《數(shù)學(xué)物理方法》第八講

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1、 ,0)( )( xXxX . 0)( )( )(2 RRR . 0 )( )()( yxqyxpxy（）前 面 分 離變 量 得圓 盤 上 熱傳 導(dǎo) 分 離變 量 得 主 要 問(wèn) 題（1）（）的級(jí)數(shù)解法（2）討論由（）加邊界條件構(gòu)成本征問(wèn)題與前討論本征問(wèn)題的共性 . 0 )( )()( yxqyxpxy（）三個(gè)結(jié)論常微的解同級(jí)數(shù)聯(lián)系的在復(fù)數(shù)域內(nèi)求解 第三章 二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法 本征值問(wèn)題 2010. 4. 22 1二 階 常 微 分 方 程 的 級(jí) 數(shù) 解 法 . 0 )( )()( yxqyxpxy一 .常 點(diǎn) 鄰 域 內(nèi) 的 級(jí) 數(shù) 解 法考 慮 求 解 變 系 數(shù) 二 階 常 微

2、 分 方 程 的 解 在 指 定 點(diǎn)和 0 x)(xq 在 點(diǎn)的 鄰 域 內(nèi) 的 性 質(zhì))(xp 0 x 的 解 析 性 有 關(guān) 。若 和 )(xq)(xp 都 在 0 x 處 解 析 , 則 稱 0 x為 方 程 的 常 點(diǎn) , 否 則 稱 之 為 的 奇 點(diǎn) 。注與 方 程 的 系 數(shù) 定 理 (柯 西 定 理 ): 若 和 )(xq)(xp 在 Rxx 0 內(nèi) 解析 , 則 初 值 問(wèn) 題 1000 )( ,)( 0 )( )()( cxycxy yxqyxpxy在 Rxx 0 內(nèi) 有 唯 一 的 解 析 解 , )(0 0 n nn xxcy且 該 級(jí) 數(shù) 解 的 收 斂 半 徑 至

3、少 是 R.-冪 級(jí) 數(shù) 解 . 0 )( )()( yxqyxpxy級(jí) 數(shù) 法 求 解 方 程設(shè) 所 求 解 為 分 別 寫 成 )( , )( xqxp , )()( 0 0 k kk xxaxp , )(0 0 n nn xxcy ,)()( 0 0 l ll xxbxq 代 入 得 2 20)( )1( n nn xxnnc 0 0)(k kk xxa 1 10)( n nn xxnc 0 0)(l ll xxb . 0)(0 0 n nn xxc 2 20)( )1( n nn xxnnc 0 0)(k kk xxa 1 10)( n nn xxnc 0 0)(l ll xxb .

4、0)(0 0 n nn xxc 即 0 02 )( )1( )2(n nn xxnnc 0 00 1 )( )1(n nnk knk xxakc . 0)( 0 00 n nnk knk xxbc比 較 )( 0 xx 數(shù) 得 遞 推 公 式 ,從 而 將 )2( nc n 同 次 冪 的 系用 kk bacc , , , 10 表 示 。其 中 , 10 cc 是 由 初 始 條 件 確 定 的 。 一 般 來(lái) 講 , 分 成 兩 個(gè) 級(jí) 數(shù) 0 0)(n nn xxcy第 一 項(xiàng) 分 別 是可 將 解)(0 xy 和 , )(1 xy 其 ),( , 010 xxcc 于 是 構(gòu) 成 基

5、礎(chǔ) 解 系 。例 1： . 0 2 yy 試 級(jí) 數(shù) 法 求 解 方 程 . sincos 10 xaxay , 0 )1( 2)1( 2 yllyxyx例 2.Legendre方 程 的 級(jí) 數(shù) 解 法求 如 下 的 Legendre 方 程 的 麥 克 勞 林 級(jí) 數(shù) 解這 相 當(dāng) 于 方 程 中 取這 里 l 是 參 數(shù) , . )1()1()( , )1(2)( 22 xllxqxxxp 可 見(jiàn) 是 和 )(xq)(xp 的 常 點(diǎn) 。稱 之 為 方 程 的 階 數(shù) 。 0 x , 0 n nnxay則 1 1 n nnxnay .)1(0 1 k kk xak 2 2)1( n nn

