《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題二 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式 12_4 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用及定積分課件 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題二 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式 12_4 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用及定積分課件 理 新人教版（115頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第四講導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用及定積分 【 知 識(shí) 回 顧 】1.基 本 初 等 函 數(shù) 的 八 個(gè) 導(dǎo) 數(shù) 公 式原 函 數(shù) 導(dǎo) 函 數(shù)f(x)=c(c為 常 數(shù) ) f (x)=_f(x)=x ( R) f (x)=_f(x)=sinx f (x)=_0 x -1cosx 原 函 數(shù) 導(dǎo) 函 數(shù)f(x)=cosx f (x)=_f(x)=ax(a0,且 a 1) f (x)=_f(x)=ex f (x)=_f(x)=logax(a0,且 a 1) f (x)=_ f(x)=lnx f (x)=_ -sinxaxlnaex1xlna1x 2.導(dǎo) 數(shù) 的 四 則 運(yùn) 算 法 則 f(x) g(x) =_
2、; f(x) g(x) =_; =_(g(x) 0). 若 y=f( )， =ax+b， 則 y x=_，即 y x=_. f (x) g (x)f (x)g(x)+f(x)g (x) f x g x 2f x g x f x g xg x y xy a 3.函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 與 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系 f (x)0 f(x)為 _; f (x)0 f(x)為 _; f (x)=0 f(x)為 常 數(shù) 函 數(shù) .增 函 數(shù)減 函 數(shù) 4.導(dǎo) 數(shù) 與 極 值 的 關(guān) 系若 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 存 在 ,某 點(diǎn) 的 導(dǎo) 數(shù) 等 于 零 是 函 數(shù) 在 該 點(diǎn) 取得 極 值 的 _條 件 .必 要
3、 而 不 充 分 5.積 分 的 性 質(zhì) kf(x)dx= _(k為 常 數(shù) )； f1(x) f2(x)dx=_； _= f(x)dx+ f(x)dx(其 中 ac0.1x 2.(2016 全 國(guó) 卷 )已 知 f(x)為 偶 函 數(shù) ,當(dāng) x0,則 -x0,因 為 x0時(shí) f(x)的 解 析 式 ,再 利 用導(dǎo) 數(shù) 求 切 線 方 程 .(2)先 對(duì) 函 數(shù) y=x+lnx求 導(dǎo) ,然 后 將 (1,1)代 入 到 導(dǎo) 函 數(shù)中 ,求 出 切 線 的 斜 率 ,從 而 確 定 切 線 方 程 ,再 將 切 線 方 程與 曲 線 y=ax2+(a+2)x+1聯(lián) 立 ,利 用 =0求 出 a的
