高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 8.5 曲線與方程課件(理).ppt

第五節(jié) 曲線與方程,【知識梳理】 1.曲線與方程的定義 一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立如下的對應(yīng)關(guān)系:,這個方程,曲線上,那么,這個方程叫做_的方程;這條曲線叫做_ 的曲線.,曲線,方程,2.求軌跡方程的基本步驟,任意,x,y,所求方程,【特別提醒】 1.曲線的交點與方程組解的關(guān)系 (1)兩條曲線交點的坐標(biāo)是兩個曲線方程的公共解,即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解. (2)方程組有幾組解,兩條曲線就有幾個交點;方程組無解,兩條曲線就沒有交點.,2.求曲線方程步驟的兩點說明 (1)題中涉及點的坐標(biāo)或方程時,事實上已存在了坐標(biāo)系,解題時只需從第二步設(shè)點開始即可. (2)對方程化簡時只要前后方程解集相同,驗證一步可以省略,必要時可說明x,y的取值范圍.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-1P37練習(xí)T2改編)已知方程ax2+by2=2的曲線 經(jīng)過點 和B(1,1),則曲線方程為 .,【解析】由題意得 解得 所以曲線方程為 即 答案:,2.(選修2-1P37習(xí)題2.1A組T2改編)和點O(0,0),A(c,0)距離的平方和為常數(shù)c的點的軌跡方程為 .,【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為(x,y), 由題意知( )2+( )2=c, 即x2+y2+(x-c)2+y2=c, 即2x2+2y2-2cx+c2-c=0. 答案:2x2+2y2-2cx+c2-c=0,感悟考題 試一試 3.(2016宜昌模擬)方程x= 所表示的曲線是 ( ) A.雙曲線的一部分 B.橢圓的一部分 C.圓的一部分 D.直線的一部分,【解析】選B.x= 兩邊平方,可變?yōu)閤2+4y2=1 (x0),表示的曲線為橢圓的一部分.,4.(2016天水模擬)點P是以F1,F2為焦點的橢圓上一點,過焦點作F1PF2外角平分線的垂線,垂足為M,則點M的軌跡是 ( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線,【解析】選A.如圖,延長F2M交F1P的延長線于點N. 因為|PF2|=|PN|,所以|F1N|=2a.連接OM,則在NF1F2 中,OM為中位線,則|OM|= |F1N|=a.所以點M的軌跡是 圓.,5.(2016大連模擬)在ABC中,BC=4,A點為動點,滿足sinC+sinB=2sinA,若以BC為x軸,BC的中點為原點,建立平面直角坐標(biāo)系,則A點的軌跡方程為 .,【解析】由正弦定理得:|AB|+|AC|=2|BC|,即|AB|+|AC|=84. 故A點的軌跡為橢圓,則橢圓方程為 =1, 又因為A,B,C三點不能共線,所以A點的軌跡方程為 =1(y0). 答案: =1(y0),考向一 定義法求點的軌跡方程 【典例1】(1)(2016北京模擬)ABC的頂點A(-5,0), B(5,0),ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點C的軌 跡方程是 .,(2)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,則圓心P的軌跡方程為 .,【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)題設(shè)條件,尋找動點C與兩定點A,B距離的差滿足的等量關(guān)系|CA|-|CB|=6,由雙曲線的定義得出所求軌跡為雙曲線的一部分,再求其方程. (2)可依據(jù)兩圓的位置關(guān)系,得出圓心距與兩圓半徑的和、差的絕對值之間的關(guān)系,進而得出軌跡方程.,【規(guī)范解答】(1)如圖,|AD|=|AE|=8, |BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根據(jù)雙曲線的定義,所求軌跡是以A,B為焦點,實軸長為 6的雙曲線的右支,方程為 =1(x3). 答案: =1(x3),(2)因為圓P與圓M外切且與圓N內(nèi)切, |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4, 由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左右焦點,長半軸 長為2,短半軸長為 的橢圓(左頂點除外),其方程為 =1(x-2). 答案: =1(x-2),【母題變式】 1.若本例(2)中的條件“動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動圓P與圓M、圓N都外切”,則圓心P的軌跡方程為 .,【解析】因為圓M與圓N相內(nèi)切,設(shè)其切點為A,又因為動圓P與圓M、圓N都外切,所以動圓P的圓心在MN的連線上,且經(jīng)過點A,因此動點P的軌跡是射線AM的反向延長線(不含切點A),其方程為:y=0(x-2). 答案:y=0(x-2),2.