6、xanny .)1)(2(0 2 k kk xakk2xy 0 11 )1(2k kk xak . 21 k kkxak設(shè) 方 程 的 解 為 0 222 )1)(2()1( )1( k kk xakkxyx 21k kkxak 0 2)1)(2(k kk xakk 0 22)1)(2(k kk xakk 0 2)1)(2(k kk xakk .)1(2 k kkxakk于 是 0 2)1)(2(k kk xakk 2 )1(k kkxakk )1( 2)1( 2 yllyxyx )1( 0 k kkxall 21k kkxak 0 2)1)(2(k kk xakk 2 )1(k kkxakk

7、 )1(0 k kkxall比 較 kx 的 各 次 冪 系 數(shù) 得 . )1)(2( )1)(2 kk akk klkla 這 樣 可 由 , 10 aa 經(jīng) 遞 推 得 到 . ) ,3 ,2( , kak 具 體 地 ， .)!2( )12()3)(1)()(2()42)(22( 02 ak lklllllklka k , 1)( 1 220 k kkxbxy這 樣 得 到 勒 讓 德 方 程 的 級(jí) 數(shù) 解 .)!12( )2()4)(2)(1()32)(12( 112 ak lkllllklka k ),()( 1100 xyaxyay 其 中 , )( 1 12121 k kk x

8、bxxy ,)!2( )12()3)(1)()(2()42)(22(2 k lklllllklkb k .)!12( )2()4)(2)(1()32)(12( 12 k lkllllklkb k 據(jù) 比 值 判 別 法 知 上 述 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為 1。 一 般 來(lái) 講 , 1 x當(dāng) 時(shí) , )(0 xy 和 )(1 xy 右 端 級(jí) 數(shù) 均 發(fā) 散 。Zl當(dāng) 時(shí) , 對(duì) 特 定 的 初 值 ， 可 能 使 得nl 2如 當(dāng) 時(shí) , 則 )(0 xy 只 含 有 限 項(xiàng) 。 01 a此 時(shí) 若 可使 得 有 界 。 )1 (y有 界 。 )1 (y 若 令 ,1)1( )1(

9、 00 yay 則 可 得 ,!)!2( !)!12()1(0 nna n ),()( 1100 xyaxyay 1 220 1)( k kkxbxy滿 足 這 些 條 件 的 解 )( )( 00 xyaxy 是 一 個(gè) 多 項(xiàng) 式 ，稱 之 為 2n 階 勒 讓 德 多 項(xiàng) 式 ， 記 作 ).(2 xP n nm mmnn xmnmnm mnnnnnxP 0 222 )!()!()!2( )!22()1()!2( )!()!2( !)!12()1()(進(jìn) 一 步 整 理 可 得 nk kk xknknk knnn 0 22 )!()!()!2( )!22()1()!2( )!( nm m

10、mnnn xmnmnm mnxP 0 222 )!()!()!2( )!22()1(2 )1()(得 令 ,mnk nk knnkn xknknk knxP 0 2222 )!22()!2(!2 )!24()1()( 即 . ),4 ,2 ,0( ,)!2()!(!2 ! )(2 )1()( 20 2 lxklklk klxP lk kllkl 12 nl當(dāng) 時(shí) , 則 )(1 xy 只 含 有 限 項(xiàng) 。 00 a此 時(shí) 若 可使 得 有 界 。 )1 (y 若 令 ,1)1( )1( 11 yay 可 得 方 程 的 解),( )( 11 xyaxy 稱 之 為 2n+1 階 勒 讓 德

11、多 項(xiàng) 式 。 記 作 ).(12 xP n 類 似 上 面 的 討 論 可 得 . ),5 ,3 ,1( ,)!2()!(!2 ! )(2 )1()( 2)1( 0 2 lxklklk klxP lk kllkl 綜 上 所 述 , 定 解 問(wèn) 題構(gòu) 成 本 征 值 問(wèn) 題 ， ),2 ,1 ,0( nnl的 本 征 函 數(shù) 為 n 階 勒 讓 德 多 項(xiàng) 式第 一 類 勒 讓 德 函 數(shù) , 其 統(tǒng) 一 表 達(dá) 式 如 下 ： ).(xPn ,)!2()!(!2 ! )(2 )1()( 0 2 Mk knnkn xknknk knxP 1)1( , )1( 0 )1(2)(1 2 yy y