4、 值 . (3)先 利 用 二 項(xiàng) 式 定 理 得 到 中 間 項(xiàng) 系 數(shù) ， 解 得 a， 再 利用 定 積 分 求 陰 影 部 分 的 面 積 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)設(shè) x0,則 -x0，f (x)=-x+4- .則 f (1)=-1+4-2=1， 而 f(1)=- +4= .所 以 曲 線 C在 點(diǎn) (1， f(1)處 的 切 線 方 程 為 y- =x-1，即 2x-2y+5=0. 12 122x 72 72 (2)依 題 意 當(dāng) x 1， 2時(shí) ， 曲 線 C上 的 點(diǎn) (x， y)都 在 不等 式 組 所 表 示 的 平 面 區(qū) 域 內(nèi) ， 等 價(jià) 于 當(dāng)1 x 2時(shí)
5、，1 x 2x y 3y x 2 ， x f(x) x+ 恒 成 立 .設(shè) g(x)=f(x)-x=- x2+ax+(1-a)lnx， x 1， 2.所 以 g (x)=-x+a+32 12 2x ax 1 a x 1 x a 11 ax x x 當(dāng) a-1 1時(shí) ， 即 a 2， 當(dāng) x 1， 2時(shí) ， g (x) 0，g(x)為 單 調(diào) 減 函 數(shù) ，所 以 g(2) g(x) g(1)， 依 題 意 應(yīng) 有 1 3g 1 a 2 2g 2 2 2a 1 a ln 2 0 ， ， a 2 1 a 2a 1 ，解 得 所 以 ， 若 1a-12， 即 2a3時(shí) ， 當(dāng) x 1， a-1)時(shí)
6、，g (x) 0， g(x)為 單 調(diào) 增 函 數(shù) ， 當(dāng) x (a-1， 2時(shí) ，g (x) ，所 以 不 合 題 意 . 當(dāng) a-1 2， 即 a 3時(shí) ， 注 意 到 g(1)=a- ，顯 然 不 合 題 意 .綜 上 所 述 ， 1 a 2. 3212 52 【 加 固 訓(xùn) 練 】1.(2016 揭 陽(yáng) 二 模 )已 知 函 數(shù) f(x)=x2-ax的 圖 象 在 點(diǎn)A(1,f(1)處 的 切 線 l與 直 線 x+3y-1=0垂 直 ,記 數(shù) 列 的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn,則 S2016的 值 為 ( ) 1 f n2 015 2 016 2 014 2 017A. B. C. D
7、.2 016 2 017 2 015 2 018 【 解 析 】 選 B.由 題 意 知 f(x)=x2-ax的 圖 象 在 點(diǎn) A(1,f(1)處 的 切 線 斜 率 k=f (1)=2-a=3 a=-1,故 2 0161 1 1 1 ,f n n n 1 n n 11 1 1 1 1 1 2 016S 1 1 .2 2 3 2 016 2 017 2 017 2 017 2.(2016 亳 州 一 模 )已 知 函 數(shù) f(x)=axlnx,a R,若f (e)=3,則 a的 值 為 _. 【 解 析 】 f (x)=a(1+lnx),a R,f (e)=3,所 以 a(1+lne)=3,
8、所 以 a= .答 案 : 3232 3.(2016 長(zhǎng) 沙 二 模 )曲 線 y=e-x+1在 點(diǎn) (0， 2)處 的 切 線與 直 線 y=0和 x=0圍 成 的 三 角 形 的 面 積 為 _. 【 解 析 】 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) f (x)=-e-x， 則 f (0)=-1， 則切 線 方 程 為 y-2=-x， 即 y=-x+2，切 線 與 x軸 的 交 點(diǎn) 為 (2， 0)， 與 y軸 的 交 點(diǎn) 為 (0， 2)，所 以 切 線 與 直 線 y=0和 x=0圍 成 的 三 角 形 的 面 積S= 2 2=2.答 案 ： 212 熱 點(diǎn) 考 向 二 利 用 導(dǎo) 數(shù) 研 究 函 數(shù)
