2019-2020年高中數(shù)學2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案(4)湘教版選修1-1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案(4)湘教版選修1-1 教學目標 n 1、進一步理解并掌握橢圓的定義、標準方程 n 2、能根據(jù)條件求出橢圓的標準方程 n 3、進一步理解a、b、c、e的幾何意義,會用幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題 n 4、在坐標法的基礎(chǔ)上掌握點的軌跡條件滿足某曲線的定義時,用待定系數(shù)法求其方程 教學過程 1、復習回顧 A組 橢圓的定義運用: ⑴ΔABC的周長為20,且B(-4,0),C(4,0),則點A的軌跡方程是_____________. x2/36+y2/20=1(y≠0) ⑵已知A(-1,0),B(1,0),線段CA、AB、CB的長成等差數(shù)列,則點C的軌跡方程是_____________. x2/4+y2/3=1 ⑶過點A(0,2),且與圓B:x2+(y+2)2=36內(nèi)切的動圓圓心C的軌跡方程是__________. x2/5+y2/9=1 ⑷一動圓與圓A:(x+3)2+y2=1外切,與圓B:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求動圓圓心的軌跡方程。 x2/25+y2/16=1 ⑸橢圓x2/12+y2/3=1的一個焦點為F1,點P在橢圓上,如果線段PF1的中點在y軸上,求點M的坐標。 ⑹P是橢圓x2/100+y2/64=1上的一點,F(xiàn)1、F2分別是焦點.①如果∠F1PF2=60,求ΔF1PF2的周長及面積;②|PF1|?|PF2|的最大值。 分析:①考慮到∠F1PF2=60和三角形的面積S=absinC/2,只要求出|PF1|?|PF2|問題就可以解決了.|PF1|?|PF2|如何求?如果設(shè)P(x,y),由點P在橢圓上且∠F1PF2=60,利用這兩個條件,列出關(guān)于x、y的兩個方程,解出x、y,再求ΔF1PF2的面積,雖然思路清晰,但運算量過大,考慮到這是一個幾何問題,能否利用圖形的幾何性質(zhì)呢?橢圓的定義。 ②考慮到|PF1|+|PF2|=20,要求|PF1|?|PF2|的最大值,應用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理即可。 解:①∵|F1F2|=12,|PF1|+|PF2|=20,∴ΔF1PF2的周長為32 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,根據(jù)橢圓定義有m+n=20, 在ΔF1PF2中,∠F1PF2=60,由余弦定理得:m2+n2-2mncos60=144 ∴m2+n2-mn=144,∴(m+n)2-3mn=144,∴mn=256/3 又SΔF1PF2=|PF1|?|PF2|sin60/2, ②∵|PF1|+|PF2|=20 當且僅當|PF1|=|PF2|=10時等號成立, ∴|PF1|?|PF2|的最大值是100。 ⑺已知點P為橢圓x2/25+y2/9=1上的一點,F(xiàn)1、F2為橢圓的左焦點與右焦點,點P到左準線的距離為d1, 點P到右準線的距離為d2。 ①若|PF1|=3.5,則d2=______;②若|PF1|∶|PF2|=2∶3,則點P的坐標是_______;③若d2=4.5,則d1=_______;④若P(3,y),則|PF1|=______;⑤若|PF1|⊥|PF2|,則點P的坐標是_______;⑥若點M(3,-2)在橢圓內(nèi)部,則|PM|+5|PF2|/4的最小值是_________。 小結(jié):①點P(x0,y0)是橢圓x2/a2+y2/b2=1上的一點,F(xiàn)1、F2為橢圓的左焦點與右焦點,點P到左準線的距離為d1, 點P到右準線的距離為d2,則d1=a2/c+x0, d2=a2/c-x0,|PF1|=ed1=a+ex0,|PF1|=ed2=a-ex0。 ②充分利用定義 ⑻設(shè)橢圓x2/a2+y2/b2=1的兩焦點為F1、F2,A1、A2為長軸的兩個端點。 ①P是橢圓上的一點,且∠F1PF2=60,求ΔF1PF2的面積; ②若橢圓上存在一點Q,使∠A1QA2=120,求橢圓離心率的范圍。 