《二元一次方程組與一次函數(shù)》教學(xué)設(shè)計

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1、 《二元一次方程組與一次函數(shù)》教學(xué)設(shè)計 一．教學(xué)目標 (一)教學(xué)知識點 1. 二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系 . 2. 二元一次方程組的圖象解法 . (二)能力訓(xùn)練要求 1. 使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系 . 2. 通過學(xué)生的思考和操作，在力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系，引入二元一次方程組的圖象解法 .同時培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能力 . (三)情感與價值觀要求 通過學(xué)生的自主探索， 提示出方程和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系， 加強了新舊知識的聯(lián)系， 培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識， 激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 .

2、 二．教學(xué)重點 1. 二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系 . 2. 能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解 . 三．教學(xué)難點 方程和函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系即數(shù)形結(jié)合的意識和能力 . 四．教學(xué)方法 學(xué)生操作——自主探索的方法 學(xué)生通過自己操作和思考， 結(jié)合新舊知識的聯(lián)系， 自主探索出方程與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系， 以引入二元一次方程組的圖象解法， 同時也建立了“數(shù)”——二元一次方程組與“形”——函數(shù)的圖象(直線 )之間的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識和能力 . 五．教具準備 投影片兩張： 第一張：問題串 (記作7.4 A) ；

3、第二張：補充練習(xí) (記作7.4 B). 六．教學(xué)過程 Ⅰ.回憶舊知識，引入新課 ［師］舉例說明什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的 解？二元一次方程的解的個數(shù)如何？為什么？ ［生］例如 x+y=8 含有兩個未知數(shù) x,y 且未知數(shù)的項的次數(shù)是一 次，所以 x+y=8 是二元一次方程 . x 6 是適合方程 x+y=8 的一組未知數(shù)的值， 所以 x 6 是二元一 y 2 y 2 次方程 x+y=8 的一個解 . 我們不難發(fā)現(xiàn)適合 x+y=8 的一

4、組未知數(shù)的值不只 x 6 再例如 1 ; 2 ; y 2 x x x 3 ??都適合方程 x+y=8，所以說它們都是 x+y=8 的 y 7 y 6 y 5 解.x+y=8 有無數(shù)多個解，只要給出一個 x 的值，代入 x+y=8 中，就可得到一個 y 的值 .這樣一組一組的未知數(shù)的值都是 x+y=8 的解 . ［師］如果將方程 x+y=8 利用等式的性質(zhì)變形，就可得到 y=8 －x，同學(xué)們能聯(lián)想到什么？ ［生］y=8－x 是一個一次函數(shù)， x、y 在一次函數(shù)中不是未知數(shù)， 而是兩個變量， x

5、是自變量， y 是因變量 . ［師］這位同學(xué)回答得很好， 他能夠把所學(xué)的知識聯(lián)系起來， 這 正是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最可貴的地方之一 .我們說到函數(shù)，不得不想到函 數(shù)的圖象，因為函數(shù)的圖象可直觀地反映出 y 隨 x 變化的情況 .那么 函數(shù)的圖象如何畫出來的呢？ ［生］我們知道在函數(shù)中，給出自變量 x 的值，就對應(yīng)著一個 y 的值 .我們把 x 的值作為點的橫坐標，對應(yīng)的 y 的值作為這個點的縱 坐標 .在直角坐標系中描出它的對應(yīng)點，所有這些點組成的圖形叫做 該函數(shù)的圖象 . ［師］下面就請同學(xué)們畫出一次函數(shù) y=8－x 的圖象 .

6、 我們觀察 y=8－x 的圖象可知： (1) 滿足關(guān)系式 y=8－x 的 x、y 所對應(yīng)的點 (x,y)都在一次函數(shù) y=8 － x 的圖象上 . (2) 一次函數(shù) y=8－x 的圖象上的點 (x,y)都滿足關(guān)系式 y=8－x. (3) 滿足關(guān)系式 y=8－x 的 x、y 的值恰好就是二元一次方程 x+y=8 的解 因此我們猜想二元一次方程的解與相應(yīng)的一次函數(shù)圖象上的點 有無對應(yīng)關(guān)系呢 這節(jié)課我們主要就來研究二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系 . Ⅱ.講授講課 出示投影片 (7.4 A) (1)方程 x+y

