 丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為 . 【解析】由丙可知,乙至少去過一個(gè)城市,由甲說可知甲去過A,C且比乙多,故乙只去過一個(gè)城市,且沒有去過C城市,故乙只去過A城市. 答案:A,(3)(2014·陜西高考)觀察分析下表中的數(shù)據(jù):,猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是 .,【解析】由題中所給的三組數(shù)據(jù),可得5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,由此可以猜想出一般凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E所滿足的等式是F+V-E=2. 答案:F+V-E=2,考點(diǎn)1 類比推理 【典例1】(2015·泉州模擬)設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b,c,△ABC的 面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r= ;類比這個(gè)結(jié)論可知,四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,四面體ABCD的體積為V,內(nèi)切球半徑為R,則R= . 【解題提示】平面中的邊長與面積類比空間中的面積與體積,二維圖形中的2類比三維圖形中的3.,【規(guī)范解答】三角形的面積類比四面體的體積，三角形的邊長類比 四面體四個(gè)面的面積，內(nèi)切圓半徑類比內(nèi)切球的半徑，二維圖形中 的 類比三維圖形中的 ，得R＝ 答案：,【互動(dòng)探究】把本例改為:在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的 距離之和為定值 a,類比上述結(jié)論,在棱長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值 .,【解析】正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個(gè)面組成四個(gè)三棱錐，它們的體積 之和為正四面體的體積，設(shè)點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為h1，h2，h3， h4，每個(gè)面的面積為 正四面體的體積為 則有 得h1＋h2＋h3＋h4＝ 答案：,【規(guī)律方法】類比推理的關(guān)鍵及情形 (1)進(jìn)行類比推理,應(yīng)從具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對比,提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關(guān)鍵. (2)類比推理常見的情形有:平面與空間類比;低維與高維的類比;等差與等比數(shù)列類比;運(yùn)算類比(加與乘、乘與乘方,減與除,除與開方).數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比;圓錐曲線間的類比等.,【變式訓(xùn)練】若{an}是等差數(shù)列,m,n,p是互不相等的正整數(shù),則有: (m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,對等比數(shù)列{bn},m,n,p是互不相等的正整數(shù),有 .,【解析】等差數(shù)列的三項(xiàng)之和類比等比數(shù)列的三項(xiàng)之積，等差數(shù)列 中(m－n)ap類比等比數(shù)列中的 答案：,【加固訓(xùn)練】(2015·溫州模擬)下面使用類比推理,得出正確結(jié)論的是 . ①“若a·3=b·3,則a=b”類比出“若a·0=b·0,則a=b”; ②“若(a+b)c=ac+bc”類比出“(a·b)c=ac·bc”; ③“若(a+b)c=ac+bc”類比出“ (c≠0)”; ④“(ab)n=anbn”類比出“(a+b)n=an+bn”.,【解析】①中,3與0兩個(gè)數(shù)的性質(zhì)不同,故類比中把3換成0,其結(jié)論不成立;②中,乘法滿足對加法的分配律,但乘法不滿足對乘法的分配律;③是正確的;④中,令n=2顯然不成立. 答案:③,考點(diǎn)2 歸納推理 知·考情 歸納推理是發(fā)現(xiàn)問題、找出規(guī)律的具體鮮明的方法,也是創(chuàng)新的一種思維方式,因而成為高考考查的亮點(diǎn),常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),主要考查數(shù)列、不等式、等式、函數(shù)、幾何等問題.,明·角度 命題角度1:與數(shù)字有關(guān)的推理 【典例2】(2015·新鄉(xiāng)模擬)從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列,現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng),使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi),則這九個(gè)數(shù)的和可以為( ) A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014,【解題提示】設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a,則第二層的三個(gè)數(shù)為a+7,a+8,a+9,第三層的五個(gè)數(shù)為a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,根據(jù)題意求和驗(yàn)證. 【規(guī)范解答】選B.根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列,設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a,則第二層的三個(gè)數(shù)為a+7,a+8,a+9,第三層的五個(gè)數(shù)為a+14,a+15,a+16,a+17,a+18, 這9個(gè)數(shù)之和為a+3a+24+5a+80=9a+104. 由9a+104=2012,得a=212,是自然數(shù). 故選B.,命題角度2:與不等式有關(guān)的推理 【典例3】(2015·寶雞模擬)觀察下列不等式 … 照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為 .,【解題提示】觀察不等式兩邊式子的特點(diǎn)，總結(jié)指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、分子、分母之間的數(shù)量關(guān)系.,【規(guī)范解答】左邊的式子的通項(xiàng)是 右邊式子 的分母依次增加1，分子依次增加2，還可以發(fā)現(xiàn)右邊分母與左邊最 后一項(xiàng)分母的關(guān)系，所以第五個(gè)不等式為 答案：,悟·技法 1.歸納推理的一般步驟 (1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì). (2)從相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題. 2.處理與歸納推理相關(guān)的類型及策略 (1)與數(shù)字有關(guān):觀察數(shù)字特點(diǎn),找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律可解. (2)與不等式有關(guān):觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn),找到規(guī)律后可解.,通·一類 1.(2015·臨沂模擬)觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 【解析】選D.由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x).,2.(2015·瀘州模擬)一支人數(shù)是5的倍數(shù)且不少于1000人的游行隊(duì)伍,若按每橫排4人編隊(duì),最后差3人;若按每橫排3人編隊(duì),最后差2人;若按每橫排2人編隊(duì),最后差1人.