高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 4 用向量討論垂直與平行(一)課件 北師大版選修2-1.ppt

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第二章 空間向量與立體幾何,4 用向量討論垂直與平行(一),1.理解直線的方向向量與平面的法向量，并能運用它們證明平行問題. 2.會用向量語言表述線線、線面、面面的平行關(guān)系.,,學(xué)習(xí)目標,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 直線的方向向量和平面的法向量,,答案,非零,方向向量,知識點二 空間平行關(guān)系的向量表示 (1)線線平行 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，則l∥m?a∥b?a＝λb? . (2)線面平行 設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l∥α?a⊥u?au＝0? . (3)面面平行 設(shè)平面α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?u＝λv? .,,答案,返回,a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R),a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R),a1a2＋b1b2＋c1c2＝0,題型探究 重點突破,題型一 利用方向向量和法向量判定線面、面面的位置關(guān)系 例1 根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的線、面位置關(guān)系： (1)直線l1與l2的方向向量分別是a＝(2,3,－1)，b＝(－6,－9,3)； 解 ∵a＝(2,3,－1)，b＝(－6,－9,3)，,,解析答案,(2)直線l1與l2的方向向量分別是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)； 解 ∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)， ∴ab≠0且a≠kb(k∈R)， ∴a，b既不共線也不垂直，即l1與l2相交或異面.,,解析答案,反思與感悟,∴uv＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β. (4)平面α與β的法向量分別是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)； 解 ∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴uv≠0且u≠kv(k∈R)， ∴u與v既不共線也不垂直，即α和β相交但不垂直. (5)直線l的方向向量，平面α的法向量分別是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3). 解 ∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，,,(1)兩直線的方向向量共線時，兩直線平行；否則兩直線相交或異面. (2)直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線在平面內(nèi)或線面平行；否則直線與平面相交但不垂直. (3)兩個平面的法向量共線(垂直)時，兩平面平行(垂直)；否則兩平面相交但不垂直.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 設(shè)平面α的法向量為(1,3,－2)，平面β的法向量為(－2,－6,k)，若α∥β，則k＝_____. 解析 ∵α∥β，∴(1,3,－2)＝λ(－2,－6,k)，,4,,解析答案,反思與感悟,題型二 求平面的法向量,,反思與感悟,設(shè)n＝(x，y，z)為平面SDC的法向量，,取x＝2，則y＝－1，z＝1，∴平面SDC的一個法向量為(2,－1,1).,反思與感悟,,求平面法向量的方法與步驟：,(2)設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)；,(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定一個坐標為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個法向量.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一個法向量. 解 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，,∴平面ABC的一個法向量為n＝(1,1,1).,,解析答案,反思與感悟,題型三 利用空間向量證明平行關(guān)系 例3 在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點.證明：PA∥平面EDB.,,解析答案,反思與感悟,證明 如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設(shè)PD＝DC＝a. 方法一 連接AC，交BD于點G，連接EG，,因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，,而EG平面EDB，且PA?平面EDB， 所以PA∥平面EDB.,,解析答案,反思與感悟,方法二 設(shè)平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，,,反思與感悟,所以PA∥平面BDE.,反思與感悟,,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點.判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD.,,解析答案,解 ∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90，AB＝1，AD＝2， 如圖，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，,則A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，D(0,2,0). 不妨令P(0,0,t)，,設(shè)平面PFD的法向量為n＝(x，y，z)，,設(shè)點G的坐標為(0,0，m)，,,利用向量法判斷直線與平面平行,易錯點,,解析答案,返回,例4 已知u是平面α的一個法向量，a是直線l的一個方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，則l與α的位置關(guān)系是________.,錯解 因為ua＝(3,1,2)(－2,2,2) ＝3(－2)＋12＋22＝0， 所以u⊥a，所以l∥α. 錯解分析 錯誤的根本原因是忽視了直線與平面平行和向量與平面平行的區(qū)別.實際上，本例中由向量u⊥a可得lα或l∥α. 正解 因為ua＝(3,1,2)(－2,2,2) ＝3(－2)＋12＋22＝0. 所以u⊥a，所以lα或l∥α. 答案 lα或l∥α,,返回,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量.若l1∥l2，則( ),D,1,2,3,4,5,,解析答案,2.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,－3,4)，B(9,2,1)，則線段AB與坐標平面( ) A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交,C,1,2,3,4,5,,解析答案,3.若A(1,0,－1)，B(2,1,2)在直線l上，則直線l的一個方向向量是( ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 解析 ∵A，B在直線l上，,A,1,2,3,4,5,,解析答案,4.設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為b，若ab＝0，則( ) A.l∥α B.lα C.l⊥α D.lα或l∥α 解析 ∵ab＝0，∴l(xiāng)α或l∥α.,D,1,2,3,4,5,,解析答案,5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是______.(填序號),解析 ∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，,②③,,課堂小結(jié),,返回,1.利用向量解決立體幾何問題的“三步曲”： (1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)進行向量運算，研究點、直線、平面之間的關(guān)系(距離和夾角等)；(3)根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題. 2.證明線面平行問題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系；也可以轉(zhuǎn)化為線線平行，利用向量共線來證明.,