高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第4講 推理與證明課件 理

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1、第4講推理與證明專題四數(shù)列、推理與證明 欄目索引 高考真題體驗(yàn)1 熱點(diǎn)分類突破2 高考押題精練3 解析 高考真題體驗(yàn)1.(2016課標(biāo)全國丙)定義“規(guī)范01數(shù)列” an如下：an共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k 2m，a1，a2，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個(gè) B.16個(gè) C.14個(gè) D.12個(gè)解析第一位為0，最后一位為1，中間3個(gè)0,3個(gè)1,3個(gè)1在一起時(shí)為000111,001110；共28414(個(gè)). 2.(2016山東)觀察下列等式： 解析答案 3.(2016課標(biāo)全國甲)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，

2、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_.解析由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“ 1和2”或“ 1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“ 2和3”，所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“ 1和3” .1和3 解析答案 考情考向分析 返回 1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識(shí)相結(jié)合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理

3、數(shù)學(xué)命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題. 熱點(diǎn)一歸納推理1.歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理.2.歸納推理的思維過程如下：熱點(diǎn)分類突破 正方形數(shù) N(n,4)n2，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n 可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(8,12)_.288 解析答案 解析答案思維升華 思維升華歸納遞推思想在解決問題時(shí)，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用.其思維模式是“觀察歸納猜想

4、證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想. 跟蹤演練1(1)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85 解析 解析由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)，只有D符合條件. (2)用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖所示的規(guī)律拼成若干個(gè)圖形，則按此規(guī)律，第100個(gè)圖形中有白色地磚_塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機(jī)撒在第100個(gè)圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是_.503 答案解

5、析 解析按拼圖的規(guī)律，第1個(gè)圖有白色地磚(331)塊，第2個(gè)圖有白色地磚(352)塊，第3個(gè)圖有白色地磚(373)塊，則第100個(gè)圖中有白色地磚3201100503(塊).第100個(gè)圖中黑白地磚共有603塊， 熱點(diǎn)二類比推理1.類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理.2.類比推理的思維過程如下： A.1 B.2 C.3 D.4解析 解析如圖，設(shè)正四面體的棱長為1，此時(shí)易知點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心， ch(xy)ch xch ysh xsh y答案解析思維升華 故知ch(xy)ch xch ysh xsh y，或sh(xy)sh

6、xch ych xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y.思維升華 思維升華類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起.當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比. 300解析在等比數(shù)列bn中，若Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)積，類比上述結(jié)論，在公差為3的等差數(shù)列an中，我們可以類比推斷出：S20S10，S30S20，S40S30也構(gòu)成等差數(shù)列，公差為100d300. 解析答案 答案解析 解析設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，

7、y2)，P0(x0，y0)，因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上， 熱點(diǎn)三直接證明和間接證明直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因?qū)Ч?，而分析法則是執(zhí)果索因，反證法是反設(shè)結(jié)論導(dǎo)出矛盾的證明方法. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解由已知得an1an1，則an1an1，又a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.故an1(n1)1n. 解析答案 證明由(1)知，ann，從而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(22n22n22n1)(22n222n11)2n0， 解析答案思維升華 2 na 思維升華(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個(gè)結(jié)論不

8、成立的例子即可.(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時(shí)候分析法和綜合法交替使用. 跟蹤演練3(1)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c. 解析答案 只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立. 證明假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)根，則x01，f(2)1；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n 3時(shí)，f(n)1.由(1)知當(dāng)n3時(shí)

9、，f(n)1；假設(shè)當(dāng)nk(k 3，k N*)時(shí)，f(k)1，那么當(dāng)nk1時(shí)， 解析答案思維升華 所以當(dāng)nk1時(shí)，f(n)1也成立.由和知，當(dāng)n 3時(shí)，f(n)1；當(dāng)n 3時(shí)，f(n)1.思維升華 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).難點(diǎn)在于尋求等式在nk和nk1時(shí)的聯(lián)系.思維升華 (1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 解析答案 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.證明由(1)易知，n1時(shí)，猜想正確.這說明，nk1時(shí)猜想正確.由知，對(duì)于任何n N *，返回解析答案

10、 高考押題精練1.將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)， 分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和，如下所示：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S 722232425262728175，試猜測S1S3S5S2 015_.1 0084答案解析押題依據(jù) 押題依據(jù)數(shù)表(陣)是高考命題的常見類型，本題以三角形數(shù)表中對(duì)應(yīng)的各組包含的正整數(shù)的和的計(jì)算為依托，圍繞簡單的計(jì)算、

11、歸納猜想以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用等，考查考生歸納猜想能力以及對(duì)數(shù)學(xué)歸納法邏輯推理證明步驟的掌握程度. 解析 解析由題意知，當(dāng)n1時(shí)，S1114；當(dāng)n2時(shí)，S1S31624；當(dāng)n3時(shí)，S1S3S58134；當(dāng)n4時(shí)，S1S3S5S725644； 猜想：S1S3S5S2n1n4. S1S3S5S2 0151 0084. 押題依據(jù)根據(jù)n個(gè)等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點(diǎn)，相對(duì)而言，歸納推理在高考中出現(xiàn)的機(jī)率較大. 答案解析押題依據(jù) 解析已知所給不等式的左邊第一個(gè)式子都是x，不同之處在于第二個(gè)式子， 顯然式子中的分子與分母是對(duì)應(yīng)的，分母為xn，分子是nn，顯然不等式右邊的式子為n1， 3.設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，證明：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列.押題依據(jù)反證法是一種重要的證明方法，對(duì)含“至多” “至少”等詞語的命題用反證法十分有效，近幾年高考時(shí)有涉及.因?yàn)閍1 0，所以(1q)21qq2，即q0，這與q 0矛盾，故S n不是等比數(shù)列.押題依據(jù)返回解析答案