12、llxyyx 本 征 值 為 對(duì) 應(yīng) )(xPn 也 稱 為其 中 ). ,2 ,1 ,0 ( 12 ,2 1 2 ,2 kknn knnM 勒 讓 德 方 程 的 解稱 之 為 第 二 類 勒 讓 德 函 數(shù) 。中當(dāng) Zl 時(shí) , )()( 1100 xyaxyay 為 多 項(xiàng) 式 ，)(0 xy 或 )(1 xy 另 一 個(gè) 仍 是 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) ，關(guān) 于 勒 讓 德 多 項(xiàng) 式 的 性 質(zhì) 和 應(yīng) 用 將 在 后 面 討 論 。 二 .正 則 奇 點(diǎn) 附 近 的 級(jí) 數(shù) 解 法即設(shè) 的 不 高 于 一 階 的 極 點(diǎn) ,)(xp0 x 是 的 不 高 于)(xq是二 階 的 極 點(diǎn) ,

13、 , )( )()( , )()( 20101 xx xqxqxx xpxp 其 中 )( , )( 11 xqxp 在 0 x 處 解 析 ,則 稱 0 x 為 方 程 的正 則 奇 點(diǎn) 。 定 理 (fuchs定 理 ): 若 和 )(1 xq)(1 xp 在 Rxx 0 內(nèi) 解析 , , )()( 0 001 1 n nn xxaxxy 或 則 在 Rxx 0 0 內(nèi) 方 程 的 基 礎(chǔ) 解 系 為 0 002 )()( 2 n nn xxbxxy .)()()ln( 0 000102 2 n nn xxbxxxxycy -廣 義 冪 級(jí) 數(shù) 解 例 1.其 中 求 Bessel 方 程

14、解 ： 0 )( 222 yxyxyx 方 程 可 改 寫 為 . 0 1 2 22 yxxyxy 因 為 0 x為 方 程 的 正 則 奇 點(diǎn) 。 設(shè) 方 程 有 如 下 形 式 解 ： 0n nnxcxy .0 n nnxc 的 級(jí) 數(shù) 解 。 , 0 0n nnxcxy .0 n nnxc 則 . )1)( 02 n nnxcnnyx 代 入 方 程 得 ： 0 )1)(n nnxcnn 0 )(n nnxcn 0 2n nnxc .00 2 n nnxc 0 )( 222 yxyxyx 即 0 22 )( n nnxcn 0 2n nnxc 0 22 )( n nnxcn 2 2n n

15、n xc .0由 此 得 ).2( , 0 )( 0 )1( 0 )( 222 122 0 22 nccn cc nn 不 妨 設(shè) , 00 c 可 得 . 由 上 式 得 ).2( , 0 )2( 0 )21( 21 nccnn c nn分 如 下 情 況 討 論 ： (1) . ,01 c此 時(shí) 有 ).2( , )2( 2 nnn cc nn 由 此 易 得 , 0 12 kc , )()2( ) 1( !2 )1( 2 02 kk cc k nk 其 中 . 1k 考 慮 到 , )1()( sss 可 知 , )1()1()()2)(1( kk , )1()1()()2)(1( kk

16、 取 , ) 1( 2 1 0 c 則 可 得 特 解 . )2()1( ! )1(0 21 k kk xkky 此 級(jí) 數(shù) 解 的 收 斂 域 為 實(shí) 數(shù) 集 。稱 )2()1( ! )1()( 0 2 k kk xkkxJ 為 階 第 一 類 Bessel 函 數(shù) 。 (2) . 情 況 1, 類 似 過(guò) 程 易 得 特 解 0 22 )2()1( ! )1(k kk xkky 兩 個(gè) 特 解 . 2 整 數(shù) ).(xJ )( ),( xJxJ 線 性 無(wú) 關(guān) ,構(gòu) 成 基 礎(chǔ) 解 系 。情 況 2, . 2 奇 數(shù) 則 上 面 關(guān) 于 2kc 的 討 論 依 然 成 立 。此 時(shí) , .

