高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2_2_2 反證法課件 新人教A版選修2-2

2.2.2反證法 自主學(xué)習(xí) 新知突破 1了解反證法是間接證明的一種方法2理解反證法的思維過程，并會用反證法證明簡單的數(shù)學(xué)問題 1問題A，B，C三個(gè)人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A，B都撒謊則C必定是在撒謊，為什么？提示假設(shè)C沒有撒謊，則C真那么A假且B假；由A假，知B真這與B假矛盾那么假設(shè)C沒有撒謊不成立；則C必定是在撒謊 2已知正整數(shù)a，b，c滿足a2b2c2，求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)問題1你能利用綜合法和分析法證明該問題嗎？提示1不能問題2a，b，c不可能都是奇數(shù)的反面是什么？提示2都是奇數(shù) 假設(shè)原命題_，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_，從而證明了_，這種證明方法叫做反證法定義 不成立假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與_矛盾，或與_矛盾，或與_、公理、定理、事實(shí)矛盾等反證法常見的矛盾類型 已知條件假設(shè)定義 反證法的實(shí)質(zhì)及注意事項(xiàng)(1)反證法的實(shí)質(zhì)反證法不直接證明命題，而是從原命題的反面入手，合乎邏輯地推出一個(gè)矛盾結(jié)果，由于兩個(gè)相互矛盾的判斷必有一真一假，由此肯定命題“若p則q”為真(2)注意事項(xiàng)用反證法證明問題的第一步是“反設(shè)”，這一步一定要準(zhǔn)確，否則后面的過程毫無意義反證法的“歸謬”要合理 1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中可以把下列哪些作為條件使用()結(jié)論相反判斷，即假設(shè)；原命題的條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論ABC D解析：由反證法定義可知正確答案：C 2用反證法證明命題：“a，b N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，即“a，b 都不能被5整除”答案：B 3用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟： A B C9090 C180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角假設(shè)ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè) A90， B90.上述步驟的正確順序?yàn)開解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為.答案： 合作探究 課堂互動 用反證法證明否(肯)定式命題 平面上有四個(gè)點(diǎn)，假設(shè)無三點(diǎn)共線，證明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形思路點(diǎn)撥 1 .結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法2用反證法證明問題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾(3)從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 用反證法證明唯一性問題 已知a與b是異面直線求證：過a且平行于b的平面只有一個(gè)思路點(diǎn)撥這是一個(gè)唯一性問題，直接證明較困難，宜用反證法 如圖，假設(shè)過直線a且平行于直線b的平面有兩個(gè)，分別為和，在直線a上取點(diǎn)A，過b和A確定一個(gè)平面，且與，分別交于過點(diǎn)A的直線c，d，由b，知bc，同理bd，故cd，這與c，d相交于點(diǎn)A矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立 用反證法證明唯一性命題的適用類型(1)當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，所以用反證法證明唯一性就非常簡單明了(2)用反證法證題時(shí)，一定要處理好推出矛盾這一步驟，因?yàn)榉醋C法的核心就是從求證的結(jié)論反面出發(fā)，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，因此如何導(dǎo)出矛盾，就成為了關(guān)鍵所在，對于證題步驟，絕不可死記，而要具有全面扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，靈活運(yùn)用特別提醒：證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)問題，即存在性問題和唯一性問題 2已知：一點(diǎn)A和平面.求證：經(jīng)過點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直證明：根據(jù)點(diǎn)A和平面的位置關(guān)系，分兩種情況證明(1)如圖，點(diǎn)A在平面內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A至少有平面的兩條垂線AB，AC，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面，平面和平面相交于經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線a. 因?yàn)锳B平面，AC平面，a ，所以ABa，ACa，在平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾 所以ABBC，ACBC.在平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾綜上，經(jīng)過一點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直 用反證法證明“至多”“至少”存在性問題已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)思路點(diǎn)撥結(jié)論中有詞語“至少”，宜采用反證法，注意“至少有一個(gè)”的否定形式為“一個(gè)也沒有” 所以ABBC，ACBC.在平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾綜上，經(jīng)過一點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直 1.當(dāng)命題出現(xiàn)“至多”“至少”等形式時(shí)，適合用反證法2常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞” 原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒有(不存在)至少有兩個(gè)至多有n1個(gè)至少有n1個(gè) 原結(jié)論詞只有一個(gè)對所有x成立對任意x不成立反設(shè)詞沒有或至少有兩個(gè)存在某個(gè)x不成立存在某個(gè)x成立原結(jié)論詞都是是p或q p且q反設(shè)詞不都是不是p且q p或q 用反證法證明命題“a，b為整數(shù)，若ab不是偶數(shù)，則a，b都不是偶數(shù)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為_【錯(cuò)解】a，b不都是偶數(shù) 【錯(cuò)因】應(yīng)用反證法時(shí)，假設(shè)錯(cuò)誤a，b不都是偶數(shù)包括的情況有：a是偶數(shù)，b是奇數(shù)；a是奇數(shù)，b是偶數(shù)；a是奇數(shù)，b是奇數(shù)注意否定的結(jié)論是不是結(jié)論的對立面，“a，b都不是偶數(shù)”指“a，b都是奇數(shù)”，它的反面是“a，b不都是奇數(shù)”【正解】a，b不都是奇數(shù)