2022-2023學(xué)年廣東省廣州市高三三模試卷 數(shù)學(xué)【含答案】

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1、一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.已知集合,,則等于( ) A. B. C. D. 2.已知復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第( )象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.已知向量,,且,則( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.在流行病學(xué)中,基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí),每個(gè)感染者平均會(huì)感染1個(gè)以上的人,從而導(dǎo)致感染這種疾病的人數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長.當(dāng)基本傳染數(shù)持續(xù)低于1時(shí),疫情才可能逐漸消散.接種疫苗是預(yù)防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本傳染數(shù),若1個(gè)感染

2、者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到個(gè)新人,這人中有個(gè)人接種過疫苗(稱為接種率),那么1個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為,為了有效控制病毒傳染(使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1),我國疫苗的接種率至少為( ) A.75% B.80% C.85% D.90% 5.設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若,則的最小值為( ) A. B.5 C.9 D. 6.已知,,,則( ) A. B. C. D. 7.已知克列爾公式:對(duì)任意四面體,其體積和外接球半徑滿足,其中,,,,,,分別為四面體的三組對(duì)棱的長.在四面體中,若,,則該四面體的外接球的表面積為( ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐標(biāo)系

3、中,若拋物線:的準(zhǔn)線與圓:相切于點(diǎn),直線與拋物線切于點(diǎn),點(diǎn)在圓上,則的取值范圍為( ) A. B. C. D. 二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分。 9.中國茶文化博大精深,茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).為了建立茶水溫度隨時(shí)間變化的回歸模型,小明每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度,得到若干組數(shù)據(jù),,…,(其中,),繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖.小明選擇了如下2個(gè)回歸模型來擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況,回歸模型一:;回歸模型二:,下列說法正確的是( ) A.茶水溫度與時(shí)

4、間這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān) B.由于水溫開始降得快,后面降得慢,最后趨于平緩,因此模型二能更好的擬合茶水溫度隨時(shí)間的變化情況 C.若選擇回歸模型二,利用最小二乘法求得到的圖象一定經(jīng)過點(diǎn) D.當(dāng)時(shí),通過回歸模型二計(jì)算得,用溫度計(jì)測(cè)得實(shí)際茶水溫度為65.2,則殘差為 10.下列命題正確的是( ) A.如果一條直線上兩點(diǎn)到一個(gè)平面的距離相等,那么這個(gè)直線與這個(gè)平面平行 B.兩條平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長度相等 C.如果一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)銳角的兩邊,分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)角的兩邊,那么這兩個(gè)平面平行 D.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直 11

5、.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線:的下、上焦點(diǎn)分別是,,漸近線方程為,為雙曲線上任意一點(diǎn),平分,且,,則( ) A.雙曲線的離心率為 B.雙曲線的方程為 C.若直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為,為的中點(diǎn),則 D.點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為 12.已知有三個(gè)不相等的零點(diǎn),,,且,則下列命題正確的是( ) A.存在實(shí)數(shù),使得 B. C. D.為定值 三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。 13.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________. 14.甲、乙、丙3所學(xué)校每所學(xué)校各派出兩名同學(xué),現(xiàn)從這六名同學(xué)中任取兩名,安排到甲、乙、丙3所學(xué)校交流。每所學(xué)校至多安排一名同學(xué)

6、,每名同學(xué)只能去一所學(xué)校且不能去自己原先的學(xué)校,則不同的安排方法有________種. 15.在中,已知,,,,邊上兩條中線,相交于點(diǎn),則的余弦值為________. 16.我們稱元有序?qū)崝?shù)組為維向量,為該向量的范數(shù).已知維向量,其中,,記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為,則________.(用含的式子表示,) 四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17.(10分) 已知函數(shù),. (1)若函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為,求的單調(diào)增區(qū)間; (2)若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱,且函數(shù)在上單調(diào),求的值. 18.(12分) 已知整數(shù)數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列滿足

