《數(shù)學(xué)物理方法》新建第14講

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1、14. Legendre 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 2010. 6. 3 一 . Legendre方 程 的 引 出球 形 域 上 三 維 靜 電 場(chǎng) 問 題 中 , 外 電 勢(shì) 滿 足 Laplace 例 ： 方 程 。分 析 ：即 求 其 分 離 變 量 解 。求 解 時(shí) 常 將 其 寫 成 球 坐 標(biāo) 形 式 ： , 0),(2 ru . 0sin1)(sinsin1)(1 2222222 ururrurrr 設(shè) 解 為 , )( )( )( rRu 得代 入 上 方 程 并 乘 以 ) (2 Rr . 0ddsin1)dd(sinddsin1)dd(dd1 2222 rRrrR后 兩 項(xiàng) 與

2、 r 無 關(guān) , 于 是 有 (1) . )dd(dd1 2 rRrrR (2) .ddsin1)dd(sinddsin1 222 為 方 便 , 常 把 寫 成 l (l+1). 于 是 (1) 化 為 歐 拉 方 程 ：其 通 解 為 . )1( ll rBrAR上 式 可 化 為 (3) ). ,2 ,1 ,0( ,dd1 222 mm , 0)1(dd2dd 222 RllrRrrRr (3) 并 自 然 周 期 條 件 可 得 . cos sin mDmC (2) 式 乘 以 2sin 得 . 0dd1sin)1()dd(sinddsin 222 ll (4) . sin)1()dd

3、(sinddsin 22 mll 方 程 (4) 整 理 為 (5) . 0sin)1(ddcotdd 2222 mll 稱 之 為 Legendre 方 程 。其 中 . 11 x (6) , 01)1(dd2dd)1( 22222 PxmllxPxxPx 該 方 程 添 加 自 然 邊 界 條 件令 并 將 , cosx )( 改 寫 為 , )(xp 則 (5) 變 為此 方 程 稱 為 關(guān) 聯(lián) Legendre 方 程 。若 定 解 問 題 與 無 關(guān) , 則 亦 然 , m 0 。 此 時(shí) (6) 成 為 (7) , 0)1( 2 )1( 2 PllxPPx |)1(| P 構(gòu) 成

4、本 征 值 問 題 , 為 和 ),2 ,1 ,0( , nnl ,)!2()!(!2 ! )(2 )1()( 0 2 Mk knnkn xknknk knxP ). ,2 ,1 ,0 ( 12 ,2)1( 2 ,2 aann a nnM 其 本 征 值 和 本 征 函 數(shù) 這 樣 在 軸 對(duì) 稱 假 設(shè) 下 得 到 問 題 的 級(jí) 數(shù) 解 )(cos )(),( 0 )1( n nnnnn PrBrAru 進(jìn) 一 步 的 求 解 須 知 Legendre 多 項(xiàng) 式 的 性 質(zhì) 。后 面 的 討 論 中 ， 我 們 只 考 慮 軸 對(duì) 稱 問 題 。 二 . Legendre多 項(xiàng) 式 的

5、性 質(zhì)1. Legendre多 項(xiàng) 式 的 為 微 分 表 示 (7) . 0)1( 2 )1( 2 PnnxPPx首 先 證 明 nnn xxxf 1)(dd)( 2 滿 足 Legendre 方 程令 , 1)( 2 nxy 則 , 1)(2 12 nxnxy 因 此nxnxyx 1)(2 )1( 22 nxy2上 式 兩 端 同 求 n + 1 階 導(dǎo) 數(shù) , 得 22 )1( 2)1( )1( )()1()2(2 nnn ynnxynyx )()1( 2)1(2 nn nynnnxy 即 0, )1( 2 )1( )()1()2(2 nnn ynnxyyx因 此 0. )1( 2 )1

6、( 2 fnnxffx . 0)1( 2 )1( 2 PnnxPPx即 nnn xxxf 1)(dd)( 2 滿 足 Legendre 方 程因 此 nnnnn xxnxfnxP 1)(dd!21)(!21)( 2 也 是 解 。由 二 項(xiàng) 式 定 理 可 證 明 這 里 的 )(xP 就 是 n 階 Legendre多 項(xiàng) 式 . )(xPn 2. Legendre多 項(xiàng) 式 的 為 積 分 表 示據(jù) 復(fù) 變 函 數(shù) 中 高 階 導(dǎo) 數(shù) 公 式 ,)( d )(2 !)( 1)( L nn xz zzfinxf 可 得nnnnn xxnxP )1(dd!2 1)( 2 , )( d 1)(2

