高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 3.4 定積分與微積分基本定理課件 文 北師大版.ppt

3.4 定積分與微積分基本定理,考綱要求:1.了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念. 2.了解微積分基本定理的含義.,1.定積分的定義和相關概念 一般地,給定一個在區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x),其圖像如圖所示. 將a,b區(qū)間分成n份,分點為:a=x0x1x2xn-1xn=b. 第i個小區(qū)間為xi-1,xi,設其長度為xi,在這個小區(qū)間上取一點i,使f(i)在區(qū)間xi-1,xi上的值最大,設S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn. 在這個小區(qū)間上取一點i,使f(i)在區(qū)間xi-1,xi上的值最小,設s=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn.,如果每次分割后,最大的小區(qū)間的長度趨于0,S與s的差也趨于0,此時,S與s同時趨于某一個固定的常數(shù)A,容易驗證,在每個小區(qū)間xi-1,xi上任取一點i,S'=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn的值也趨于該常數(shù)A,我們稱A是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作 其中叫作積分號,a叫作積分的下限,b叫作積分的上限,f(x)叫作被積函數(shù).,2.定積分的幾何意義 (1)當函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上恒為正時,定積分 的幾何意義是由直線x=a,x=b(ab),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖中陰影部分).,(2)一般情況下,定積分 的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖中陰影所示),其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值,在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù).,2,3,4,1,5,×,2,3,4,1,5,2.定積分 的值為( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1,答案,解析,2,3,4,1,5,3.直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為( ),答案,解析,2,3,4,1,5,4.(2015湖南,理11) = .,答案,解析,2,3,4,1,5,5.一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度 (t的單位:s,v的單位:m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位:m)為 .,答案,解析,2,3,4,1,5,自測點評 1.定積分基本思想的核心是“以直代曲”,其方法是“分割求近似,求和取極限”.定積分只與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關,與積分變量無關. 2.由微積分基本定理可知,求定積分的關鍵是求導函數(shù)的原函數(shù),由此可知,求導與積分是互為逆運算. 3.重視定積分性質(zhì)在求值中的應用.區(qū)分定積分與曲邊梯形面積間的關系,定積分可正、可負,也可以為0,是曲邊梯形面積的代數(shù)和;而曲邊梯形面積非負.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1定積分的計算 例1計算下列定積分:,答案,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:計算定積分有哪些步驟? 解題心得:計算定積分的解題的步驟: (1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差. (2)把定積分變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分. (3)分別用求導公式的逆運算找到一個相應的原函數(shù). (4)利用微積分基本定理求出各個定積分的值,然后求其代數(shù)和.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2利用定積分求平面圖形的面積 例2(1)由曲線y= ,直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015天津,理11)曲線y=x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為 .,答案,解析,思考:用定積分求平面圖形的面積的步驟有哪些? 解題心得:利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟: (1)畫出圖形;(2)確定被積函數(shù);(3)求出交點坐標,并確定積分的上、下限;(4)運用微積分基本定理計算定積分,求出平面圖形的面積.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練2 (1)直線l過拋物線C:x2=4y的焦點且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3定積分在物理中的應用 例3(1)從空中自由下落的一物體,在第一秒末恰經(jīng)過電視塔頂,在第二秒末物體落地,已知自由落體的運動速度為v=gt(g為常數(shù)),則電視塔高為( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015杭州模擬)設變力F(x)作用在質(zhì)點M上,使M沿x軸正向從x=1運動到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x軸正向相同,則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為 J(x的單位:m;力的單位:N).,答案,解析,思考:利用定積分解決變速運動問題和變力做功問題的關鍵是什么? 解題心得:利用定積分解決變速運動問題和變力做功問題時,關鍵是求出物體做變速運動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關系,確定好積分區(qū)間,得到積分表達式,再利用微積分基本定理計算即得所求.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練3 (1)一物體做變速直線運動,其v-t曲線如圖所示,則該物體在 6 s間的運動路程為 m.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)一物體受到與它運動方向相反的力F(x)= ex+x的作用,則它從x=0運動到x=1時,F(x)所做的功等于 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.求定積分的方法: (1)利用定義求定積分(定義法),可操作性不強. (2)利用微積分基本定理求定積分步驟如下: 求被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x); 計算F(b)-F(a). (3)利用定積分的幾何意義求定積分.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,3.定積分在物理中的兩個應用: (1)變速直線運動的路程:如果變速直線運動物體的速度為v=v(t),那么從時刻t=a到t=b所經(jīng)過的路程 (2)變力做功:一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同方向從x=a移動到x=b時,力F(x)所做的功是,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.被積函數(shù)若含有絕對值號,應去掉絕對值號,再分段積分. 2.若積分式子中有幾個不同的參數(shù),則必須先分清誰是被積變量. 3.定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限. 4.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積,但要注意:面積非負,而定積分的結(jié)果可以為負.,