高考數(shù)學一輪總復習 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和課件.ppt

第五章 數(shù) 列,第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和,1理解等差數(shù)列的概念 2掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應的問題 4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.,要點梳理 1等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示 2等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是ana1(n1)d.,4等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：anam_，(n，mN) (2)若an為等差數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nN)，則_.,(nm)d,akalam,(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為_. (4)若an，bn是等差數(shù)列，則panqbn也是等差數(shù)列 (5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差為_的等差數(shù)列,2d,md,7等差數(shù)列的最值 在等差數(shù)列an中，a10，d0，則Sn存在最_值 質(zhì)疑探究：等差數(shù)列通項公式與前n項和公式的推導分別用了什么方法？ 提示：前者用的是疊加法，后者用的是倒序相加法,大,小,基礎自測 1給出下列命題： 若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列 數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN，都有2an1anan2. 等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的 數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù),等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù) 其中正確的命題是( ) A B C D 解析 錯誤若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，這個數(shù)列就不是等差數(shù)列 正確如果數(shù)列an為等差數(shù)列，根據(jù)定義an2an1an1an，即2an1anan2；反之，若對任意nN，都有2an1anan2，則an2an1an1ananan1a2a1，根據(jù)定義數(shù)列an為等差數(shù)列,正確當d0時為遞增數(shù)列；d0時為常數(shù)列；d0時為遞減數(shù)列 錯誤根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，ana1(n1)ddn(a1d)，只有當d0時，等差數(shù)列的通項公式才是n的一次函數(shù)，否則不是,答案 B,2(2015·海淀質(zhì)檢)等差數(shù)列an中，a23，a3a49，則a1a6的值為( ) A14 B18 C2 D27 答案 A,3在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項和S11等于( ) A58 B88 C143 D176 答案 B,4已知數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，a7a54，a1121，Sk9，則k_.,答案 3,考向一 等差數(shù)列基本量的計算 例1 (1)(2013·安徽高考)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S84a3，a72，則a9( ) A6 B4 C2 D2,(2)(2015·石家莊市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an滿足a23，SnSn351(n3)，Sn100，則n的值為( ) A8 B9 C10 D11 思路點撥 在等差數(shù)列an的an，Sn，a1，d，n的五個量中，知其三，求其二,互動探究 本例(1)中，已知條件不變，則Sn_.,答案 n211n,拓展提高 此類問題的通法是把條件轉(zhuǎn)化為a1與d的方程(組)，進而可求其它問題 結(jié)合性質(zhì)求解，可簡化計算 活學活用1 (1)(2015·荊州市調(diào)研)公差不為零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a4是a3與a7的等比中項，且S1060，則S20( ) A80 B160 C320 D640,答案 C,(2)(2015·鄭州市質(zhì)檢)等差數(shù)列an的前7項和等于前2項和，若a11，aka40，則k_.,答案 6,思路點撥 由題設條件構(gòu)造(an1an)(anan1)的值，并累加求和,拓展提高 等差數(shù)列的四個判定方法 (1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an1an等于同一個常數(shù) (2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an1anan2后，可遞推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根據(jù)定義得出數(shù)列an為等差數(shù)列 (3)通項公式法：得出anpnq后，得an1anp對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列an為等差數(shù)列,(4)前n項和公式法：得出SnAn2Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列an為等差數(shù)列 提醒：等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而對于通項公式和前n項和公式的方法主要適合在選擇題中簡單判斷.,考向三 等差數(shù)列的性質(zhì)及應用 例3 (1)(2014·重慶高考)在等差數(shù)列an中，a12，a3a510，則a7( ) A5 B8 C10 D14 (2)(2015·武漢市聯(lián)考)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n項和為Sn，則使得Sn達到最大的n是( ) A18 B19 C20 D21,解析 (1)由題意，得a12da14d2a16d46d10，解得d1，所以a7a16d268.故 選B. (2)a1a3a5105a335，a2a4a699a433，則an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此當Sn取得最大值時，n20.,(3),答案 (1)B (2)C (3)D (4)5,拓展提高 利用等差數(shù)列性質(zhì)的常見題型與求解策略：,思想方法12 函數(shù)思想在等差數(shù)列前n項和的最值中的應用 典例 在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項和為Sn，且S10S15，求當n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值 審題視角 由a120及S10S15可求得d，進而求得通項，由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解,方法點睛 求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項；利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；將等差數(shù)列的前n項和SnAn2Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,即時突破 已知等差數(shù)列an的首項a120，公差d2，則前n項和Sn的最大值為_,答案 110,思維升華 【方法與技巧】,1等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：an1and (d是常數(shù))an是等差數(shù)列 (2)等差中項法：2an1anan2 (nN)an是等差數(shù)列 (3)通項公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列 (4)前n項和公式：SnAn2Bn (A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列,2方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解 3在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時，可設三個數(shù)為(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可視具體情況而定,【失誤與防范】,1當公差d0時，等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù)，當公差d0時，an為常數(shù) 2公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0.若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項起成等差數(shù)列,