若本例(2)中的條件“動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動圓P與圓M、圓N都內(nèi)切”,則圓心P的軌跡方程為 .,【解析】因為圓M與圓N相內(nèi)切,設(shè)其切點為A,又因為動圓P與圓M、圓N都內(nèi)切,所以動圓P的圓心在MN的連線上,且在點N的右側(cè),因此動點P的軌跡是射線NA的反向延長線(不含圓心N),其方程為:y=0(x1). 答案:y=0(x1),【易錯警示】解答本例(1)會出現(xiàn)以下錯誤: 忽視ABC的內(nèi)切圓與邊AB的切點為(3,0)這一隱含條件,從而造成找不到解題的突破口;再者是忽視頂點C始終在x=3的右側(cè),從而得出是整個雙曲線而錯.,【規(guī)律方法】定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵 (1)適用條件 動點與定點、定直線之間的某些關(guān)系滿足直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義.,(2)關(guān)鍵 定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是由題意找到動點所適合的常見曲線的幾何特征.,【變式訓(xùn)練】(2016長春模擬)設(shè)圓(x+1)2+y2=25的 圓心為C,A(1,0)是圓內(nèi)一定點,Q為圓周上任一點.線段 AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M,則M的軌跡方程為 ( ),【解析】選D.因為M為AQ垂直平分線上一點,則|AM|= |MQ|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的軌跡為 橢圓.所以a= ,c=1,則b2=a2-c2= ,所以橢圓的方程 為 =1.,【加固訓(xùn)練】 1.若動點P到定點F(1,-1)的距離與到直線l:x-1=0的距離相等,則動點P的軌跡是 ( ) A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線,【解析】選D.因為定點F(1,-1)在直線l:x-1=0上,所以軌跡為過F(1,-1)與直線l垂直的一條直線.,2.(2016太原模擬)在ABC中,| |=4,ABC的內(nèi)切 圓切BC于點D,且 若以BC的中點為原點, 中垂線為y軸建立坐標(biāo)系,則頂點A的軌跡方程為 .,【解析】依題意,設(shè)點E,F分別為AB,AC邊上的切點.則 |BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.所以|AB|-|AC|= 所以點A的軌跡為以B,C為焦點的雙曲線的右支(y0), 且a= ,c=2,所以b= ,所以頂點A的軌跡方程為 答案:,考向二 相關(guān)點(代入)法、參數(shù)法求軌跡方程 【典例2】(1)P是橢圓 =1上的任意一點,F1,F2是 它的兩個焦點,O為坐標(biāo)原點, 則動點Q的 軌跡方程是 .,(2)設(shè)A1,A2是橢圓 =1長軸的兩個端點,P1,P2是垂 直于A1A2的弦的端點,則直線A1P1與A2P2的交點M的軌跡 方程是 .,【解題導(dǎo)引】(1)先設(shè)Q點的坐標(biāo),再依據(jù)已知條件,用點Q的坐標(biāo)來表示點P,利用點P在橢圓上即可得出軌跡方程. (2)注意到點M既在直線A1P1上又在直線A2P2上,消去兩直線方程中的參數(shù)即可得出點M的軌跡方程.,【規(guī)范解答】(1)由 又 設(shè)Q(x,y),則 = ,即P點坐標(biāo)為 又P在橢圓上,則有 =1,即 =1. 答案: =1,(2)由已知,A1(-3,0),A2(3,0).設(shè)P1(x1,y1), 則P2(x1,-y1),交點M(x,y), 則由A1,P1,M三點共線,得 又A2,P2,M三點共線,得,得 又 =1,即 從而 即 =1. 答案: =1,【規(guī)律方法】 1.相關(guān)點(代入)法求軌跡方程的適用條件 兩動點間存在關(guān)聯(lián)或相關(guān)關(guān)系,且其中的一動點存在確定的運動規(guī)律.,2.參數(shù)法求軌跡方程的適用條件 動點所滿足的條件不易得出或不易轉(zhuǎn)化為等式,也沒有明顯的相關(guān)點,但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)過分析可發(fā)現(xiàn))這個動點的運動與某一個量或某兩個變量(角、斜率、比值、截距等)有關(guān).,【變式訓(xùn)練】已知點P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則Q點的軌跡方程是 ( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0,【解析】選D.設(shè)Q(x,y),則可得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.,【加固訓(xùn)練】 1.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,A(1,0),B(2,2), 若點C滿足 其中tR,則點C的軌跡 方程是 .,【解析】設(shè)C(x,y),則 所以 消去參數(shù)t得點C的軌跡方程為y=2x-2. 