高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題4 立體幾何 突破點(diǎn)10 空間幾何體表面積或體積的求解專題限時(shí)集訓(xùn) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(十) 空間幾何體表面積或體積的求解 建議A、B組各用時(shí)：45分鐘 A組高考達(dá)標(biāo)一、選擇題1(2016·石家莊二模)一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖10­11所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()圖10­11D分析三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD平面BCD，故選D.2(2016·濰坊二模)已知某幾何體的三視圖如圖10­12所示，則該幾何體的體積為()圖10­12A.B.C.D(2)B由三視圖可知該幾何體由半球內(nèi)挖去一個(gè)同底的圓錐得到，所以該幾何體的體積為V××13×12×1.3(2016·煙臺(tái)模擬)某幾何體的三視圖如圖10­13所示，則該幾何體的體積與其外接球的體積之比為()圖10­13A13B.C13D1D由三視圖可知，幾何體是一個(gè)三棱柱，體積V1×2×2×24，設(shè)外接球的半徑為R，則4R222222212，所以R.所以球的體積V2R34，體積比V1V2441.4(2016·湖北七市模擬)已知某幾何體的三視圖如圖10­14所示，其中俯視圖是正三角形，則該幾何體的體積為()圖10­14A.B2 C3D4B分析題意可知，該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABC­A1B1C1截去四棱錐A­BEDC得到的，故其體積V×22×3××2×2，故選B.5(2016·廣州二模)如圖10­15，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的表面積為()圖10­15A884B882C22D.A在正方體中還原出該四面體C­A1EC1如圖所示，可求得該四面體的表面積為884.二、填空題6(2016·昆明一模)已知三棱錐P­ABC的頂點(diǎn)P，A，B，C在球O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如果球O的表面積為36，那么P到平面ABC距離的最大值為_32依題意，邊長(zhǎng)是的等邊ABC的外接圓半徑r·1.球O的表面積為364R2，球O的半徑R3，球心O到平面ABC的距離d2，球面上的點(diǎn)P到平面ABC距離的最大值為Rd32.7(2016·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)三棱錐P­ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D­ABE的體積為V1，P­ABC的體積為V2，則_.如圖，設(shè)SABDS1，SPABS2，E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB的距離為h2，則S22S1，h22h1，V1S1h1，V2S2h2，所以.8(2016·?？诙?半徑為2的球O中有一內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形，側(cè)棱垂直底面)當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是_16()設(shè)內(nèi)接正四棱柱底邊長(zhǎng)為a，高為h，那么162a2h22ah，正四棱柱的側(cè)面積S4ah16，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是16()三、解答題9(2016·合肥二模)如圖10­16，P為正方形ABCD外一點(diǎn)，PB平面ABCD，PBAB2，E為PD的中點(diǎn)圖10­16(1)求證：PACE；(2)求四棱錐P­ABCD的表面積解(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，則EFADBC，即EF，BC共面PB平面ABCD，PBBC，又BCAB且PBABB，BC平面PAB，BCPA.3分PBAB，BFPA，又BCBFB，PA平面EFBC，PACE.6分(2)設(shè)四棱錐P­ABCD的表面積為S，PB平面ABCD，PBCD，又CDBC，PBBCB，CD平面PBC，CDPC，即PCD為直角三角形，8分由(1)知BC平面PAB，而ADBC，AD平面PAB，故ADPA，即PAD也為直角三角形SABCD2×24，SPBCSPABSPDA×2×22，SPCD×2×2，10分S表SABCDSPBCSPDASPABSPCD102.12分10(2016·湖北七市模擬)如圖10­17，一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)為l的直三棱柱ABC­A1B1C1容器中盛有液體(不計(jì)容器厚度)若液面恰好分別過(guò)棱AC，BC，B1C1，A1C1的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G.圖10­17(1)求證：平面DEFG平面ABB1A1；(2)當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，求液面的高解(1)證明：因?yàn)镈，E分別為棱AC，BC的中點(diǎn)，所以DE是ABC的中位線，所以DEAB.又DE平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，所以DE平面ABB1A1.同理DG平面ABB1A1，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB1A1.6分(2)當(dāng)直三棱柱ABC­A1B1C1容器的側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，由(1)可知，液體部分是直四棱柱，其高即為原直三棱柱ABC­A1B1C1容器的高，即側(cè)棱長(zhǎng)l，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，設(shè)液面的高為h，ABC的面積為S，則由已知條件可知，CDEABC，且SCDES，所以S四邊形ABEDS.9分由于兩種狀態(tài)下液體體積相等，所以V液體ShS四邊形ABEDlSl，即hl.