9、的 單 調(diào) 性 命 題 解 讀 :主 要 考 查 導(dǎo) 函 數(shù) 值 與 函 數(shù) 單 調(diào) 性 之 間 的 關(guān) 系 ,利 用 導(dǎo) 函 數(shù) 來 研 究 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 ,或 由 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 求某 參 數(shù) 值 (或 取 值 范 圍 ),三 種 題 型 都 有 可 能 出 現(xiàn) . 命 題 角 度 一 確 定 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 (區(qū) 間 )【 典 例 2】 (2016 洛 陽(yáng) 一 模 )已 知 函 數(shù) f(x)= ,其 中 常 數(shù) k0,(1)討 論 f(x)在 (0,2)上 的 單 調(diào) 性 . 4(k )ln xk 24 xx (2)若 k 4,+ ),曲 線 y=f(x)上 總
10、 存 在 相 異 兩 點(diǎn) M(x1,y1),N(x2,y2)使 得 曲 線 y=f(x)在 M,N兩 點(diǎn) 處 切 線 互 相 平行 ,求 x1+x2的 取 值 范 圍 . 【 解 題 導(dǎo) 引 】 (1)求 導(dǎo) 函 數(shù) ,對(duì) k分 類 討 論 ,利 用 導(dǎo) 數(shù) 的正 負(fù) ,即 可 得 到 f(x)在 區(qū) 間 (0,2)上 的 單 調(diào) 性 .(2)利 用 過 M,N點(diǎn) 的 切 線 互 相 平 行 ,建 立 方 程 ,結(jié) 合 基 本不 等 式 ,再 求 最 值 ,即 可 求 x1+x2的 取 值 范 圍 . 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)因 為 f (x)= 當(dāng) 0kk0,且 2,所 以 x (0,
11、k)時(shí) ,f (x)0,所 以 函 數(shù) f(x)在 (0,k)上 是 減 函 數(shù) ,在 (k,2)上 是 增 函 數(shù) ;24k 4k 1x x 22 24 4(k )x 4 x x k (x )k k , x 0,k 0 x x 4k 4k 當(dāng) k=2時(shí) , =k=2,f (x)2時(shí) ,0 ,所 以 x (0, )時(shí) ,f (x)0,所 以 函 數(shù) f(x)在 (0, )上 是 減 函 數(shù) ,在 ( ,2)上 是 增 函數(shù) ; 4k 4k 4k4k 4k4k 4k (2)由 題 意 ,可 得 f (x1)=f (x2)(x1,x20,且 x1 x2) 2 2 21 1 21 2 1 22 21
12、 2 1 21 2 1 21 24 4k k4 4k k1 1,x x x x44 x x (k )x x ,kx x x x4x x ( ) ,4 x x (k )( )2 k 216x x k 4, )4k k 即化 簡(jiǎn) 得而 ，即 對(duì) 恒 成 立 ， 令 g(k)=k+ 則 g (k)= 0對(duì) k 4,+ )恒 成 立 ,所 以 g(k) g(4)=5,所 以 所 以 x1+x2 ,故 x1+x2的 取 值 范 圍 為 （ ,+ ).4 ,k 2 2k 2 k 241 k k 16 16 ,4 5k k 165 165 【 易 錯(cuò) 警 示 】 解 答 本 例 容 易 出 現(xiàn) 以 下 錯(cuò)
13、誤 :(1)忽 略 函 數(shù) 的 定 義 域 ,在 函 數(shù) 解 析 式 中 含 有 對(duì) 數(shù) 必 須滿 足 x0.(2)對(duì) k分 類 討 論 不 全 ,題 目 中 已 知 k0,對(duì) k分 類 討 論 時(shí)容 易 對(duì) 標(biāo) 準(zhǔn) 劃 分 不 準(zhǔn) 確 ,討 論 不 全 面 . 【 母 題 變 式 】 1.若 把 典 例 2條 件 變 為 “ k0” ,其 他 條 件不 變 ,f(x)在 (0,2)上 的 單 調(diào) 性 如 何 ? 【 解 析 】 由 典 例 2(1)解 析 知 f (x)= 在 (0,2)上 f (x)0,故 f(x)在 (0,2)上 為 減 函 數(shù) . 2 4x k (x )kx 2.在 典