分析:①在ΔF1PF2中,∠F1PF2=60,∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60 即4c2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|,又|PF1|+|PF2|==2a.∴|PF1||PF2|=4(a2-c2)/3=4b2/3 ②設(shè)Q(x0,y0),則x02/a2+y02/b2=1,∵∠A1QA2=120,不妨設(shè)A1(-a.0),A2(a,0),點Q在x軸上方 ,又, ,∵y0≤b,,即 解得,∴e2=1-(b/a)2≥2/3,。 ⑼求經(jīng)過點M(1,2),以y軸為準線,離心率為1/2的橢圓左頂點的軌跡方程。 分析:設(shè)左頂點的坐標為P(x,y),則由橢圓的第二定義可得左焦點為(3x/2,y), 又橢圓經(jīng)過點M(1,2),以y軸為準線,離心率為1/2 , 整理得: B組 利用圖形及圖形性質(zhì)解題 ⑴若橢圓兩準線間的距離等于焦距的4倍,則這個橢圓的離心率是(?。〥 ⑵已知橢圓的一條準線方程是y=9/2,則m等于( )A A、1 B、2 C、3 D、7 ⑶橢圓兩焦點和中心將兩準線間的距離四等分,則一焦點與短軸連線的夾角是(?。〤 A、45 B、60 C、90 D、120 ⑷橢圓x2/100+y2/36=1上的點P到它的左準線的距離是10,則點P到右焦點的 距離是(?。〣 A、15 B、12 C、10 D、8 ⑸中心在原點,離心率為,且一條準線的方程是y=3的橢圓方程是__________。x2/2+y2/6=1 ⑹點M與定點F(8,0)的距離和它到定直線x=25/2的距離之比為4∶5,則點M的軌跡方程是_________。 x2/100+y2/36=1 歸納總結(jié) ? 數(shù)學思想:數(shù)形結(jié)合、類比的思想、特殊到一般 ? 數(shù)學方法:圖象法、化歸法、待定系數(shù)法、換元法、輔助圓法 ? 知識點:橢圓的定義、標準方程、橢圓中的最值問題 作業(yè) 設(shè)橢圓的中心在坐標原點,長軸在x軸上,離心率,已知點P(0,3/2)到這個橢圓上的點的最遠距離為,求這個橢圓的方程,并求橢圓上到點P的距離為的點的坐標。 第五課時 教學目標 1、掌握橢圓的幾何性質(zhì),掌握用坐標法研究直線與橢圓的位置關(guān)系 2、熟練地求弦長、面積、對稱等問題 3、培養(yǎng)對數(shù)學的理解能力及分析問題、解決問題的能力 教學過程 1、復習回顧 橢圓的定義、幾何性質(zhì) 判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法 2、探索研究 直線與橢圓的位置關(guān)系:坐標法(圍繞直線與橢圓的公共點展開的),將直線方程與橢圓方程組成方程組,消元后得到一個一元二次方程,當Δ=0時,直線與橢圓相切;當Δ>0時,直線與橢圓相交;當Δ<0時,直線與橢圓相離。 3、反思應用 例1 當m為何值時,直線l:y=x+m與橢圓9x2+16y2=144相切、相交、相離? 分析:將直線方程y=x+m代入橢圓9x2+16y2=144中,得9x2+16(x+m)2=144, 整理,得25x2+32mx+16m2-144=0,∵Δ=(32m)2―425(16m2―144)=-576m2+14400 當Δ=0即m=5時,直線與橢圓相切; 當Δ>0即-5<m<5時,直線與橢圓相交; 當Δ<0即m<-5或m>5時,直線與橢圓相離。 例2 已知斜率為1的直線l經(jīng)過橢圓x2+4y2=4的右焦點交橢圓于A、B兩點,求弦長|AB|。 分析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由橢圓方程知:a2=4,b2=1,∴c2=3,∴右焦點, ∴直線l的方程為,代入橢圓得 小結(jié):弦長公式 例3 過橢圓x2/16+y2/4=1內(nèi)一點M(2,1)引一條弦AB,使AB被點M平分,求弦AB所在直線的方程。 