高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.4 課時2 不等式的證明課件 理.ppt

,§14.4 不等式選講,課時1 不等式的證明,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.不等式證明的方法 (1)比較法： 作差比較法： 知道abab0，ab只要證明 即可，這種方法稱為作差比較法. 作商比較法： 由ab0 1且a0，b0，因此當(dāng)a0，b0時，要證明ab，只要證明 即可，這種方法稱為作商比較法.,ab0,知識梳理,1,答案,(2)綜合法： 從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法.即“ ”的方法. (3)分析法： 從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法.即“ ”的方法.,由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,答案,(4)反證法和放縮法： 先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法. 在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法.,(5)數(shù)學(xué)歸納法： 一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟： 證明當(dāng)nn0時命題成立； 假設(shè)當(dāng)nk (kN*，且kn0)時命題成立，證明nk1時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.,2.幾個常用基本不等式 (1)柯西不等式： 柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2) (當(dāng)且僅當(dāng)adbc時，等號成立). 柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個向量，則|·|，等號當(dāng)且僅當(dāng)，共線時成立.,(acbd)2,答案,(2)算術(shù)幾何平均不等式,答案,解 根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，,考點自測,2,解析答案,1,2,3,(121212)(abc)3.,解析答案,1,2,3,解 x0，y0，,1,2,3,解析答案,返回,題型分類 深度剖析,證明 因為x0，y0，xy0，,題型一 用綜合法與分析法證明不等式,解析答案,只需證明(abc)23. 即證：a2b2c22(abbcca)3， 而abbcca1， 故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca). 即證：a2b2c2abbcca.,所以原不等式成立.,解析答案,思維升華,用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野.,思維升華,設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：,證明 由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca. 由題設(shè)得(abc)21， 即a2b2c22ab2bc2ca1. 所以3(abbcca)1，,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,證明 當(dāng)|ab|0時，不等式顯然成立. 當(dāng)|ab|0時，,題型二 放縮法證明不等式,解析答案,思維升華,(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧. 常見的放縮變換有：,利用函數(shù)的單調(diào)性；,(2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度.,思維升華,證明 由2nnkn(k1,2，n)，,跟蹤訓(xùn)練2,原不等式成立.,解析答案,例3 已知x，y，z均為實數(shù).,(121212)(3x13y23z3)27.,題型三 柯西不等式的應(yīng)用,解析答案,(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值.,解析答案,思維升華,(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,返回,證明 由柯西不等式及題意得，,返回,思想方法 感悟提高,證明不等式的方法和技巧： (1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等. (2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明.尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是去絕對值號，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解.多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù).,(3)在使用基本不等式時，等號成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用時，要求分析每次使用時等號是否成立. (4)柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式，也要注意等號成立的條件.,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.已知xy1，求2x23y2的最小值.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,又abc0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,6.已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值.,解 由柯西不等式得 (441)×(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32， 9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2. 2a2bc8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,證明：(1)ab2； (2)a2a2與b2b2不可能同時成立.,(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時成立， 則由a2a2及a0得0a1； 同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾. 故a2a2與b2b2不可能同時成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(1)關(guān)于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范圍；,解 |x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|1，即a的取值范圍是(1，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,解 由柯西不等式，得,即25×1(xyz)2. 5|xyz|，5xyz5. xyz的取值范圍是5,5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,10.已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，).,解 因為a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,(2)求證：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,返回,證明 方法一 由a，b(0，)，ab1， x1，x2(0，)，及柯西不等式可得：,所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解析答案,方法二 因為a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)， 所以(ax1bx2)(ax2bx1),x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1x2(a2b22ab) x1x2(ab)2x1x2， 當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時，取得等號. 所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,返回,