14、 例 2(1)中 ,將 (0,2)改 為 (0,+ ),試 求 f(x)的 單調(diào) 區(qū) 間 . 【 解 析 】 由 典 例 2(1)解 析 知 f (x)= 因 為 當(dāng) 0k2時(shí) ,k ,f(x)的 單 調(diào) 減 區(qū) 間 為 增 區(qū) 間 為 2 4x k (x )kx k 2 k 24k ,k k 4k 4(0,k),( , ),k 4(k, ).k 當(dāng) k=2時(shí) ,k= =2,f (x)2時(shí) ,k ,f(x)的 減 區(qū) 間 為 增 區(qū) 間為 4k4k 4(0, ) (k, ),k 和4( ,k).k 命 題 角 度 二 根 據(jù) 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 求 參 數(shù) 的 取 值 范 圍【 典 例 3
15、】 (2016 玉 溪 三 模 )若 函 數(shù) f(x)=x3-tx2+3x在區(qū) 間 1,4上 單 調(diào) 遞 減 ,則 實(shí) 數(shù) t的 取 值 范 圍 是 ( )51A.( , B.( ,3851C. , ) D. 3, )8 【 解 題 導(dǎo) 引 】 由 題 意 可 得 f (x) 0即 3x2-2tx+3 0在1,4上 恒 成 立 ,由 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 可 得 t的 取 值 范 圍 . 【 規(guī) 范 解 答 】 選 C.因 為 函 數(shù) f(x)=x3-tx2+3x,所 以 f (x)=3x2-2tx+3,若 函 數(shù) f(x)=x3-tx2+3x在 區(qū) 間 1,4上 單 調(diào) 遞 減 ,則 f (x
16、) 0,即 3x2-2tx+3 0在 1,4上 恒 成 立 ,即 2tx 3x2+3在 1,4上 恒 成 立 ,所 以 t 在 1,4上 恒 成 立 ,3 1(x )2 x 令 y= 由 對(duì) 勾 函 數(shù) 的 圖 象 和 性 質(zhì) 可 得 :函 數(shù) 在 1,4上 為 增 函數(shù) ,當(dāng) x=4時(shí) ,函 數(shù) 取 最 大 值 ,所 以 t .即 實(shí) 數(shù) t的 取 值 范 圍 是 3 1(x ),2 x 518 51851 , ).8 【 規(guī) 律 方 法 】1.求 函 數(shù) 的 單 調(diào) 區(qū) 間 的 “ 三 個(gè) ” 方 法方 法 一 第 1步 :確 定 函 數(shù) y=f(x)的 定 義 域 ;第 2步 :求 導(dǎo)
17、函 數(shù) y =f (x);第 3步 :解 不 等 式 f (x)0或 f (x)-1),f (x)= =- (x-1),由 f (x)0解 得 -1x1,由 f (x)1.故 函 數(shù) f(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為 (-1,1),單 調(diào) 遞減 區(qū) 間 為 (1,+ ). 14 141 1x2 x 1 x 2 x 12 x 1 (2)因 為 函 數(shù) f(x)圖 象 上 的 點(diǎn) 都 在 所 表 示 的 平面 區(qū) 域 內(nèi) ,則 當(dāng) x 0,+ )時(shí) ,不 等 式 f(x) x恒 成 立 ,即 ax2+ln(x+1)-x 0恒 成 立 ,設(shè) g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x 0),只
18、需 g(x)max 0即 可 . x 0y x 0 ， 由 g (x)= ( )當(dāng) a=0時(shí) ,g (x)= 當(dāng) x0時(shí) ,g (x)0時(shí) ,由 g (x)= 因 為 x 0,+ ), 若 -1 時(shí) ,在 區(qū) 間 (0,+ )上 ,g (x)0,則 函 數(shù) g(x)在 (0,+ )上 單 調(diào) 遞 增 ,g(x)在 0,+ )上 無(wú)最 大 值 (或 :當(dāng) x + 時(shí) ,g(x) + ),此 時(shí) 不 滿 足 條 件 ;x 2ax (2a 1) ,x 1 12a 12 若 -1 0,即 0a 時(shí) ,函 數(shù) g(x)在 (0, -1)上單 調(diào) 遞 減 ,在 區(qū) 間 上 單 調(diào) 遞 增 ,同 樣 g(x
