高中人A數(shù)學必修三-第一章學案六算法案例

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1、開 始 學 點 一學 點 二學 點 三學 點 四 1. 九 章 算 術(shù) 中 的 “ 更 相 減 損 術(shù) ” 求 兩 個 數(shù) 的 最 大公 約 數(shù) .翻 譯 為 現(xiàn) 代 漢 語 如 下 ： 第 一 步 ， 任 意 給 定 兩 個 正 整 數(shù) ， 判 斷 它 們 是 否 是 偶 數(shù) ，若 是 ， 用 2約 簡 ； 若 不 是 ， 執(zhí) 行 第 二 步 . 第 二 步 ， 用 兩 數(shù) 中 較 大 的 數(shù) 減 去 較 小 的 數(shù) ,再 用 .和 構(gòu) 成 新 的 一 對 數(shù) ,再 用 大 數(shù) 減 小 數(shù) ,以 同 樣 的操 作 一 直 做 下 去 ,直 到 產(chǎn) 生 為 止 ,這 個 數(shù)（ 等 數(shù) ） 或

2、這 個 數(shù) 與 約 簡 的 數(shù) 的 乘 積 就 是 最 大 公 約 數(shù) . 2.古 希 臘 求 兩 個 正 整 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) 的 方 法 是 : ： 用 較 大 的 數(shù) 除 以 較 小 的 數(shù) 所 得 的 和 構(gòu) 成 新 的 一 對 數(shù) ,繼 續(xù) 做 上 面 的 除 法 ,直 到 大 數(shù)被 小 數(shù) 除 盡 ,這 個 較 小 的 數(shù) 就 是 最 大 公 約 數(shù) . 差 數(shù) 較 小 的 數(shù) 一 對 相 等 的 數(shù) 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 余 數(shù) 較 小 的 數(shù) 返 回 3.把 一 個 n次 多 項 式 f(x)=anxn an xn a1x a0改 寫 成 如 下 形 式 : f(x)=

3、 anxn an xn a1x a0 = . = . = = . 求 多 項 式 的 值 時 ,首 先 計 算 最 內(nèi) 層 括 號 內(nèi) 一 次 多 項 式的 值 ,即 v 1= ,然 后 由 內(nèi) 向 外 逐 層 計 算 一 次多 項 式 的 值 ,即 v2= , v3= , vn= ,(anxn-1 an xn 2 a1)x a0 (anxn-2 an xn 3 +a2)x a1)x a0 (（ (anx an )x an 2 )x a1)x a0 anx an v2x an 3v1x an 2vn-1x a0 返 回 這 樣 ,求 n次 多 項 式 f(x)的 值 就 轉(zhuǎn) 化 為 . 上 述

4、 方 法 稱 為 秦 九 韶 算 法 . 觀 察 上 述 秦 九 韶 算 法 中 的 n個 一 次 式 ,可 見 vk的 計 算 要用 到 vk-1的 值 .若 令 v0=an,我 們 可 以 得 到 公 式 : . 這 是 一 個 在 秦 九 韶 算 法 中 反 復 執(zhí) 行 的 步 驟 ,因 此 可 用 來 實 現(xiàn) .求 n個 一 次 多 項 式 的 值 vo=anvk=vk-1x+an-k(k=1,2,n)循 環(huán) 結(jié) 構(gòu) 返 回 學 點 一 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法用 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 求 90與 36的 最 大 公 約 數(shù) . 【 分 析 】 本 題 考 查 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 求 兩 個

5、數(shù) 的 最 大 公 約數(shù) 的 步 驟 .使 用 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 求 90與 36的 最 大 公 約 數(shù) 時 ,先用 90除 以 36,余 數(shù) 為 18,用 36除 以 18,余 數(shù) 為 0,18就 是 90與 36的 最 大 公 約 數(shù) .順 便 提 示 一 下 ,兩 個 數(shù) a,b的 最 大 公約 數(shù) 一 般 寫 成 (a,b),如 90與 36的 最 大 公 約 數(shù) 為 18,寫 成(90,36)=18. 【 解 析 】 令 m=90,n=36,m=2n+18,r=18. 令 m=36,n=18. 又 有 36=18 2,即 m=2n, 返 回 此 時 r=0. 令 m=18,n=0.