解一:當弦AB的斜率不存在時,弦AB的方程為x=2,不合題意舍去 設(shè)弦AB所在直線的方程為:y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理得 (4k2+1)x2―8(2k2―k)x+4(k2―1)2―16=0,又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1、x2為方程的兩個根, 于是,又M為AB的中點,,解之得k=-1/2,故所求弦AB的方程是x+2y-4=0 解二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵M(2,1)為AB的中點,∴x1+x2=4,y1+y2=2 又∵A、B兩點在橢圓上,∴x12+4y12=16,x,22+4y22=16,兩式相減得x12-x22+4(y12-y22)=0, ,故所求弦AB的方程是x+2y-4=0 解三:設(shè)A(x,y),由M(2,1)為AB的中點得B(4―x,2―y) ∵A、B兩點在橢圓上,∴x2+4y2=16,(4-x)2+4(2-y)2=16,兩式相減得x+2y-4=0, 由于過A、B的直線只有一條,故所求弦AB的方程是x+2y-4=0 小結(jié):解一常規(guī)解法;解二是解決有關(guān)中點弦問題的常用方法;解三利用曲線系解題。 例4 試確定實數(shù)m的取值范圍,使橢圓x2/4+y2/3=1上存在兩點關(guān)于直線l:y=2x+m對稱。 解一:設(shè)存在A(x1,y1),B(x2,y2) 關(guān)于直線l:y=2x+m對稱,故可設(shè)直線AB的方程為y=2x+t,代入橢圓方程x2/4+y2/3=1,并整理得x2―tx+t2―3=0,則Δ=t2―4(t2―3)>0。解得-2<t<2。 ∵x1+x2=t,∴AB的中點M為(t/2,3t/4),∵M在直線l上,∴3t/4=2t/2+m,即m=-t/4,從而-1/2<m<1/2. 解二:設(shè)存在A(x1,y1),B(x2,y2) 關(guān)于直線l:y=2x+m對稱,,則AB⊥l,且AB的中點M在l上, 設(shè)AB的中點M(x0,y0),則x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 又∵A、B兩點在橢圓上,∴3x12+4y12=12,3x,22+4y22=12, 兩式相減得3(x12-x22)+4(y12-y22)=0, 即y0=3x0/2,又y0=2x0+m,解得x0=-2m,y0=-3m, ∵點M在橢圓內(nèi),,即m2+3m2<1,解得-1/2<m<1/2. 例5 橢圓中心在坐標原點,焦點在x軸上,,過橢圓左焦點F的直線交橢圓于P、Q兩點,且|PQ|=20/9,OP⊥OQ,求此橢圓的方程。 解:設(shè)橢圓方程為x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),左焦點F(-c,0) 當PQ⊥x軸時,|FP|=|FQ|=b2/a,由OP⊥OQ知|FO|=|FQ|,即c=b2/a, ∴ac=a2-c2,即e2+e-1=0,解得, 這與條件不符,∴PQ不垂直x軸 設(shè)PQ:y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵,∴設(shè)a=2t,,則b=t ∴橢圓方程可化為x2+4y2=4t2(t>0),將直線PQ的方程代入橢圓方程得 ,則x1、x2為方程的根 ∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0,即 整理得: ,整理得k2=4/11, 此時 ∵|PQ|=20/9, 即 所以所求橢圓方程為x2/4+y2=1 4、歸納總結(jié) 數(shù)學思想:數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程 知識點:直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式、中點弦問題、對稱問題 作業(yè): 1、直線l與橢圓方程為4x2+9y2=36交于A、B兩點,并且AB的中點M(1,1),求直線l的方程。 2、求焦點,截直線l:y=2x-1所得弦中點的橫坐標為2/7的橢圓的標準方程。 答案:4x+9y-13=0; x2/75+y2/25=1- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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