17、 012 kc為 求 一 個(gè) 特 解 ,仍 取 所 得 特 解 仍 是).(xJ 此 時(shí) ,情 況 3, . 2 偶 數(shù) )( ),( xJxJ 線 性 相 關(guān)定 義 第 二 類 Bessel 函 數(shù) ： . )( ,sin )(cos)(lim)( 為 正 整 數(shù) xJxJxY 可 以 證 明 )(xY 是 Bessel 方 程 的 特 解 , 且 與 )(xJ線 性 無(wú) 關(guān) 。易 見(jiàn) ,不 論 取 何 非 負(fù) 值 ， )(xY 都 是 的 特 解 。因 此 有 通 解 . )()( xBYxAJy 定 理 3（ Gauss定 理 ）設(shè)中 ( ), ( )P x Q x 在 00 x x R

18、 內(nèi) 解 析 ， 0 x 是 ( )P x的 階 數(shù) 高 于 一 階 的 極 點(diǎn) ，0 x ( )Q x是 方 程 的 非 正 則 奇 點(diǎn) ， 00 x x R 內(nèi) 方 程 的 基 礎(chǔ) 解 系 為 11 0 0( ) ( ) ( )nnny x x x a x x 但或 的 階 數(shù) 高 于 二 階 的則 在 22 0 0( ) ( ) ( )nnny x x x b x x 這 時(shí) 稱極 點(diǎn) ， 三 .非 正 則 奇 點(diǎn) 附 近 的 級(jí) 數(shù) 解 法 或 22 0 1 0 0 0( ) ( )ln( ) ( ) ( )nnny x c y x x x x x b x x 1 2,y x y x1

19、1 0 0( ) ( ) ( )nnny x x x a x x 而 且 可 以 證 明 ， 上 述 洛 朗 級(jí) 數(shù)中 一 定 有 無(wú) 窮 多 項(xiàng) 負(fù) 冪 項(xiàng) 。-洛 朗 級(jí) 數(shù) 解 2 Sturm-Liouville本 征 值 問(wèn) 題 一 .Sturm-Liouville 本 征 值 問(wèn) 題任 意 二 階 方 程 都 可 化 為 所謂 的 Sturm-Liouville 方 程 0 )( )()( yxqyxpxy . 0 )( )( )( yxyxyxk 此 方 程 含 有 參 數(shù) 。 根 據(jù) )(xk 的 特 點(diǎn) ,可 附 加 不 同 的邊 界 條 件 ， 使 之 構(gòu) 成 特 征 值 問(wèn)

20、 題 。 3. 若 , )()( bkak 則 可 附 加 周 期 邊 界 條 件 . )()( , )()( byaybyay Liouville 方 程 附 加 上 述 條 件 后 構(gòu) 成 Sturm-Liouville1. 若 ,0)( ak 則 可 附 加 齊 次 邊 界 條 件 ， 如 . 0|) ( axyy 2. 若 ,0)( ak 則 方 程 存 在 一 特 解 , 該 解 在 點(diǎn) a 處 有界 , 據(jù) Liouville 公 式 ,方 程 還 存 在 另 一 無(wú) 關(guān) 特 解 , . )( ay也 在 點(diǎn) a 處 有 界 。 因 此 可 附 加 自 然 邊 界 條 件本 征 值

21、 問(wèn) 題 。 二 本 征 值 問(wèn) 題 具 有 如 下 性 質(zhì) ：性 質(zhì) 1.若 )( ),( xkxk 均 連 續(xù) , )(x 連 續(xù) 或 在 邊 界 上 有一 階 極 點(diǎn) , 則 本 征 值 問(wèn) 題 有 無(wú) 窮 多 個(gè) 本 征 值及 對(duì) 應(yīng) 的 本 征 函 數(shù) 。性 質(zhì) 2.所 有 本 征 值 均 非 負(fù) 。性 質(zhì) 3.對(duì) 應(yīng) 于 不 同 本 征 值 的 本 征 函 數(shù)mn , mn yy ,在 區(qū) 間 , ba 上 加 權(quán) 正 交 , 即 ).( , 0 d )( )( )( nmxxxyxyba nm 在 前 述 三 種 邊 界 條 件 下 性 質(zhì) 3 結(jié) 論 都 成 立 。 性 質(zhì) 4.本 征 函 數(shù) 系 ),2 ,1 ,0( )( nxyn 是 完 備 系 列 ,即 任 一 具 有 分 段 連 續(xù) 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) 和 連 續(xù) 一 階導(dǎo) 數(shù) 的 函 數(shù) 可 按 此 函 數(shù) 系 展 開 為 一 個(gè) )(xf , )()( 0 n nn xyaxf其 中絕 對(duì) 收 斂 且 一 致 收 斂 的 級(jí) 數(shù) ： . d )( )( d )( )( )( 2 xxxy xxxfxya ba nba nn 按 本 征 函 數(shù) 系 展 開 的 級(jí) 數(shù) 稱 為 廣 義 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 。