《《數(shù)學(xué)物理方法》09級考試要求》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)學(xué)物理方法》09級考試要求（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2010. 6. 17 09-10年第二學(xué)期數(shù)學(xué)物理方程 復(fù)習(xí)大綱 第一章 定解問題1.會寫出簡單的定解問題 初始條件邊界條件定解條件穩(wěn)定場方程熱傳導(dǎo)方程波動方程泛定方程 （1）三類泛定方程222 )( xx,tua 22 ),(t txu一維波動方程 222 xuatu 一維熱傳導(dǎo)方程 .022222 yuxuu二維laplace方程 初 始 時 刻 的 溫 度 分 布 ：B、 熱 傳 導(dǎo) 方 程 的 初 始 條 件 0( , )| ( )tu M t M C、 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 的 初 始 條 件不 含 初 始 條 件 ， 只 含 邊 界 條 件 條 件00| (
2、 )( )ttu xu xt A、 波 動 方 程 的 初 始 條 件（2）三類方程的初始條件 第 一 類 ， 直 接 給 出 物 理 量 在 邊 界 上 的 分 布 ：. ),(|) ,( tMftMu M , ),( n tMfu 其 中 n 為 邊 界 的 法 線 方 向 。第 二 類 ， 給 出 物 理 量 的 梯 度 在 邊 界 上 的 分 布 ：, 0 ) ( xunu 第 三 類 ， 給 出 物 理 量 及 其 邊 界 上 法 線 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的線 性 關(guān) 系（3）三類邊界條件 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。A、 波動方程的邊界條件(1)固定端：對
3、于兩端固定的弦的橫振動，其為：0| 0,xu ( , ) 0u a t 或：0 x auT x 0 x aux ( , ) 0 xu a t (3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。 x ax auT kux 或0 x au ux B、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1) 給定溫度在邊界上的值|su f S給定區(qū)域v 的邊界(2) 絕熱狀態(tài)0sun (3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。 1 1( )d d d dudQ k u u S t k S tn 交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度1k 1u 1 SSu u
4、un 1kk 第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件 2.能認(rèn)出不同維數(shù)，不同坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)，柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)）中各類方程 . cos ,0| ) ( 0 11 0 22222 Euu auuua 二 維 極 坐 標(biāo) 系 圓盤 外 laplace問 題 . 0 ,0| | ,0| 0 00 22222 byyyy axx uu yAuu yuxuu 二 維 直 角 坐 標(biāo) 系矩 形 域 laplace問題 . 1| ,0| | ,0| ) 0 ( ), ( 20 0 0 2 buu uu buuau ttt btt 二 維 極 坐 標(biāo) 系 下圓 形 薄 膜 振 動 問題 . | ,
5、0| | ,0| ) 0 ,0 ( , 00 20 uu uu hzauuu a hzz zz 三 維 柱 坐 標(biāo) 系 下laplace問 題 . ),(| | ,0| ) 0 ( ), ( 0 0 2 yxfu uu buuau t bt 二 維 極 坐 標(biāo) 系 下圓 盤 熱 傳 導(dǎo) 問 題軸對稱 3.會利用疊加原理三 維 球 坐 標(biāo) 系 下laplace問 題 . | ),(| 0sin1)(sinsin1)(1 0 2222222 rar ufu ururrurrr 第二章 分離變量法處理的是兩個自變量的函數(shù)（弦振動，桿上熱傳導(dǎo)，二維Laplace方程）的定解問題1.會用分離變量法求解定
6、解問題 定解問題選擇合適的坐標(biāo)系邊界條件非齊次，轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件非齊次方程，齊次邊界條件齊次方程，齊次邊界條件直接用駐波法非齊次方程，齊次定解條件固有函數(shù)法應(yīng)用分離變量法求解定解問題的步驟 用 分 離 變 量 法 求 解 定 解 問 題 包 括 以 下 幾 個 基 本 步 驟 ：1. 將 偏 微 問 題 通 過 分 離 變 量 化 為 常 微 問 題2. 確 定 特 征 值 和 特 征 函 數(shù)3. 求 解 其 它 常 微 分 方 程 ， 進(jìn) 而 得 到 滿 足 邊 值 條4. 令 級 數(shù) 解 滿 足 初 始 條 件 ， 以 確 定 其 它 參 數(shù) ，件 的 偏 微 分 方 程 的 級 數(shù) 解