則這只游行隊(duì)伍的最少人數(shù)是( ) A.1 025 B.1 035 C.1 045 D.1 055,【解析】選C.設(shè)這只游行隊(duì)伍的最少人數(shù)是n, 因?yàn)槊繖M排4人編隊(duì),最后差3人;若按每橫排3人編隊(duì),最后差2人;若按每橫排2人編隊(duì),最后差1人. 所以n-1是2,3,4的公倍數(shù),即12的倍數(shù), 即n-1=1008+12k,k∈N, 則n=1009+12k,k∈N, 又因?yàn)閚為5的倍數(shù), 故當(dāng)k=3時(shí),1045是滿足條件的最少人數(shù),故選C.,3.(2013·陜西高考)觀察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, … 照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為 .,【解析】12=1, 12-22=-(1+2), 12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4), …, 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2 =(-1)n+1(1+2+…+n) =(-1)n+1 答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1,考點(diǎn)3 演繹推理 【典例4】(2015·保定模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知 a1=1,an+1= Sn(n∈N*),證明: (1)數(shù)列 是等比數(shù)列. (2)Sn+1=4an.,【解題提示】(1)利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1. (2)根據(jù) 是等比數(shù)列得到Sn+1與Sn-1的關(guān)系,再利用an= Sn-1 證明.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ 所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 所以 (小前提) 故 是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了),(2)由(1)可知 所以Sn＋1＝4(n＋1)· ·Sn－1＝4an(n≥2)(小前提) 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) 所以對于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論),【規(guī)律方法】三段論的依據(jù)及應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn) (1)演繹推理的一般模式為三段論,三段論推理的依據(jù)是:如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性質(zhì)P. (2)應(yīng)用三段論的注意點(diǎn):解決問題時(shí),首先應(yīng)該明確什么是大前提,小前提,然后再找結(jié)論.,【變式訓(xùn)練】(2015·北京模擬)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)， 且f(1)＝2，則 ＝_________.,【解析】利用三段論． 因?yàn)閒(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)． 令b＝1，則 ＝f(1)＝2(小前提)． 所以 所以原式＝ ＝2 014. 答案：2 014,【加固訓(xùn)練】已知函數(shù)y=f(x),滿足:對任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a), (1)試證明:f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù). (2)若x,y為正實(shí)數(shù)且 =4,比較f(x+y)與f(6)的大小.,【解析】(1)設(shè)x1,x2∈R,取x1x1f(x2)+x2f(x1), 所以x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)0, 因?yàn)閤10,所以f(x2)f(x1). 所以y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).,創(chuàng)新體驗(yàn)6 演繹推理中的創(chuàng)新問題 【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 1.高考考情:與演繹推理有關(guān)的新定義問題是高考命制創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn),常與集合、函數(shù)等結(jié)合,且考查的頻次較高. 2.命題形式:常見的有新概念,新法則,新運(yùn)算等.,【新題快遞】 1.(2013·廣東高考)設(shè)整數(shù)n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三條件xyz,yzx,zxy恰有一個(gè)成立},若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,則下列選項(xiàng)正確的是( ) A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 【解題提示】本題在集合背景下利用新定義考查推理論證能力,應(yīng)理解好元素在集合S中的含義.,【解析】選B.(x,y,z)∈S即x,y,z∈X,且三條件xyz,yzx,zxy 恰有一個(gè)成立,則x,y,z是X中兩兩互不相同的三個(gè)數(shù)(不妨設(shè)xyz), 同理,(z,w,x)∈S意味著z,w,x也兩兩互不相同(由于xz,wxz或 xzw有且只有一個(gè)成立),對于(y,z,w)由于yz,且wxz?wyz或 xzw?yzw,所以(y,z,w)∈S.同理,對于(x,y,w),由于xy,xzw ?xyw或wxz?wxy,所以(x,y,w)∈S.,2.(2015·萊蕪模擬)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),那么對于區(qū) 間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,都有 若y=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是 . 【解析】sinA+sinB+sinC≤ 答案:,3.(2015·惠州模擬)我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M： 函數(shù)y=f(x)(x∈D)，對任意x,y, ∈D均滿足 ［f(x)+f(y)］，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號成立. (1)若定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)∈M，試比較f(3)+f(5)與2f(4)的大小. (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝－x2，求證：g(x)∈M.,【解析】 (1)對于 ［f(x)+f(y)］，令x=3,y=5得f(3)+f(5)2f(4).,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決新定義問題時(shí),一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,及符號語言,緊扣所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式,切記不要與已有的概念或定義相混淆. 2.方法選取:對新定義問題,可結(jié)合特例法、篩選法等方法,并注意運(yùn)用集合的有關(guān)性質(zhì)求解,要注意培養(yǎng)學(xué)生領(lǐng)悟新信息的能力.,