高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 8.6.2 直線與橢圓的綜合問題課件(理).ppt

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第二課時 直線與橢圓的綜合問題,考向一 橢圓與向量的綜合問題 【典例1】(1)(2016安慶模擬)P為橢圓 =1上 任意一點,EF為圓N:(x-1)2+y2=4的任意一條直徑,則 的取值范圍是 ( ) A.[0,15] B.[5,15] C.[5,21] D.(5,21),(2)已知橢圓C: =1的左、右焦點分別為F1,F2,橢 圓C上的點A滿足AF2⊥F1F2,若點P是橢圓C上的動點,則 的最大值為 ( ),【解題導引】(1)利用 化簡可知 通過a-c≤| |≤a+c,計算即得結(jié)論. (2)由已知求出點A的坐標并設(shè)出點P的坐標,然后將 用坐標表示,根據(jù)點P坐標的范圍即可求出 的最大值.,【規(guī)范解答】(1)選C. 因為a-c≤| |≤a+c,即3≤| |≤5, 所以 的范圍是[5,21].,(2)選B.由橢圓方程知c= =1, 所以F1(-1,0),F2(1,0). 因為橢圓C上點A滿足AF2⊥F1F2,則可設(shè)A(1,y0),代入橢 圓方程可得 ,所以y0= .,設(shè)P(x1,y1),則 =(x1+1,y1), =(0,y0), 所以 =y1y0. 因為點P是橢圓C上的動點, 所以- ≤y1≤ , 的最大值為,【規(guī)律方法】解決橢圓中與向量有關(guān)問題的方法 (1)設(shè)出動點坐標,求出已知點的坐標. (2)寫出與題設(shè)有關(guān)的向量. (3)利用向量的有關(guān)知識解決與橢圓、直線有關(guān)的問題. (4)將向量問題轉(zhuǎn)化為實際問題.,【變式訓練】 1.(2016福州模擬)橢圓 =1的左、右焦點分別 為F1,F2,P是橢圓上任一點,則 的取值范圍是 ( ) A.(0,4] B.(0,3] C.[3,4) D.[3,4],【解析】選D.因為橢圓 =1的左、右焦點分別為 F1(-1,0),F2(1,0),設(shè)P(2cosθ, sinθ),θ∈R.所 以 =(-1-2cosθ,- sinθ), =(1-2cosθ, - sinθ),所以,因為θ∈R,cos2θ∈[0,1],4-cos2θ∈[3,4], 所以 的取值范圍是[3,4].,2.(2016莆田模擬)如圖,點A,B分別是橢圓E: =1(ab0)的左、右頂點,圓B:(x-2)2+y2=9經(jīng)過橢圓E 的左焦點F1. (1)求橢圓E的方程. (2)過點A作直線l與y軸交于點Q,與橢圓E交于點P(異于 A).求 的取值范圍.,【解析】(1)因為以橢圓E的右頂點B為圓心的圓B方程 為:(x-2)2+y2=9,所以圓B的圓心坐標的橫坐標即為a的 值,所以a=2,在圓B:(x-2)2+y2=9中令y=0,得F1(-1,0), 所以b2=4-1=3,所以橢圓E的方程為 =1.,(2)①當直線l為x軸時,顯然有 =0; ②設(shè)直線AP:x=ty-2,并與橢圓E的方程聯(lián)立, 消去x可得:(4+3t2)y2-12ty=0, 由橢圓E的方程可知:A(-2,0),,由根與系數(shù)的關(guān)系可得: 在直線AP:x=ty-2中令x=0,得yQ= , 所以 綜上所述, 的取值范圍為[0,2).,【加固訓練】 1.已知橢圓的右焦點F(m,0),左、右準線分別為l1:x= -m-1,l2:x=m+1,且l1,l2分別與直線y=x相交于A,B兩點. (1)若離心率為 ,求橢圓的方程. (2)當 7時,求橢圓離心率的取值范圍.,【解析】(1)由已知,得c=m, =m+1, 從而a2=m(m+1),b2=m. 由e= ,得b=c,從而m=1.故a= ,b=1, 故所求橢圓方程為 +y2=1.,(2)易得A(-m-1,-m-1),B(m+1,m+1), 從而 =(2m+1,m+1), =(1,m+1), 故 =2m+1+(m+1)2=m2+4m+27, 得0m1.,由此離心率e= 故所求的離心率取值范圍為,2.已知橢圓 =1(ab0),F1,F2分別為橢圓的左、 右焦點,A為橢圓的上頂點,直線AF2交橢圓于另一點B. (1)若∠F1AB=90,求橢圓的離心率. (2)若 求橢圓的方程.,【解析】(1)若∠F1AB=90,則△AOF2為等腰直角三角 形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a= c,e=,(2)由題知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c= , 設(shè)B(x,y).由 得(c,-b)=2(x-c,y),解得 即 將B點坐標代入 =1,得 =1,即 =1,解得a2=3c2①.又由,=(-c,-b) 得b2-c2=1,即有a2-2c2=1②.由 ①②解得c2=1,a2=3,從而有b2=2.