6、 故 90與 36的 最 大 公 約 數(shù) 為 18. 程 序 步 驟 如 下 : INPUT m=;n=; m=90;n=36; DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT “ 90與 36的 最 大 公 約 數(shù) 為 :” ;m END 返 回 【 評 析 】 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 是 當 大 數(shù) 被 小 數(shù) 除 盡 時 ,結(jié) 束除 法 運 算 ,較 小 的 數(shù) 就 是 最 大 公 約 數(shù) ;更 相 減 損 術(shù) 是 當 大數(shù) 減 去 小 數(shù) 的 差 等 于 小 數(shù) 時 停 止 減 法 ,較 小 的 數(shù) 就 是 最大 公 約 數(shù) . 返 回 用 輾 轉(zhuǎn) 相

7、除 法 求 80與 36的 最 大 公 約 數(shù) ,并 用 更 相 減 損 術(shù) 檢驗 所 得 結(jié) 果 . 解 ： 用 輾 轉(zhuǎn) 相 除 :80=36 2+8,36=8 4+4,8=4 2+0;用 更 相 減 損 術(shù) 檢 驗 :80-36=44,44-36=8,36-8=28,28-8=20,20-8=12,12-8=4,8-4=4.故 80和 36的 最 大 公 約 數(shù) 是 4. 返 回 學 點 二 更 相 減 損 術(shù)1.有 甲 、 乙 、 丙 三 種 溶 液 ,分 別 重 kg, kg, kg.先 要 將 它 們 分 別 全 部 裝 入 小 瓶 中 ,每 個 小 瓶 裝 入 液 體 的 重量 相

8、 同 .問 :每 瓶 最 多 裝 多 少 ? 【 分 析 】 本 題 考 查 更 相 減 損 術(shù) 的 計 算 步 驟 及 思 想 .根據(jù) 題 意 ,每 個 小 瓶 裝 的 溶 液 的 質(zhì) 量 應 是 三 種 溶 液 質(zhì) 量 的 最大 公 約 數(shù) .先 求 任 意 兩 個 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) ,然 后 再 求 這 個 數(shù)與 第 三 個 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) . ; 367536153690369036153610536105361536120361203615361353615 361353615036809209223613541543336150625614 ; .; 3615

9、36153630363036153645364536153660366036153675 【 解 析 】 614 433 922 返 回 即 和 的 最 大 公 約 數(shù) 是 . 即 的 最 大 公 約 數(shù) 是 .614 433 3615 36153620362036153635363536153650365036153665366536153680 ; ,; 365365361036103653615365 922433614 , 【 評 析 】 本 題 考 查 更 相 減 損 術(shù) . 3615 返 回 2.用 更 相 減 損 之 術(shù) 求 98和 63的 最 大 公 約 數(shù) . 【 分 析 】

10、 由 于 63不 是 偶 數(shù) ,把 98和 63以 大 數(shù) 減 小 數(shù) ,并輾 轉(zhuǎn) 相 減 . 【 解 析 】 98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7.所 以 98和 63的 最 大 公 約 數(shù) 為 7. 【 評 析 】 等 值 算 法 是 當 大 數(shù) 減 去 小 數(shù) 的 差 等 于 小 數(shù) 時停 止 減 法 ,較 小 的 數(shù) 就 是 所 求 的 最 大 公 約 數(shù) . 返 回 有 甲 、 乙 、 丙 三 種 溶 液 分 別 重 147 kg,343 kg,133 kg,現(xiàn)要 將 它 們 分 別 全 部 裝 入 小 瓶 中 ,每 個 小