7、2 1 12 L nnn xz zziL 是 圍 繞 z x 的 任 一 正 向 閉 曲 線 。 特 別 地 , 取 半 徑 為 1 2x 的 圓 周 為 L, 則 . )( , 1 2 iexxz . d1 d , 1 22 ii exizexxz 由 此 得 )1(2)1(2 2)1(2 d 1 21)( ninn in ex exiixP .)1 1()1 1( 22 nini exxexx 其 中 化 簡(jiǎn) 得 d)cos 1(21)( 2 nn xxxP此 式 稱 為 Legendre 多 項(xiàng) 式 的 Laplace 積 分 。 0 2 d)cos 1(1 nxx令 cosx 得 0

8、d)cos sin(cos1)( nn ixP由 積 分 表 達(dá) 式 可 得 ,1)1( nP .)1()1( nnP 3. Legendre多 項(xiàng) 式 的 母 函 數(shù)若 一 個(gè) 函 數(shù) 按 某 一 自 變 量 作 冪 級(jí) 數(shù) 展 開 時(shí) , 其 系 數(shù) 是例 如 若 , )(),( 0 nn n txPtxf Legendre 多 項(xiàng) 式 , 則 稱 該 函 數(shù) 為 Legendre 多 項(xiàng) 式 的母 函 數(shù) 。就 稱 f (x,t) 為 Legendre 多 項(xiàng) 式 的 母 函 數(shù) ?？?慮 復(fù) 變 函 數(shù) .)21(),( 212 txttxw 當(dāng) 1 | t 時(shí) ， 將 其 展 開 為

9、 , )(),( 0 n nn txCtxw 則 有 , d )21(21)( 1 212 L nn t ttxtixC L 是 區(qū) 域 | t | 1 內(nèi) 任 一 正 向 閉 曲 線 。 作 變 換 uttxt 1)21( 212 L nn t ttxtixC d )21( 21)( 1 212L1 是 L 在 上 述 變 換 下 的 象 , 是 含 點(diǎn) u x 的 閉 曲 線 。 1 d)(2 1)( 21 12L nn n uxuui 則 .1)(2 2 u xut ).(xPn根 據(jù) 高 階 導(dǎo) 數(shù) 公 式 )(! 2)( d )( 0)(10 zfn izz zzf nL n xun

10、nnnn uunxC 1)(dd!2 1)( 2得 因 此, )(),( 0 n nn txPtxw 母 函 數(shù) 。即 w (x,t) 為 Legendre 多 項(xiàng) 式 的 Legendre 多 項(xiàng) 式 滿 足 如 下 遞 推 公 式 ：4. Legendre多 項(xiàng) 式 的 遞 推 公 式1. 0;)( )( )12()( )1( 11 xnPxPxnxPn nnn2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPn nnn3. .0 )( )( )( 11 xPxxPxnP nnn4. .)( 1) (2 )( )( 11 xPnxPxP nnn 由 212)21(),( txttxw 0 )(

11、n nn txP 兩 邊 對(duì) t 求 偏導(dǎo) 數(shù) 得 1 1232 )()21( )( n nn txnPtxttx . )()1()21( )()( 0 120 n nnn nn txPntxttxPtx首 先 證 明 1. 0;)( )( )12()( )1( 11 xnPxPxnxPn nnn兩 邊 同 乘 )21( 2txt 得 0 1 )()1(n nn txPn比 較 nt 的 系 數(shù) 得 ).()1()(2)()1()()( 111 xPnxnxPxPnxPxxP nnnnn 整 理 即 得 1. 下 面 證 明 2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPn nnn由 212)

12、21(),( txttxw 0 )(n nn txP 分 別 對(duì) x, t 求偏 導(dǎo) 數(shù) 得 0232 )()21( n nn txPtxtt 1 1232 )()21( )( n nn txnPtxttx于 是 . )( )()( 10 n nnn nn txnPtxPtx 因 為 , 0)(0 xP故 0 110 )( )( )()( n nnn nnn nn txPtxPxtxPtx . )( )( )( 11 11 n nnn nnn nn txnPtxPtxPx 即 2 成 立 。 下 面 證 明 3. .0 )( )( )( 11 xPxxPxnP nnn對(duì) 1 式 求 導(dǎo) 得0)

13、( )( )12()( )1( 11 xnPxPxnxPn nnn 0)( )()12()()12()( )1( 11 xnPxxPnxPnxPn nnnn對(duì) 2 式 乘 以 n 得 0)( )( )( 1 xPxPxxPn nnn 0)( )( )( 12 xnPxPxnxPn nnn兩 式 相 減 得 0, )()1()()1()( )1( 21 xxPnxPnxPn nnn即 0, )()()()1( 1 xxPxPxPn nnn 此 即 3。由 2, 3 可 得 4。 一 . Legendre多 項(xiàng) 式 的 正 交 歸 一 性Legendre 多 項(xiàng) 式 在 1 ,1 上 滿 足 正

