《《數(shù)學(xué)物理方法》第四章》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《數(shù)學(xué)物理方法》第四章（56頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 四 章 解 析 函 數(shù)的 冪 級 數(shù) 表 示 4.1 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) 定 義 復(fù) 數(shù) 項 無 窮 級 數(shù) 設(shè) 有 復(fù) 數(shù) 列 其 中 則 稱 為 復(fù) 數(shù) 項 無 窮 級 數(shù) . 前 n項 和 稱 為 級 數(shù) 的 部 分 和 . nw , 0,1,2, ,n n nw u iv n 0 1 20 n nn w w w w w 0 1 1n ns w w w 若 部 分 和 復(fù) 數(shù) 列 存 在 有 限 極 限 ， 則 稱 無 窮 級 數(shù) 收 斂 ， 而 這 極 限 值 稱 為 該 級 數(shù) 的 和 , 即 記 作級 數(shù) 收 斂 ns0 nn w lim nn s s 0
2、nns w級 數(shù) 發(fā) 散 ns0 nn w若 部 分 和 數(shù) 列 無 有 限 的 極 限 ， 則 稱級 數(shù) 發(fā) 散 lim 0nn w 收 斂 的 必 要 條 件 是0 nn w級 數(shù) 考 察 級 數(shù) 1 1 i2nn n 的 斂 散 性 . 1 1n n1 12nn 1 1n n 解 ： 由 定 理 知 ， 只 需 討 論 級 數(shù) 的 實 部 級 數(shù) 和 虛 部 級 數(shù)的 斂 散 性 . 因 為 級 數(shù)發(fā) 散 ， 故 原 級 數(shù) 發(fā) 散 . 絕 對 收 斂 若 級 數(shù) 0 nn w 0 nn w收 斂 ， 稱 原 級 數(shù)為 絕 對 收 斂 級 數(shù) . 0 nn w 0 nn w0 nn w條
3、 件 收 斂 若 復(fù) 數(shù) 項 級 數(shù) 收 斂 ， 但 級 數(shù)發(fā) 散 ， 則 稱 原 級 數(shù) 為 條 件 收 斂 級 數(shù) . 0 nn w 0 nn w說 明 ： 級數(shù)的各項均為非負實數(shù)，因此為正項實級數(shù)，故可按正項級數(shù)的收斂性判別法則，如比較判別法，比值判別法或根式判別法等判斷其收斂性. 0 nn w0 nn w 若 級 數(shù) 收 斂 ， 則 級 數(shù) 必 收 斂 ；即 為 調(diào) 和 級 數(shù) ， 故 發(fā) 散 . 0 0( 1) 1| i|nn nn n 是 收 斂 的 ， 但 由 于0 0( 1) ( 1)i in nn nn n 例 如 級 數(shù)但 反 之 不 一 定 成 立 . n n nw u
4、iv 0 | |,nn u另 外 ， 若 有 ， 則 2 20 0 0 0 0| | | | | |+ | |n n n n n nn n n n nv w u v u v 因 此 又 可 以 得 到 下 面 的 定 理 : 0 nn v0 nn u0 nn w級 數(shù) 絕 對 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 是 實 數(shù) 項 級 數(shù)與 虛 數(shù) 項 級 數(shù)都 絕 對 收 斂 . 絕 對 收 斂 級 數(shù) 的 各 項 可 以 重 排 順 序 ， 而 不 改變 其 絕 對 收 斂 性 與 和 . 定 理 S L SL 0 0 0 0( )( ) nn n k n kn n n k 0 0, ,n n
5、n nS L 若 已 知 兩 絕 對 收 斂 級 數(shù) 則 兩 級 數(shù) 的 柯 西 乘 積 也 絕 對 收 斂 ， 且 收 斂 于 ： 例 判 定 下 列 級 數(shù) 的 斂 散 性 ， 若 收 斂 ， 是 條 件 收 斂 還是 絕 對 收 斂 ？ 0 ( 1) 12n nn in 1 ( 1)nn n 1 12nn1 ( 1)nn n 解 ： 因 ，都 收 斂 ， 故 原 級 數(shù) 收 斂 ， 但 因為 條 件 收 斂 ， 所 以 原 級 數(shù) 為 條 件 收 斂 . 是 定 義 在 區(qū) 域 D上 的 復(fù) 變 函 數(shù) 序 列 ， 則 稱 表 達 式二 、 復(fù) 變 函 數(shù) 項 級 數(shù)定 義 復(fù) 變 函 數(shù) 項 級 數(shù)設(shè) ( ),( 0,1,2,.)nf z n 0 1 20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nn f z f z f z f z f z 為 復(fù) 變 函 數(shù) 項 級 數(shù) .該 級 數(shù) 前 n項 和 0( ) ( )nn kks z f z 稱 為 級 數(shù) 的 部 分 和 . 一 致 收 斂 4.2 冪 級 數(shù) 與 解 析 函 數(shù)一 、 冪 級 數(shù) 概 念 20 1 20 n nn nn c z c c z c z c z 或 (2) 另 一 部 分 用 反 證 法 證 明 收 斂 圓 收 斂 半 徑 三 、 收 斂 半 徑 的 求 法 0z z R C
《數(shù)學(xué)物理方法》第四章