11、 瓶 裝 入 液 體 的 質(zhì) 量相 同 ,問 每 瓶 最 多 裝 多 少 ? 解 ： 由 題 意 ,每 小 瓶 裝 的 溶 液 的 質(zhì) 量 應 是 三 種 溶 液 質(zhì)量 的 最 大 公 約 數(shù) ,先 求 147與 343的 最 大 公 約 數(shù) : 343-147=196, 196-147=49, 147-49=98, 98-49=49. 所 以 147與 343的 最 大 公 約 數(shù) 是 49. 再 求 49與 133的 最 大 公 約 數(shù) : 133-49=84, 84-49=35, 49-35=14, 35-14=21, 21-14=7, 14-7=7. 所 以 147,343,133的

12、最 大 公 約 數(shù) 為 7. 故 每 瓶 最 多 裝 7 kg. 返 回 學 點 三 秦 九 韶 算 法1.已 知 函 數(shù) f(x)=x4-2x2-5x+6,用 秦 九 韶 算 法 求 f(10)的 值 . 【 分 析 】 本 題 考 查 秦 九 韶 算 法 求 值 的 步 驟 .根 據(jù) 秦 九韶 算 法 ,我 們 需 要 處 理 多 項 式 的 系 數(shù) 以 及 最 高 次 項 的 系 數(shù) .該 多 項 式 函 數(shù) 沒 有 中 間 的 三 次 項 ,應 先 把 多 項 式 變 形 為f(x)=x4+0 x3-2x2-5x+6再 處 理 . 【 解 析 】 v0=1, v1=1 10+0=10,

13、 v 2=10 10-2=98, v3=98 10-5=975, v4=975 10+6=9 756, f(10)=9 756. 返 回 【 評 析 】 當 多 項 式 函 數(shù) 中 間 出 現(xiàn) 空 項 要 以 系 數(shù) 為 零 的齊 次 項 補 齊 .否 則 ,在 處 理 問 題 時 ,多 項 式 運 算 的 次 數(shù) 不 會達 到 對 應 的 次 數(shù) .因 此 ,我 們 在 應 用 秦 九 韶 算 法 求 多 項 式 的值 時 ,先 要 依 次 從 最 高 次 項 往 常 數(shù) 項 觀 察 各 項 是 否 都 存 在 ,再 進 行 處 理 . 返 回 2.求 多 項 式 f(x)=x5+5x4+1

14、0 x3+10 x2+5x+1當 x=-2時 的 值 . 【 解 析 】 解 ： 先 改 寫 多 項 式 ,再 由 內(nèi) 向 外 計 算 . f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1 =(x+5)x+10)x+10)x+5)x+1. 而 x=-2,所 以 有 : v0=1,v1=v0 x+a4=1 (-2)+5=3, v2=v x+a3=3 (-2)+10=4, v 3=v2x+a2=4 (-2)+10=2, v4=v3x+a1=2 (-2)+5=1, v5=v4x+a0=1 (-2)+1=-1. 所 以 當 x=-2時 ， 多 項 式 的 值 為 -1. 返 回 【 分 析 】

15、 本 題 考 查 秦 九 韶 算 法 . 【 評 析 】 利 用 秦 九 韶 算 法 計 算 多 項 式 的 值 關 鍵 是 能 正確 地 將 所 給 多 項 式 改 寫 ,然 后 由 內(nèi) 向 外 逐 次 計 算 ,由 于 后 項計 算 需 用 到 前 項 的 結(jié) 果 ,故 應 認 真 、 細 心 ,確 保 中 間 結(jié) 果 的準 確 性 . 返 回 已 知 一 個 5次 多 項 式 為 :f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用 秦 九 韶 算 法 求 這 個 多 項 式 當 x=5時 的 值 .解 ： f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x

16、-0.8, 當 x=5時 , v0=5; v1=5 5+2=27; v2=27 5+3.5=138.5; v3=138.5 5-2.6=689.9; v 4=689.9 5+1.7=3 451.2; v5=3 451.2 5-0.8=17 255.2. 所 以 當 x=5時 ,多 項 式 的 值 為 17 255.2. 返 回 學 點 四 進 位 制將 8進 制 數(shù) 314 706(8)轉(zhuǎn) 化 為 十 進 制 數(shù) . 【 分 析 】 本 題 考 查 進 位 制 的 換 算 步 驟 及 注 意 事 項 .利用 把 k進 制 數(shù) 轉(zhuǎn) 化 為 十 進 制 數(shù) 的 一 般 方 法 就 可 以 把 8進