因此，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面的高為l.12分B組名校沖刺一、選擇題1(2016·濟(jì)寧模擬)如圖10­18所示，四棱錐P­ABCD中，PD平面ABCD，且PD2，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，M是CD的中點(diǎn)，平面PMB平面PCD，則該四棱錐的體積為()圖10­18A.B4C.D4A過(guò)點(diǎn)D在平面PCD內(nèi)作DNPM于點(diǎn)N，又平面PMB平面PCD，平面PMB平面PCDPM，所以DN平面PMB，所以DNBM.又由PD平面ABCD，得PDBM，又PD與DN是平面PDC內(nèi)的兩條相交直線，所以BM平面PDC，則BMCD.又點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，BCCD，所以BCD60°，所以底面菱形ABCD的面積為2×2×sin 60°2，故該四棱錐的體積為×2×2.2(2016·重慶二模)某幾何體的三視圖如圖10­19所示，則該幾何體的體積為()圖10­19A.B.C.D.B根據(jù)三視圖可知，幾何體是由一個(gè)直三棱柱與一個(gè)三棱錐所組成的，其中該直三棱柱的底面是一個(gè)直角三角形(直角邊長(zhǎng)分別為1,2，高為1)；該三棱錐的底面是一個(gè)直角三角形(腰長(zhǎng)分別為1,2，高為1)，因此該幾何體的體積為×2×1×1××2×1×1，選B.3(2016·唐山二模)某幾何體的三視圖如圖10­20所示，則該幾何體的體積為()圖10­20A64B4C.D2D由三視圖知，該幾何體為一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱體，與底面半徑為1，高為2的半圓柱體構(gòu)成，所以該三視圖的體積為×12×1×12×22，故選D.4(2016·江西上饒三模)從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60°角，且分別與球O相切于A，B，C三點(diǎn)，若OP，則球的體積為()A.B.C.D.C設(shè)OP交平面ABC于O，由題得ABC和PAB為正三角形，所以O(shè)AABAP.因?yàn)锳OPO，OAPA，所以，所以O(shè)A×1，即球的半徑為1，所以其體積為×13.選C.二、填空題5(2016·廣州二模)一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722038】由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r1, 其高h(yuǎn)1，球半徑為R，該球的體積VR3×3.6(2016·開封一模)在三棱錐P­ABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐的外接球表面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722039】由題可知，ABC中AC邊上的高為，球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D，設(shè)DADBDCx，x232(x)2，解得x，R2x221(其中R為三棱錐外接球的半徑)，外接球的表面積S4R2.三、解答題7如圖10­21，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，BADADC90°，ABADCD，BEDF.圖10­21(1)若M為EA中點(diǎn)，求證：AC平面MDF；(2)若AB2，求四棱錐E­ABCD的體積解(1)證明：設(shè)EC與DF交于點(diǎn)N，連接MN，在矩形CDEF中，點(diǎn)N為EC中點(diǎn)，因?yàn)镸為EA中點(diǎn)，所以MNAC.2分又因?yàn)锳C平面MDF，MN平面MDF，所以AC平面MDF.4分(2)取CD中點(diǎn)為G，連接BG，EG，平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCDCD，AD平面ABCD，ADCD，所以AD平面CDEF，同理ED平面ABCD，7分所以ED的長(zhǎng)即為四棱錐E­ABCD的高.8分在梯形ABCD中，ABCDDG，ABDG，所以四邊形ABGD是平行四邊形，BGAD，所以BG平面CDEF.又DF平面CDEF，所以BGDF，又BEDF，BEBGB，所以DF平面BEG，DFEG.10分注意到RtDEGRtEFD，所以DE2DG·EF8，DE2，所以VE­ABCDS梯形ABCD·ED4.12分8如圖10­22，在多面體ABCDM中，BCD是等邊三角形，CMD是等腰直角三角形，CMD90°，平面CMD平面BCD，AB平面BCD，點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，連接OM.圖10­22(1)求證：OM平面ABD；(2)若ABBC2，求三棱錐A­BDM的體積解(1)證明：CMD是等腰直角三角形，CMD90°，點(diǎn)O為CD的中點(diǎn)，OMCD.1分平面CMD平面BCD，平面CMD平面BCDCD，OM平面CMD，OM平面BCD.2分AB平面BCD，OMAB.3分AB平面ABD，OM平面ABD，OM平面ABD.4分(2)法一：由(1)知OM平面ABD，點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.5分過(guò)點(diǎn)O作OHBD，垂足為點(diǎn)H.AB平面BCD，OH平面BCD，OHAB.6分AB平面ABD，BD平面ABD，ABBDB，OH平面ABD.7分ABBC2，BCD是等邊三角形，BD2，OD1，OHOD·sin 60°.9分V三棱錐A­BDMV三棱錐M­ABD××AB·BD·OH××2×2×.11分三棱錐A­BDM的體積為.12分法二：由(1)知OM平面ABD，點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.5分ABBC2，BCD是等邊三角形，BD2，OD1.6分連接OB，則OBCD，OBBD·sin 60°.7分V三棱錐A­BDMV三棱錐M­ABDV三棱錐O­ABDV三棱錐A­BDO××OD·OB·AB××1××2.11分三棱錐A­BDM的體積為.12分