7、=5 的解有多少個？寫出其中幾個？ (2) 在直角坐標系中分別描出以這些解為坐標的點，它們在一次函數(shù) y=5－x 的圖象上嗎？ (3)在一次函數(shù) y=5－x 的圖象上任取一點， 它的坐標適合方程 x+y=5 嗎？ (4)以方程 x+y=5 的解為坐標的所有點組成的圖象與一次函數(shù) y=5－x的圖象相同嗎？ ［師］對于以上幾個問題分組討論， 并歸納出二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系 . ［ 生 ］ (1) 方 程 x+y=5 的 解 有 無 數(shù) 個 . 例 如 x 1, x 2, x 3 x 0

8、, x 1 ?? y 4; y 3; y 2; y 5; y 6 (2) 我們不妨先畫出 y=5－x 的圖象 . 在上面直角坐標系中描出以 x+y=5 的解為坐標的點，我們很容易發(fā)現(xiàn)這些點都在一次函數(shù) y=5－x 的圖象上 . (3) 在函數(shù) y=5 －x 的圖象上任取一點，它的坐標一定適合方程 x+y=5. (4) 由(2) 、(3) 可知以 x+y=5 的解為坐標的所有點組成的圖象與一次函數(shù) y=5－x 的圖象是相同的 . 綜上所述，二元一次方程和一次函數(shù)的圖象有如下關(guān)系： (1) 以

9、二元一次方程的解為坐標的點都在相應(yīng)的函數(shù)圖象上 . (2) 反過來，一次函數(shù)圖象上的點的坐標都適合相應(yīng)的二元一次 方程 . ［做一做］在同一坐標系內(nèi)分別畫出一次函數(shù)y=5－x 和 y=2x －1 的圖象，這兩個圖象有交點嗎？交點的坐標與方程組 x y 5 的 2x y 1 解有何關(guān)系？ ［師］ 同學(xué)們以同桌為單位，一個同學(xué)在同一坐標系中畫出一次函數(shù) y=5－x 和 y=2x－1 的圖象，并觀察得出兩個函數(shù)圖象交點的坐標 . x y 5 2x y 1 ［生］一次函數(shù) y =5－x 和 y=2x－ 1 的圖象如圖所示：

10、 所以一次函數(shù) y=5－x 與 y=2x－1 的圖象的交點是 P(2，3). ［生］根據(jù)二元一次方程和一次函數(shù)圖象的關(guān)系可知： P(2,3) 在 一次函數(shù) y=5－x 的圖象上，所以 x 2 是二元一次方程 x+y=5 的一 y 3 2 也 個解；同時 P(2,3) 也是一次函數(shù) y=2x－1 的圖象上的點，所以 x y 3 是二元一次方程 2x－y=1 的一個解 .根據(jù)二元一次方程組的解的定義 可知 x 2 是 x y 5 的解

11、 y 32x y 1 x y 5 得到的解也是 ［生］老師，用消元法解二元一次方程組 2x y 1 x 2 . y 3 ［師］因此，我們又有了解二元一次方程組的新的方法——圖象法.下面我們來看一個例題 . x 2y 2, ［例 1］用作圖象的方法解方程得 2x y 2. 分析：在同一坐標中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象 .觀察圖象 的交點便可得出方程的解 . 解：由 x－2y=－2 可得 y= 1 x+1, 2 同理，由 2x－y=2 可得 y=2x－2,

12、 在同一坐標系內(nèi)作出一次函數(shù) y= 1 x+1 的圖象 l1 和 y=2x－2 的 2 圖象 l2.如下圖 . 觀察圖象，得 l1,l2 的交點為 P(2， 2). 所以方程組 x 2y 2 2 的解是 x 2 2x y y 2 Ⅲ.隨堂練習(xí) 1. 課本 P136 (1) 用作圖解的方法解方程組解：由 2x+y=4 得 y=4－2x  2 x y 4 . 2 x 3y 12 同理，由 2x－3y=12 得 y= 2 x－4, 3 在同一坐標系中作函數(shù) y=

13、4－2x 的圖象 l1 和函數(shù) y= 2 x－4 的圖 3 象 l2,如下圖所示： 觀察圖象，得 l1,l2 的交點 P(3，－ 2) 所以方程組 2x y 4, 的解為 x 3, 2x 3 y 12 y 2. (2) 下圖中的兩直線 l1,l2 的交點坐標可以看作方程組 _________的 解 . 解：由圖象可知 l1 過點 (1，3)、(0，1).設(shè) l1 是函數(shù) y=k1x+b1 的圖象，根據(jù)題意，得 k1 b1 3 b1 1 解得 k1=2, b1 =1. 所以 l1 是函數(shù) y=2x+1 的

