高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 13-3 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件 新人教A版.ppt

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最新考綱 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．,第3講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用,1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取__________________時命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當(dāng)_________時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．,知 識 梳 理,第一個值n0(n0∈N*),n＝k＋1,2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的框圖表示,1．判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗證當(dāng)n＝1時結(jié)論成立． ( ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明． ( ) (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用． ( ) (4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項． ( ),診 斷 自 測,×,×,×,×,A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案 C,解析 n＝k時，等式左邊＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1時，等式左邊＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.比較上述兩個式子，n＝k＋1時，等式的左邊是在假設(shè)n＝k時等式成立的基礎(chǔ)上，等式的左邊加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 答案 D,4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n＝2k－1(k∈N＋)命題為真時，進(jìn)而需證n＝________時，命題亦真． 解析 因為n為正奇數(shù)，所以與2k－1相鄰的下一個奇數(shù)是2k＋1. 答案 2k＋1,答案 3 4 5 n＋1,考點一 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：,所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立， 由(1)(2)可知，對于一切n∈N*等式都成立． 規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式時，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時等式的兩邊變化的項，然后正確寫出歸納證明的步驟，使問題得以證明．,【訓(xùn)練1】 求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． 證明 (1)當(dāng)n＝1時，等式左邊＝2，右邊＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)． 當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2) ＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1) ＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)． 這就是說當(dāng)n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)(1)(2)知，對n∈N*，原等式成立．,考點二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例2】 等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b0，且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當(dāng)b＝2時，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)．,規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時命題成立證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化．,考點三 歸納——猜想——證明 (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式； (2)證明通項公式的正確性．,規(guī)律方法 “歸納—猜想—證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性．,【訓(xùn)練3】 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*)． (1)求a1，a2； (2)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式，并給出證明．,[思想方法] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個步驟缺一不可，否則就會導(dǎo)致錯誤． 有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ)． 2．歸納假設(shè)的作用 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點：,(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證n＝k＋1時，必須用上歸納假設(shè)． 3．利用歸納假設(shè)的技巧 在推證n＝k＋1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設(shè)．此時既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握n＝k與n＝k＋1之間的關(guān)系．在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用．,[易錯防范] 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題時初始值n0不一定是1. 2．推證n＝k＋1時一定要用上n＝k時的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法． 3．解“歸納——猜想——證明”題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算出前若干具體項，這是歸納、猜想的基礎(chǔ)．否則將會做大量無用功．,