19、)在 0,+ )上 無(wú) 最 大 值 ,不 滿 足 條 件 .12a 12 12a1( 1, )2a ( )當(dāng) a0時(shí) ,由g (x)= 因 為 x 0,+ ),所 以 2ax+(2a-1)0,所 以 g (x)0,解 得 :x3或 x1,令 f (x)0,解 得 :1x0,解 得 :x2,所 以 函 數(shù) f (x)在 (- ,2)上 遞 減 ,在 (2,+ )上 遞 增 ,所 以 函 數(shù) f(x)和 函 數(shù) f (x)同 在 1,2上 遞 減 ,在 3,+ )上 遞 增 . 熱 點(diǎn) 考 向 三 利 用 導(dǎo) 數(shù) 研 究 函 數(shù) 的 極 值 和 最 值命 題 解 讀 :主 要 考 查 利 用 函
20、數(shù) 的 極 值 與 導(dǎo) 數(shù) 的 關(guān) 系 ,求某 些 含 有 參 數(shù) 的 函 數(shù) 的 極 值 、 最 值 以 及 極 值 的 個(gè) 數(shù) ,以解 答 題 為 主 . 【 典 例 4】 (2016 汕 頭 一 模 )已 知 函 數(shù) f(x)= ax2-(a2+1)x+alnx. 12 (1)若 函 數(shù) f(x)在 上 單 調(diào) 遞 減 ， 求 實(shí) 數(shù) a的 取 值 范圍 .(2)當(dāng) a 時(shí) ， 求 f(x)在 1， 2上 的 最 大 值 和 最小 值 .(注 意 ： ln20時(shí) ， 不 等 式 等 價(jià) 為 x+ a+ 在 上 恒成 立 ；當(dāng) x0時(shí) ， h(x)=x+ 在 (0， 1)上 是 減 函 數(shù)
21、 ， 在 1， + )上 是 增 函 數(shù) ，所 以 要 使 函 數(shù) h(x) h(a)在 上 恒 成 立 ， 則 0a或 a e， 綜 上 a 或 a e. 1x 1a 1 ee，1x 1 ee， 1e1e 22 2 a2 f x ax a 1 xax a 1 x a ax 1 x a .x x1f x 0 x a .a 由 得 或 當(dāng) 0a 時(shí) ， 在 1， 2上 f (x) 0， 所 以 f(x)在 1， 2上 遞 減 ，所 以 f(x)min=f(2)=2a-2(a2+1)+aln2， f(x)max=f(1)= a-(a2+1)；1212 當(dāng) a 時(shí) ，當(dāng) 1 x 時(shí) ， f (x)0
22、， 當(dāng) 0，所 以 f(x)min=f( )=-a- -alna，12 351a 1a1a 12a f(2)-f(1)= a-(a2+1)+aln2，設(shè) h(x)= x-(x2+1)+xln2， x ；h (x)= -2x+ln2，因 為 0，則 h(x)在 x 上 單 調(diào) 遞 增 ，3232 12 3512 3512 35 所 以 h(x)max= 所 以 f(2)f(1)， 所 以 f(x)max=f(1)= a-(a2+1).綜 上 當(dāng) 0a 時(shí) ， f(x)min=2a-2(a2+1)+aln2，f(x)max= a-(a2+1)，當(dāng) 0， 所 以 f(x)在 區(qū) 間 上 是增 函 數(shù)
23、 . 1f x xx 2 2x 1 x 11f x 1x x 1 ,1)2 1 ,1)2 當(dāng) x (1， 3時(shí) ， 有 f (x)0.所 以 g(x)在 區(qū) 間 上 單 調(diào) 遞 增 ， x| x 1| xx 11 ,1)2 xx 1 1 ,1)221(x 1) 1 ,1)21 ,1)2 所 以 g(x)在 區(qū) 間 上 有 最 小 值 所 以 a .當(dāng) x (1， 2時(shí) ， 不 等 式 等 價(jià) 于 a x2+ 恒 成 立 .令 h(x)=x2+ ， x (1， 2.當(dāng) x (1， 2時(shí) .h(x)=x2+ =x2+1+ x2+12.1 ,1)2 1 5g( )2 4 54 xx 1 xx 1xx