14、交 歸 一 關(guān) 系 ： . ),1(22 ,0 d )()(1 1 knn knxxPxP knLegendre 方 程 為 .0)1(2 )1( 2 yllxyyx寫 成 Sturm-Liouviller 方 程 形 式 為 ,0 dd )1(dd 2 yxyxx 附 加 條 件 )1( y 后 構(gòu) 成 本 征 值 問 題 , 其 特 征 值和 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 函 數(shù) 分 別 為 ),2 ,1 ,0( )1( nnn和 ).(xP n 因 此 自 然 有 ). ( ,0d )()(1 1 knxxPxP kn 母 函 數(shù) 關(guān) 系 式 0212 )()21( n nn txPtxt 兩 邊

15、 平 方 得 2012 )()21( n nn txPtxt兩 邊 積 分 得 0 0 1111 12 d )( )(d)21( n mnmm n txxPxPxtxt利 用 正 交 性 得 0 211 21 12 d )(|)21ln(21 n nn txxPtxtt . d )(11ln21 0 211 2 n nn txxPtt即 . 1 2 211ln21 0 2 n ntntt而.12 2d )(11 2 nxxPn因 此 稱 之 為 Legendre 多 項(xiàng) 式 的模 方 , 記 作 , 2nN 即 .12 2 2 nNn 0 0 )( )(n mnmm n txPxP 定 理 .

16、 設(shè) f (x) 是 1,1 上 的 分 段 光 滑 的 實(shí) 值 函 數(shù) , 且 ,)(0n nn xPC二 .按 Legendre多 項(xiàng) 式 作 廣 義 傅 里 葉 展 開xxf d )(11 2積 分 具 有 有 限 值 ， 那 么 f (x) 可 按 Legendre多 項(xiàng) 式 展 開 為 無 窮 級(jí) 數(shù) 其 中 112 d )()(1 xxPxfNC nnn . d )()(2 12 11 xxPxfn n對(duì) (1,1)內(nèi) 任 一 x , 此 級(jí) 數(shù) 收 斂 于 f (x) 在 x 處 左 右極 限 的 平 均 值 。 即 連 續(xù) 點(diǎn) 處 級(jí) 數(shù) 收 斂 于 f (x)本 身 。 在例

17、 1. (1,1) 內(nèi) 將 3 )( xxf 按 )(xPn 展 開 為 F-L 級(jí) 數(shù) 。解 ： ,)(03 n nn xPCx設(shè) 因 )(xPn 是 n 次 多 項(xiàng) 式 ， 所 以).3( ,0 nCn )()()()( 332211003 xPCxPCxPCxPCx 即 2 35)( 33 xxxP 又 ,2 )(35 13 xPx 因 此 . )(52)(53 313 xPxPx 計(jì) 算例 2. . d )(11 xxPn解 ： 因 , 1)(0 xP 故 . d )( )(d )( 11 011 xxPxPxxP nn 由 正 交 性 知 . )0( ,0 d )(11 nxxPn而

18、 . 2 d )(11 0 xxP 11 11 1 d)()(d)( xxPxPxxxP nn計(jì) 算例 3. . d )(11 xxxPn解 ： 211, Nn其 中 1 , 1 1 , 0 ,1 nnn , 112 2 1,n 計(jì) 算例 4. . d )(10 xxPn解 ： 當(dāng) 0n 時(shí) , . 1d )(10 xxPn . 0當(dāng) n為 非 零 偶 數(shù) 時(shí) , xxPxxP nn d )( 2d )( 11 10 當(dāng) n為 奇 數(shù) 時(shí) , 利 用 公 式 )( 1) (2 )( )( 11 xPnxPxP nnn 得 xxPxPnxxP nnn d )()( 12 1d )( 110 11

19、0 )0()1()0()1( 12 1 1111 nnnn PPPPn . )0()0( 12 1 11 nn PPn 由 22 !)!2( )!2(1)()0( kkP kk 可 得 結(jié) 果 。 半 徑 為 a 的 球 面 上 ， 電 勢(shì) 分 布 為 f (), 求 球 內(nèi)例 5. 電 勢(shì) 分 布 。解 ： ; )20 ,0 ,( , 0),(2 arru邊 界 條 件 與 無 關(guān) ，球 內(nèi) 電 勢(shì) 分 布 滿 足 . | ),(| 0 rar ufu 由 上 節(jié) 討 論 知 問 題 的 級(jí) 數(shù) 解 為 )(cos )( ),( 0 )1( n nnnnn PrBrAru 由 | 0 ru 知 . 0nB 再 由 )(| fu ar 知 ,)(cos)( 0 n nnn PaAf 于 是 .d sin )(cos)(2 12 0 nnn PfanA 代 入 即 得 解 。