7、.數(shù)列,前項(xiàng)和分別為,,其中. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)用表示不超過的最大整數(shù),求數(shù)列的前20項(xiàng)和. 19.(12分) 某地的水果店老板記錄了過去50天某類水果的日需求量(單位:箱),整理得到數(shù)據(jù)如下表所示,已知每箱某類水果的進(jìn)貨價(jià)為50元,售價(jià)為100元,如果當(dāng)天賣不完,剩下的水果第二天將在售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折進(jìn)行特價(jià)銷售,但特價(jià)銷售需要運(yùn)營成本每箱30元.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)第二天特價(jià)水果都能售馨,并且不影響正價(jià)水果的銷售. 22 23 24 25 26 頻數(shù) 10 10 15 9 6 (1)一次進(jìn)貨太多,水果會(huì)變得不新鮮;進(jìn)貨太少,又不能滿足顧客的需求

8、店長希望每天的某類水果盡量新鮮,又能70%地滿足顧客的需求(在100天中,大約有70天可以滿足顧客的需求).請(qǐng)根據(jù)頻數(shù)分布表,估計(jì)每天某類水果的進(jìn)貨量箱.(結(jié)果保留一位小數(shù)) (2)以這50天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率,設(shè)(1)中所求的值,如果店老板計(jì)劃每天購進(jìn)箱或箱的某類水果,請(qǐng)以利潤的期望作為決策依據(jù),判斷店老板應(yīng)當(dāng)購進(jìn)的箱數(shù). 20.(12分) 如圖,四棱錐的底面為正方形,,平面,,分別是線段,的中點(diǎn),是線段上的一點(diǎn). (1)求證:平面平面; (2)若直線與平面所成角的正弦值為,且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn),求三棱錐體積. 21.(12分) 已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)

9、為,,離心率為,為橢圓上的一點(diǎn),且的內(nèi)切圓半徑最大值為. (1)求橢圓的方程; (2)直線:交橢圓于,兩點(diǎn),的角平分線所在的直線與直線交于點(diǎn),記直線的斜率為,試問是否為定值,若是定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說明理由. 22.(12分) 已知函數(shù),. (1)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù); (2)當(dāng)時(shí),若存在,使得,求證:. 答案 一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D B C C 二選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分

10、。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分。 題號(hào) 9 10 11 12 答案 AB BC AD BCD 三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。 13.(寫成亦可) 14.42 15. 16. 四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 17.解:(1),……1分 因?yàn)楹瘮?shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為, 所以,則,所以,解得, 所以.………………………………3分 由,,解得 , 因此的單調(diào)增區(qū)間是,.……………………5分 (2)由,函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱

11、, 所以,,所以,,…………………………7分 由,,則, 又函數(shù)在上單調(diào),所以,解得,…………………………9分 由解得,此時(shí).……………………………………10分 18.解:(1)當(dāng)時(shí),.……………………………………………………1分 又因?yàn)?,所? 設(shè),則.………………………………2分 依題意,,………………………………3分 得恒成立……………………………………4分 解得,…………………………………………5分 所以,.……………………………………………………6分 (2) …………………………① ……………………② ①-②,得……………………9分 即……………………

12、…………10分 時(shí),,; 時(shí),,, 所以.…………………………………………12分 19.解:(1)70%地滿足顧客需求相當(dāng)于估計(jì)某類水果日銷售量的70%分位數(shù).………………1分 由表可知,把50個(gè)日需求量的數(shù)據(jù)從小到大排列, 由,日需求量在24箱以下的天數(shù)為, 可知,可以估計(jì)日需求量的第70%分位數(shù)為,…………………………3分 所以能70%地滿足顧客的需求,估計(jì)每天應(yīng)該進(jìn)貨量為24.5箱.…………………………4分 (2)由(1)知,即 設(shè)每天的進(jìn)貨量為24箱的利潤為, 由題設(shè),每天的進(jìn)貨量為24箱,當(dāng)天賣完的概率為,當(dāng)天賣不完剩余的概率,當(dāng)天賣不完剩余2箱的概率, 若當(dāng)