7、 。最 終 得 到 定 解 問 題 的 解 。 第三章 二階常微級數(shù)解法，本征值問題1.用冪級數(shù)解法解方程0)()( yxqyxpy2.會求解本征值問題（本征值，本征函數(shù)） 自然周期條件自然有限條件三類條件齊次邊界條件方程方程歐拉方程二階常系數(shù)常微方程LegendreBessel不要求 3.會寫出常微分方程的解 0 )( 222 yxyxyx . )()( xBYxAJy , 0 )1( 2)1( 2 yllyxyx ),()( 1100 xyaxyay . ) 0 ( , ,ln000 mDCRDCR mmmmm . 0)( )( )( 22 RmRR 第四，五章 Bessel函數(shù)，Lege
8、ndre多項式1.Bessel函數(shù)，Legendre多項式性質(zhì)的證明（遞推性，正交性，模方） (1).原 點(diǎn) 處 )(xJm 有 有 限 值 ， )(xYm 無 有 限 值 。nnnnn xxnxP 1)(dd!21)( 2 (2). , )( d 1)(22 1 12 L nnn xz zzi .)x(P)21(),( n212的母函數(shù)為 txttxw(3).(1)Bessel函 數(shù) ， Legender多 項 式 初 等 性 質(zhì) ： (2)Bessel函 數(shù) 滿 足 如 下 遞 推 公 式 ：1. ; )( )(dd 1mmmm x xJx xJx 2.3. ; )()()( 1 xxJx
9、mJxxJ mmm ; )( )( dd 1 xJxxJxx mmmm 4. ; )()()( 1 xxJxmJxxJ mmm 5. ;)( )(2)( 11 xJxJxxmJ mmm 6. . )( )(21)( 11 xJxJxJ mmm (3)Legendre 多 項 式 滿 足 如 下 遞 推 公 式 ：1. 0;)( )( )12()( )1( 11 xnPxPxnxPn nnn2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPn nnn3. .0 )( )( )( 11 xPxxPxnP nnn4. .)( 1) (2 )( )( 11 xPnxPxP nnn lk lkJJb lmk
10、m ,N0 d )( )( (m)k0 ， .)()(21)(2 2 222 2)( bJmbbJbN kmkkmmk . ),1(22 ,0 d )()(1 1 knn knxxPxP kn(4)Bessel函 數(shù) ， Legendre 多 項 式 模 方 正 交 性 (5)含 Bessel函 數(shù) ， Legendre 多 項 式 積 分 注 意 xxxJI d )(01 . )(1 CxxJ xxJxI d )(032 )(d 12 xxJx xxJxxJx d )(2)( 1213 . )(2)( 2213 CxJxxJx 0 1 2 22 3 33 4 24 5 35 1 cos3 1
11、 3cos 1( ) 2 25 3 5cos 3cos( ) 2 21 1( ) (35 30 3) (35cos4 20cos2 9)8 641 1( ) (63 70 15 ) (63cos5 35cos3 30cos )8 128PP x xP x x xP xP x x xP x x x x 2.會將不同方程在不同坐標(biāo)系下分離成常微分方程 . cos ,0| ) ( 0 11 0 22222 Euu auuua 二 維 極 坐 標(biāo) 系 圓盤 外 laplace問 題.,歐拉方程關(guān)于二階常微關(guān)于 . 1| ,0| | ,0| ) 0 ( ), ( 20 0 0 2 buu uu buua
12、u ttt btt 二 維 極 坐 標(biāo) 系 下 圓 形 薄膜 振 動 問 題 . | ,0| | ,0| ) 0 ,0 ( , 00 20 uu uu hzauuu a hzz zz 三 維 柱 坐 標(biāo) 系 下laplace問 題 . ),(| | ,0| ) 0 ( ), ( 0 0 2 yxfu uu buuau t bt 二 維 極 坐 標(biāo) 系 下 圓 盤 熱傳 導(dǎo) 問 題 .Bessel0方程，歐拉方程階的為關(guān)于 三 維 球 坐 標(biāo) 系 下laplace問 題 . | ),(| 0sin1)(sinsin1)(1 0 2222222 rar ufu ururrurrr .Legende
13、rx r方程為關(guān)于為歐拉方程，為二階常微，關(guān)于關(guān)于 4.會用分離變量法求解圓盤上的熱傳導(dǎo)，圓膜振動，柱面的穩(wěn)定場等定解問題（采用極坐標(biāo)系，柱坐標(biāo)系求解）5.會用分離變量法求解球坐標(biāo)系下Laplace方程注：球坐標(biāo)系下軸對稱問題可直接寫通解3.將非標(biāo)準(zhǔn)方程通過簡單變換化為標(biāo)準(zhǔn)型(化標(biāo)準(zhǔn)Bessel，化為Legender) )(cos )( ),( 0 )1( n nnnnn PrBrAru 第六章 行波法，積分變換法1.用行波法解無界波動方程注：用一維DAlember公式求解 daatxatxtxu atx atx )(21)()(21),( 2.積分變換的定義及性質(zhì)（Fourier，Laplace）3.會用積分變換解定解問題前兩步（變換到常微，求像函數(shù)），及求簡單的原像（常數(shù)，三角函數(shù)）。
《數(shù)學(xué)物理方法》09級考試要求