所以橢圓的方程為,考向二 直線與橢圓中的參數(shù)問題 【典例2】(2014全國卷Ⅱ)設(shè)F1,F2 分別是橢圓C: =1(a＞b＞0)的 左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂 直,直線MF1與C的另一個交點為N.,(1)若直線MN的斜率為 ,求C的離心率. (2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.,【解題導引】(1)由斜率條件可得到a,b,c的關(guān)系式,然 后由b2=a2-c2消去b2,再“兩邊同除以a2”,即得到關(guān)于 離心率e的二次方程,由此解出離心率. (2)利用“MF2∥y軸”及“截距為2”,可得yM= =4, 然后求出M,N點坐標,代入橢圓方程即可求出a,b的值.,【規(guī)范解答】(1)因為由題知, 所以 又a2=b2+c2.聯(lián)立整理得:2e2+3e-2=0, 解得e= .所以C的離心率為 .,(2)由三角形中位線知識可知,|MF2|=22,即 =4. 設(shè)|F1N|=m,由題可知|MF1|=4m.由兩直角三角形相似, 可得M,N兩點橫坐標分別為c,- c.所以M(c,4), 代入橢圓方程,得 兩式相減 得: 再結(jié)合 =4,及a2=b2+c2,可求得:a=7,b=2,【規(guī)律方法】確定直線與橢圓中有關(guān)參數(shù)的方法 1.依據(jù)題設(shè)中的條件,建立與參數(shù)有關(guān)的方程. 2.解方程可求得參數(shù)的值(注意橢圓中的隱含條件a2=b2+c2).,【變式訓練】如圖,F1,F2分別是橢圓C: =1(ab0)的左、右焦點,A是 橢圓C的頂點,B是直線AF2與橢圓C的另 一個交點,∠F1AF2=60. (1)求橢圓C的離心率. (2)已知△AF1B的面積為40 ,求a,b的值.,【解析】(1)∠F1AF2=60?a=2c?e= (2)設(shè)|BF2|=m,則|BF1|=2a-m,在三角形BF1F2中, |BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2||F1F2|cos 120? (2a-m)2=m2+a2+am?m= a. △AF1B的面積S= ?a=10,所以c=5,b=5 .,【加固訓練】 1.(2016呼和浩特模擬)已知橢圓的兩焦點為F1(- , 0),F2( ,0),離心率e= . (1)求此橢圓的方程. (2)設(shè)直線l:y=x+m,若l與此橢圓相交于P,Q兩點,且|PQ| 等于橢圓的短軸長,求m的值.,【解析】(1)設(shè)橢圓方程為 =1(ab0),則c= , 所以a=2,b=1, 所求橢圓方程為 +y2=1.,(2)由 消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0, 則Δ0,得m25(*). 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2= x1x2= y1-y2=x1-x2,|PQ|= =2.解得m= 滿足(*),所以m= .,2.(2016徐州模擬)已知橢圓E: =1過點 且右焦點為F(1,0),右頂點為A.過點F的弦為BC.直線BA, 直線CA分別交直線l:x=m(m2)于P,Q兩點. (1)求橢圓方程. (2)若FP⊥FQ,求m的值.,【解析】(1)由 =1,a2-b2=1, 解得a2=4,b2=3, 所以橢圓方程為 =1.,(2)當直線BC的斜率存在且不為0時,設(shè)B(x0,y0),則BC: y= (x-1),與橢圓E: =1 聯(lián)立組成方程組,解得 或 所以,顯然kAB=kAP,kAC=kAQ,所以kAPkAQ= 設(shè)Q(m,y1),kFQ= 同理kFP= kAP. 所以kFPkFQ= =-1, 又m2,所以 所以m=4.,當BC的斜率不存在時,BC的方程為x=1. 令 AC的方程為: 即3x+2y-6=0, AB的方程為: 即3x-2y-6=0,,又FQ⊥FP,所以kFQkFP= =-1, 解上式得m= (舍)或m=4, 綜上可知:m=4.,考向三 直線與橢圓的位置關(guān)系 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:由直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的性質(zhì) 【典例3】(2015安徽高考)設(shè)橢圓E的方程為 =1(a＞b＞0),點O為坐標原點,點A的坐標為(a,0),點B 的坐標為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線 OM的斜率為,(1)求E的離心率e. (2)設(shè)點C的坐標為(0,-b),N為線段AC的中點,點N關(guān)于 直線AB的對稱點的縱坐標為 ,求E的方程.,【解題導引】(1)可先求出M點的坐標,利用直線OM的斜率,即可得出關(guān)于a,b的等式,再利用橢圓中a,b,c之間的關(guān)系求離心率. (2)利用(1)的結(jié)果,橢圓中a,b,c都可利用b來表示,充分利用題設(shè)條件,得出關(guān)于b的方程,解方程即可求得b值,進而得出橢圓方程.,【解析】(1)由題意可知點M的坐標是 又kOM= ,所以 進而得a= b, 故 e=,(2)直線AB的方程為 =1, 點N的坐標為 設(shè)點N關(guān)于直線AB的對稱點S的坐標為 則NS的中 點T的坐標為 又點T在直線AB上,且 kNSkAB=-1,,從而有 ?b=3, 所以a=3 ,故橢圓的方程為 =1.,命題方向2:由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線及弦的 問題 【典例4】(2015江蘇高考改編)如圖,在平面直角坐 標系xOy中,已知橢圓 =1(a＞b＞0)的離心率為 ,且右焦點F到直線l:x= 的距離為3. (1)求橢圓的標準方程.,(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P,C,若|PC|=2|AB|,求直線AB的方程.,【解題導引】(1)求橢圓標準方程,只需列兩個獨立條 件即可:一是離心率為 ,二是右焦點F到左準線l的距 離為3,解方程組即得. (2)本題關(guān)鍵就是根據(jù)|PC|=2|AB|列出關(guān)于斜率的等量 關(guān)系.,【規(guī)范解答】(1)由題意,得 且c+ =3, 解得a= ,c=1,則b=1, 所以橢圓的標準方程為 +y2=1.,(2)當AB⊥x軸時,AB= ,又CP=3,不合題意. 當AB與x軸不垂直時, 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1), A(x1,y1),B(x2,y2),將AB的方程代入橢圓方程, 得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,,則x1,2= C的坐標為 且|AB|=,若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準線平行,不 合題意.從而k≠0,故直線PC的方程為: 則P點的坐標為 從而|PC|=,因為|PC|=2|AB|, 所以 解得:k=1. 此時AB的方程為y=x-1或y=-x+1.,【母題變式】 1.若將條件“|PC|=2|AB|”改為“|PC|= |AB|”, 結(jié)果如何?,【解析】由例題可知:|AB|= |PC|= 又因為|PC|= |AB|,即 解上式得:k= , 此時AB的方程為y= x- 或y=- x+ .,2.若將條件“|PC|=2|AB|”改為“|PC|= |AB|”, 結(jié)果如何?,【解析】由例題可知:|AB|= |PC|= 又因為|PC|= |AB|, 即 化簡上式得:3k4+1=0,顯然上式不成立,因此滿足條件的直線AB不存在.,【技法感悟】 1.由直線與橢圓位置關(guān)系解決離心率問題的思路 由題中條件尋找a,b,c間的關(guān)系式(等式或不等式),然 后借助a2=b2+c2轉(zhuǎn)化為 的方程或不等式即可.,2.直線與橢圓相交時有關(guān)弦問題的處理方法,【題組通關(guān)】 1.(2016福州模擬)橢圓的焦點為F1,F2,過F1的最短弦 PQ的長為10,△PF2Q的周長為36,則此橢圓的離心率為 ( ),【解析】選C.PQ為過F1垂直于x軸的弦, 則 △PF2Q的周長為36. 所以4a=36,a=9. 由已知 =5,即 =5. 又a=9,解得c=6, 解得 即e= .,2.(2016寶雞模擬)已知橢圓x2+2y2=4,則以(1,1)為中點的弦的長度為 ( ),【解析】選C.易知該弦所在直線的斜率存在.由題意可設(shè)y-1=k(x-1),所以y=kx+1-k. 代入橢圓方程,得x2+2(kx+1-k)2=4. 所以(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0.,由x1+x2= =2,得k=- ,x1x2= . 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= 所以|AB|=,3.(2016鄭州模擬)如圖所示,內(nèi)外兩個橢圓的離心率 相同,從外層橢圓頂點向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD,設(shè)內(nèi)層 橢圓方程為 =1(ab0),若直線AC與BD的斜率之 積為- ,則橢圓的離心率為 ( ),【解析】選C.設(shè)外層橢圓方程為 =1(ab 0,m1),由題意設(shè)切線AC的方程為y=k1(x-ma),切線BD 的方程為y=k2x+mb, 則由 消去y, 得,因為Δ1= =0,整理, 得 由 消去y,得 =0,因為Δ2= =0,整理,得,所以 因為k1k2=- ,所以 所以e= .,