17、 制 數(shù)314 706(8)化 為 十 進 制 數(shù) . 【 解 析 】 314 706(8)=3 85+1 84+4 83+7 82+081+6 80=104 902. 所 以 314 706(8)化 為 十 進 制 數(shù) 是 104 902. 8進 制 數(shù) 314 706中 共 有 6位 ,因 此 可 令 a=314 706,k=8,n=6. 【 評 析 】 本 題 考 查 進 位 制 . 返 回 將 389化 成 四 進 制 數(shù) 的 末 位 是 . 1( ,末 位 是 第 一 個 余 數(shù) ,389=12 011(4).注 意 :余 數(shù) 自 下 而 上 排 列 .)4 389 余4 97 14

18、 24 14 6 04 1 2 0 1 第 一 個 余 數(shù) 返 回 1.如 何 理 解 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 ? 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 是 西 方 古 代 數(shù) 學 中 的 一 個 典 型 算 法 .更 相減 損 術(shù) 和 秦 九 韶 算 法 都 是 我 國 古 代 數(shù) 學 中 的 著 名 算 法 ,而排 序 法 和 進 位 制 算 法 是 計 算 機 科 學 中 普 遍 使 用 的 算 法 .這些 算 法 案 例 不 僅 蘊 涵 著 深 刻 的 算 法 思 想 ,而 且 也 更 能 體 現(xiàn)出 算 法 的 重 要 性 和 有 效 性 .因 此 ,要 切 實 理 解 算 法 案 例 的 內(nèi)容 及 具 體

19、 算 法 的 關 鍵 步 驟 . 返 回 2.如 何 掌 握 進 位 制 ? 進 位 制 是 一 種 記 數(shù) 方 式 ,用 有 限 的 數(shù) 字 在 不 同 的 位 置表 示 不 同 的 數(shù) 值 .可 使 用 數(shù) 字 符 號 的 個 數(shù) 稱 為 基 數(shù) ,基 數(shù) 為n,即 可 稱 n進 位 制 ,簡 稱 n進 制 .現(xiàn) 在 最 常 用 的 是 十 進 制 ,通常 使 用 10個 阿 拉 伯 數(shù) 字 09進 行 記 數(shù) . 對 于 任 何 一 個 數(shù) ,我 們 可 以 用 不 同 的 進 位 制 來 表 示 .比如 :十 進 數(shù) 57,可 以 用 二 進 制 表 示 為 111001,也 可 以

20、用 八 進制 表 示 為 71,用 十 六 進 制 表 示 為 39,它 們 所 代 表 的 數(shù) 值 都 是一 樣 的 . 表 示 各 種 進 制 數(shù) 一 般 在 數(shù) 字 右 下 角 加 注 來 表 示 .如111001 (2)表 示 二 進 制 數(shù) ,34(5)表 示 5進 制 數(shù) .電 子 計 算 機 一般 都 使 用 二 進 制 . 返 回 1.理 解 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 與 更 相 減 損 術(shù) 求 最 大 公 約 數(shù) 的 方 法 ;理 解 秦 九 韶 算 法 的 特 點 ;理 解 兩 種 排 序 法 的 排 序 步 驟 及 計算 機 程 序 設 計 ,各 進 位 制 表 示 數(shù) 的 方 法 及 各 進 位 制 之 間 的轉(zhuǎn) 換 . 2.把 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 與 更 相 減 損 術(shù) 的 方 法 轉(zhuǎn) 換 成 程 序 框 圖與 程 序 語 言 ;秦 九 韶 算 法 的 先 進 性 理 解 ;除 k去 余 法 的 理 解以 及 各 進 位 制 之 間 轉(zhuǎn) 換 的 程 序 框 圖 的 設 計 . 返 回