答案:y=2x-2,2.已知實數(shù)m,n滿足m2+n2=1,求P(m+n,m-n)的軌跡方程. 【解析】令 得 又因為m2+n2=1,得 x2+y2=2.,考向三 直接法求軌跡方程 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:已知動點滿足的關(guān)系式求軌跡方程(或判斷 軌跡) 【典例3】(2016成都模擬)動點P與 兩定點A(a,0),B(-a,0)連線的斜率的 乘積為k,試求點P的軌跡方程,并討論軌跡是什么曲線.,【解題導(dǎo)引】可依據(jù)連線的斜率乘積為k,直接得出點P的軌跡方程,通過分類討論得出軌跡曲線.,【規(guī)范解答】設(shè)點P(x,y),則 由題意得 =k,即kx2-y2=ka2. 所以點P的軌跡方程為kx2-y2=ka2(xa).(*) (1)當(dāng)k=0時,(*)式即y=0,點P的軌跡是直線AB(除去A,B兩點).,(2)當(dāng)k0時,(*)式即 =1, 若k0,點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去A,B兩點). 若k0,(*)式可化為 =1. 當(dāng)-1k0時,點P的軌跡是焦點在x軸上的橢圓(除去A,B兩點);,當(dāng)k=-1時,(*)式即x2+y2=a2,點P的軌跡是以原點為圓心,|a|為半徑的圓(除去A,B兩點); 當(dāng)k-1時,點P的軌跡是焦點在y軸上的橢圓(除去A,B兩點).,【易錯警示】解答本例會出現(xiàn)以下錯誤 在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線類型時,僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷;由于已知條件中,直線PA,PB的斜率存在,因此軌跡曲線應(yīng)除去A,B兩點.,命題方向2:無明確等量關(guān)系求軌跡方程 【典例4】設(shè)動圓M與y軸相切且與圓C:x2+y2-2x=0相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為 ( ) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=4x或y=0(x0) D.y2=4x或y=0,【解題導(dǎo)引】可依據(jù)動圓M與y軸相切且與圓C相外切得出等式,進而得出圓心的軌跡方程.,【規(guī)范解答】選C.設(shè)動圓圓心M(x,y),半徑為R,根據(jù)已知條件得: R=|x|=|MC|-1即|x|= x0時,(x+1)2=(x-1)2+y2,即y2=4x; x0時,(-x+1)2=(x-1)2+y2,即y=0. 綜合得,圓心M的軌跡方程為y2=4x或y=0(x0).,【技法感悟】 1.由動點滿足的關(guān)系式求軌跡方程的步驟 (1)設(shè)動點的坐標(biāo). (2)將已知關(guān)系坐標(biāo)化. (3)化簡并注明范圍.,2.無明確等量關(guān)系求軌跡方程的關(guān)鍵 關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上找到與動點相關(guān)的代數(shù)或幾何等量關(guān)系.,【題組通關(guān)】 1.(2016南寧模擬)動點P到直線x=1的距離與它到點A(4,0)的距離之比為2,則P點的軌跡是 ( ) A.中心在原點的橢圓 B.中心在(5,0)的橢圓 C.中心在原點的雙曲線 D.中心在(5,0)的雙曲線,【解析】選B.設(shè)P(x,y),根據(jù)題意, 有 化簡可得 =1,是中心在(5,0)的橢圓.,2.(2016蘭州模擬)設(shè)點A為圓(x-1)2+y2=1上的動點, PA是圓的切線,且|PA|=1,則P點的軌跡方程為 ( ) A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4 C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2,【解析】選D.如圖,設(shè)P(x,y),圓心為M(1,0).連接MA,PM, 則MAPA,且|MA|=1, 又因為|PA|=1, 所以|PM|= 即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2.,3.(2016咸陽模擬)已知兩定點A(1,1),B(-1,-1),動 點P(x,y)滿足 則點P的軌跡是 ( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線,【解析】選B. =(1-x,1-y), =(-1-x,-1-y),所以 =(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x2+y2-2.由已知x2+ y2-2= ,即 =1,所以點P的軌跡為橢圓.,4.(2016廣州模擬)已知點A(-2,0),B(3,0),動點P(x, y),滿足 =x2-6,則動點P的軌跡是 .,【解析】因為動點P(x,y)滿足 =x2-6,所以(-2- x,-y)(3-x,-y)=x2-6,所以動點P的軌跡方程是y2=x, 即軌跡為拋物線. 答案:拋物線,