24、 1 1x 1 所 以 ， 當(dāng) a 2時(shí) ， 不 等 式 a x2+ 對(duì) x (1， 2恒成 立 .綜 上 ， 實(shí) 數(shù) a的 取 值 范 圍 是 .xx 15( 4， 【 加 固 訓(xùn) 練 】(2016 濰 坊 一 模 )已 知 函 數(shù) f(x)=ex(x-lnx-1)(e為 自然 對(duì) 數(shù) 的 底 數(shù) ).(1)求 函 數(shù) f(x)的 單 調(diào) 區(qū) 間 .(2)是 否 存 在 實(shí) 數(shù) a,b (1,+ ),a1時(shí) ,g(x)0,因 此 f (x)0,此 時(shí)函 數(shù) f(x)單 調(diào) 遞 增 ;當(dāng) 0 x1時(shí) ,g(x)0,因 此 f (x)0,此 時(shí) 函 數(shù) f(x)單 調(diào)遞 減 .所 以 函 數(shù) f
25、(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為 (1,+ ),單 調(diào) 遞減 區(qū) 間 為 (0,1). (2)不 存 在 滿 足 題 意 的 實(shí) 數(shù) a,b.由 (1)可 知 :函 數(shù) f(x)在 (1,+ )上 單 調(diào) 遞 增 .若 存 在 實(shí) 數(shù) a,b (1,+ ),ab,使 得 函 數(shù) f(x)在 a,b上 值 域 也 是 a,b,則 f(a)=a,f(b)=b,即 方 程 f(x)=x在 (1,+ )上 有 兩 個(gè) 實(shí)數(shù) 根 . 令 h(x)=f(x)-x,則 h (x)=ex -1.由 (1)可 知 :h (x)單 調(diào) 遞 增 ,h (1)=-10,所 以 存 在 m (1,e),使 得 h
26、(m)=0.并 且 當(dāng) x (1,m)時(shí) ,h (x)0,h(x)為 增 函 數(shù) .1(x ln x )x 1(e 1 )e 即 h(m)為 h(x)在 (1,+ )上 的 最 小 值 .而 h(1)=f(1)-1=-10,所 以 h(x)=f(x)-x只 有 一 個(gè) 零 點(diǎn) .即 f(x)=x在 (1,+ )上 只 有 一 個(gè) 實(shí) 數(shù) 根 .所 以 不 存 在 實(shí) 數(shù) a,b (1,+ ),a0， 可 得 x-e， 令 f (x)=ln(-x)-10， 可 得 -ex0，所 以 f(x)在 (- ， -e)上 是 增 函 數(shù) ， 在 (-e， 0)上 是 減函 數(shù) . (2)f (x)=ln
27、(-x)+a， 因 為 x -e2， -e-1， 所 以 -x e-1， e2，所 以 ln(-x) -1， 2， 若 a 1， 則 f (x)=ln(-x)+a 0恒 成 立 ， 此 時(shí) f(x)在 -e2， -e-1上 是 增 函 數(shù) ，f(x)max=f(-e-1)=(2-a)e-1； 若 a -2， 則 f (x)=ln(-x)+a 0恒 成 立 ， 此 時(shí) f(x)在 -e2， -e-1上 是 減 函 數(shù) ，f(x)max=f(-e2)=-(a+1)e2； 若 -2a1， 則 令 f (x)=ln(-x)+a=0可 得 x=-e-a，因 為 f (x)=ln(-x)+a是 減 函 數(shù) ，所 以 當(dāng) x0， 當(dāng) x-e-a時(shí) f (x)0，所 以 f(x)在 -e2， -e-1上 左 增 右 減 ，所 以 f(x)max=f(-e-a)=e-a， 綜 上 ： g(a)= 12a2 a e a 1a 1 e a 2e 2 a 1. ， ， .，
高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題通關(guān)攻略 專題二 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式 12_4 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用及定積分課件 理 新人教版