13、天賣完元, 若當(dāng)天賣不完剩余1箱元, 若當(dāng)天賣不完剩余2箱元,……………………6分 所以元.………………………………7分 設(shè)每天的進(jìn)貨量為25箱的利潤為, 由題設(shè),每天的進(jìn)貨量為25箱,當(dāng)天賣完的概率為,當(dāng)天賣不完剩余1箱的概率, 當(dāng)天賣不完剩余2箱的概率,當(dāng)天賣不完剩余3箱的概率, 若當(dāng)天賣完元, 當(dāng)天賣不完剩余1箱元, 當(dāng)天賣不完剩余2箱元, 當(dāng)天賣不完剩余3箱元,……………………9分 所以元,…………………………10分 由于, 顯然每天的進(jìn)貨量25箱的期望利潤小于每天的進(jìn)貨量為24箱的期望利潤, 所以店老板應(yīng)當(dāng)購進(jìn)24箱.…………………………………………………

14、………12分 20.(1)證明:連接,在正方形中, 又平面,故 而,是平面上的兩條相交直線, 所以平面…………………………………………2分 在中,為中位線,故…………………………3分 所以平面. 又平面, 所以平面平面……………………………………5分 (2)以,,所在直線為,,軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 則,,,,,,, ,,………………………………7分 設(shè)平面的一個(gè)法向量為, 則,即, 取,……………………………………8分 設(shè), 則 則, 整理得,解得或(舍去),…………………………10分 故,故到平面的距離, 故 因?yàn)?,所? 又,所以,

15、 又,所以平面, 故到平面的距離為 三棱錐體積為.…………12分 21.解:(1)因?yàn)榈闹荛L等于為定值, 所以內(nèi)切圓半徑最大時(shí),即的面積最大,此時(shí)點(diǎn)為橢圓的上(下)頂點(diǎn)………………1分 可得;……………………………………2分 又因?yàn)?,,解得,,,…………………?分 所以橢圓的方程為;……………………………………4分 (2)(法一)設(shè)點(diǎn) 由條件可知直線的斜率, 設(shè)點(diǎn),, 由得: 所以,(*)………………………………5分 由(*)可得 ①…………………………6分 ②………………7分 ③…………………………8分 由對(duì)稱性,不妨令點(diǎn)位于第四象限, 設(shè)直線的傾斜角為

16、,直線的傾斜角為,直線的傾斜角為, 則,, 又在的角平分線所在的直線上,則 可得出……………………………………9分 化簡得 即 將①②③式代入上式得:…………………………10分 則,解得,(舍去)……………………11分 故直線方程為,令得點(diǎn) 則,故為定值.………………………………………………12分 【法二】設(shè)線 由條件可知直線的斜率, 設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,直線的斜率為, 直線:,其中 由得 即 整理得…………………………6分 即 令,則,其中,為方程的根 所以,…………………………8分 由對(duì)稱性,不妨令點(diǎn)位于第四象限, 設(shè)直線的傾斜角

17、為,直線的傾斜角為,直線的傾斜角為, 則,, 又在的角平分線所在的直線上,則 由得……………………9分 代入整理得,………………………………10分 則 故(舍去)或者……………………………………………………11分 所以直線的方程為,令得點(diǎn) 故,則為定值.………………………………………………12分 22.解:(1)的定義域?yàn)?…………………………1分 .………………2分 ①時(shí),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故,無零點(diǎn).…………………………3分 ②時(shí),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故,且,時(shí),均有. 當(dāng)即時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn); 若即時(shí),有一個(gè)零點(diǎn); 若即時(shí),無零點(diǎn).…………………………4分 ③時(shí),若,則或時(shí),,均單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減.而,,,故有一個(gè)零點(diǎn). 若,則,在上單調(diào)遞增,且時(shí),,時(shí),,故有一個(gè)零點(diǎn).

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