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1、
《一元二次方程根與系數的關系》教案
教學目標
知識技能：
掌握一元二次方程根和系數的關系，能不解方程求出一元二次方程的兩根和與兩根積 .
能利用一元二次方程根與系數的關系來判斷已知兩數是否是原方程的根， 能靈活解決一
些簡單的有關一元二次方程的問題 .
過程與方法：
經過小組討論和從特殊到一般的數學認知過程的體會 .
教學重點
一元二次方程根與系數的關系 .
教學難點
韋達定理的論證
教學過程
一、復習 .
1、一元二次方程的一般式？
ax 2 bx c 0(a 0 ， b2 4a
2、c 0)
2、一元二次方程有實數根的條件是什么？ ( b2 4ac 0)
3、 b 2 4ac ＞ 0 ，即△＞ 0，△ =0，△＜ 0 根的情況如何？
反過來，若方程有兩個不相等的實數根，說明△怎么樣等？
4、一元二次方程的求根公式 .
二、引入 .
由求根公式可知，一元二次方程的根由系數 a 、 b 、 c 確定，換句話就是說根與系數有
關系，今天我們將進一步來學習并發(fā)現一元二次方程的根與系數到底還有沒有其他關系 .
思考填表 .
解出下列各方程的兩根
x1 和 x2 ，并計算 x1
x2 和 x1
x2 的值
3、 .
方程
x1
x2
x1 x2x1 x
x 2
3x
4
0
x2
5 x
1
0
6
6
6x2 x 2 0
9 x2
16
0
2x2
5x
1
0
x
Px
Q
0
三、新授
師：誰能發(fā)現兩根和、兩根積與系數的關系？
( 兩根和由一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數得到；而兩根和
是由常數項除以二次項系數所得
)
( 板書 ) 若 ax 2
bx c
0(a
0 ， b2
4ac 0)
4、， ( 假設成立 )
則 x1 x2
b ， x1 x2
c
a
a
1、論證韋達定理 .
師：剛才列舉了部分方程發(fā)現兩根和、兩根積與系數有這樣的關系，那么是不
是所有的一元二次方程根與系數都有關系呢？
證明：
當△＞ 0時，由求根根式得：
x1
b
b 2
4ac ，
2a
x2
b
b 2
4ac
2a
∴ x1
x2
b
b 2
4ac
5、
b
b2
4ac
b
2a
a
x1 x2
(
b) 2
(b 2
4ac)
4ac
c
4a 2
4a 2
a
當△ =0時， x1
x2
b
2a
即 b 2
4ac
x1
x2
b
b
b
2a
2a
a
x1
6、 x2
b
b
b2
4ac
c
2a
2a
4a2
4a2
a
師：假設成立，這就是一元二次方程根與系數的關系，也稱韋達定理，因為是
法國數學家韋達最先發(fā)現的 .
2、翻書 P47.( 讓學生劃下韋達定理
)
3、寫出方程
25x 2
10x
3
0
的兩根和與兩根積，并解方程檢驗其結果.
解：設方程
25x2
10 x
3
0的兩根為 x1 ， x2 . 則
x1
10
2
x2
5
7、
25
x1
3
3
x2
25
25
檢驗：由求根公式得
10
100
4
25
3
10
20
1
2
x
2
25
50
5
x1
1
3
， x2
5
5
x1 x2
1 3 2
5 5 5
x1 x2
3
25
課堂小結
今天我們學習了一元二次方程根與系數的關系， 剛才通過填空題我們小結了一下， 知道
這兩個關系我們可以用來求兩根和、 兩根積， 而且可以驗算所求的根是否正確， 更重要的是
利用韋達定理可以簡捷地解決許多有關一元二次方程的問題 .
《一元二次方程根與系數的關系》教案