14、圖象 . l1 同理可得 l2 是函數(shù) y=4－x 的圖象 .所以 l1、l2 交點的坐標可看做二元一次方程組 x y 4 的解 . 2x y 1 2. 補充練習(xí) (出示投影片7.4 B) 如圖，l 甲 ，l 乙 分別表示甲走路與乙騎自行車 (在同一條路上 )行走的路程 s 與時間 t 的關(guān)系觀察圖象并回答下列問題： (1)乙出發(fā)時，與甲相距 _________千米； (2) 走了一段路程后，乙的自行車發(fā)生故障，停下來修理，修車的時間為 [C

15、D#2]時； (3)乙從出發(fā)起，經(jīng)過 _________時與甲相遇； (4)甲行走的路程 s(千米 )與時間 t(時)之間的函數(shù)關(guān)系式是 _________. (5)如果乙的自行車不出現(xiàn)故障， 那么乙出發(fā)后經(jīng)過 _________時與甲 相遇，相遇處離乙的出發(fā)點 _________千米，并在圖中標出其相遇點 . 解：由圖示得： (1)10 千米 (2)1 小時 (3)3 小時 (4) 設(shè)甲行走的路程 s 與時間 t 之間的函數(shù)關(guān)系為 S=kt+b(t≥0). 由 于此函數(shù)的圖象過 (0，10) 和(3，22.5) ，根據(jù)題意可得 b=10，

16、k= 25 . 6 所以甲行走的路程 s 與時間 t 之間的函數(shù)關(guān)系為 s= 25 t+10( t≥0) 6 (5) 如果乙不出現(xiàn)故障， 乙行走的路程 s 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式為 s=15 t(t≥0).在同一坐標系中畫出甲走路和乙騎自行車行走的路程 s與時間 t 的關(guān)系，如下圖： 由圖可知乙出發(fā)后經(jīng)過 12 小時與甲相遇，相遇時離乙的出發(fā)點為 12 2 ( 180 2 13 12 ， 180 )點. ( ) ) ≈13.9 千米 .相遇點為圖中 P( 13 13 13 13 Ⅳ.

17、課時小結(jié) 本節(jié)課我們通過操作和思考， 揭示了二元一次方程和函數(shù)圖象之 間的對應(yīng)關(guān)系， 從而引出了二元一次方程組的圖象解法， 同時也建立了“數(shù)”——二元一次方程組與“形”——函數(shù)圖象之間的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能力 .其實，在我們平時解二元一 次方程組時，大多還用的消元法 .但對于我們將來要學(xué)習(xí)的高次方程、無理方程等的求解，畫圖象的方法更具一般性 .無疑這節(jié)的學(xué)習(xí)為我們的后繼學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ) .因此這節(jié)課用圖象法求二元一次方程組的解必須理解和掌握 . Ⅴ.課后作業(yè) 1. 課本 P136 、習(xí)題 7.4 2. 收集有關(guān)科學(xué)家

18、和方程的故事 . Ⅵ.活動與挖究 有一組數(shù)同時適合方程 x+y=2 和 x+y=5 嗎？一次函數(shù) y=2－x， y=5－x 的圖象之間有何關(guān)系？你能從中“悟”出些什么？ 過程：學(xué)生經(jīng)過嘗試是很容易發(fā)現(xiàn) x+y=2 和 x+y=5 時沒有一組 數(shù)同時適合這兩個二元一次方程的 . 即 x y 2 這個二元一次方程組 x y 5 無解 . 對于一次函數(shù) y=2－x，y=5－x 的圖象可以讓學(xué)生作出它們的圖 象 (下圖 )觀察可以發(fā)現(xiàn)它們的圖象 (直線 )是互相平行的，即它們無公共點 . 結(jié)果：我們從中可

19、以“悟”出：方程組的解與函數(shù)圖象交點之間的 關(guān)系：當函數(shù)的圖象有交點時，說明相應(yīng)的二元一次方程組有解；當 函數(shù)的圖象 (直線 )平行即無交點時， 說明相應(yīng)的二元一次方程組無解 . 反之也成立 . 七．板書設(shè)計 7.4 二元一次方程與一次函數(shù) 一、二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系 (1)以二元一次方程的解為坐標的點在相應(yīng)的一次函數(shù)圖象上 . (2)一次函數(shù)圖象上的點的坐標是相應(yīng)的二元一次方程的解 . 二、用圖象法解二元一次方程組 ［做一做］ ［例題］ 三、隨堂練習(xí) (學(xué)生板演 ) 四、課時小結(jié)