高考數(shù)學總復習 第八章第7課時 雙曲線課時闖關(guān)（含解析）

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1、 一、選擇題 1．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線－＝1的漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±x 解析：選A.由題意＝，所以a2＝4b2. 故雙曲線的方程可化為－＝1， 故其漸近線方程為y＝±x. 2．(2012·保定質(zhì)檢)已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，則動點P的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支 C．雙曲線右邊一支 D．一條射線 解析：選C.∵|PM|－|PN|＝3<4，由雙曲線定義知，其軌跡為雙曲線的一支，又∵|PM|>|PN|， ∴點P的軌跡

2、為雙曲線的右支． 3．已知點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，動點P滿足|PF2|－|PF1|＝2，當點P的縱坐標是時，點P到坐標原點的距離是(　　) A. B. C. D．2 解析：選A.由已知可知c＝，a＝1，∴b＝1， ∴雙曲線方程為x2－y2＝1(x≤－1)． 將y＝代入可求P的橫坐標為x＝－. ∴點P到原點的距離為 ＝. 4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)1是左焦點，O是坐標原點，若雙曲線上存在點P，使|PO|＝|PF1|，則此雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．(1,2] B．(1，＋∞) C．(1,3) D．[2，＋∞) 解析：選D.

3、由|PO|＝|PF1|得點P的橫坐標x1＝－，因為P在雙曲線的左支上，所以－≤－a，即e＝≥2.故選D. 5．(2011·高考課標全國卷)設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：選B.設(shè)雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，∴y＝±，故|AB|＝，依題意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝. 二、填空題 6．與橢圓＋＝1有相同的焦點，且以y

4、＝±x為漸近線的雙曲線方程為________． 解析：雙曲線焦點在x軸上，且半焦距c＝＝5. 又＝，a2＋b2＝c2， ∴a＝3，b＝4，所求雙曲線方程為－＝1. 答案：－＝1 7．(2012·武漢調(diào)研)與橢圓＋y2＝1共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程為________． 解析：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴a2＋b2＝4－1＝3， 又－＝1，解得a2＝2，b2＝1， ∴雙曲線的方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 8．設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，若點P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|＝________. 解析：因為F1、F2分別是雙

5、曲線x2－＝1的左、右焦點，所以F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．由題意知|＋|＝2||＝|F1F2|＝2. 答案：2 三、解答題 9．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解：橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， ∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1. 10．已知雙曲線

6、C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，且＝. (1)求雙曲線C的方程； (2)已知直線x－y＋m＝0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，求m的值． 解：(1)由題意，得解得a＝1，c＝， ∴b2＝c2－a2＝2， ∴所求雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 線段AB的中點為M(x0，y0)， 由得x2－2mx－m2－2＝0(判別式Δ>0)， ∴x0＝＝m， y0＝x0＋m＝2m， ∵點M(x0，y0)在圓x2＋y2＝5上， ∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1. 11．已知雙曲線

7、的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且點(4，－)在雙曲線上． (1)求雙曲線的方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上； (3)求△F1MF2的面積． 解：(1)∵離心率e＝，∴雙曲線為等軸雙曲線， 可設(shè)其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵點(4，－)在雙曲線上， ∴λ＝42－(－)2＝6. ∴所求雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明：若點M(3，m)在雙曲線上，則32－m2＝6， ∴m2＝3. 由雙曲線x2－y2＝6知焦點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝9－(2)2＋m2＝0，即⊥，故點M在以F1F2 為直徑的圓上． (3)S△F1MF2＝×|F1F2|×|m|＝2×＝6.