高三數(shù)學 經(jīng)典例題精解分析 3-2第3課時 空間向量與空間角

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1、第3課時 空間向量與空間角 雙基達標　(限時20分鐘) 1．若平面α的法向量為μ，直線l的方向向量為v，直線l與平面α的夾角為θ，則下列關系式成立的是 (　　)． A．cos θ＝ B．cos θ＝ C．sin θ＝ D．sin θ＝ 解析　若直線與平面所成的角為θ，直線與該平面的法向量所成的角為β，則θ＝90°－ β. 答案　D 2．設直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n

2、，若〈a，n〉＝，則l與α所成的角為 (　　)． A. B. C. D. 解析　線面角的范圍是[0，]． 答案　C 3．三棱錐A－BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若〈n1，n2〉＝，則二面角A - BD - C的大小為 (　　)． A. B. C.或

3、 D.或 解析　只需搞清二面角的范圍是[0，π]． 答案　C 4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中點，O是底面ABCD的中點，P是A1B1上的任意點，則直線BM與OP所成的角為________． 解析　建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為2， 則 O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)， ＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1)． 所以·＝0，所以直線BM與OP所成角為. 答案　 5．已知點A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為_______

4、_． 解析?。?－1，2，0)，＝(－1，0，3)．設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)．由 n·＝0，n·＝0知令x＝2，則y＝1，z＝. ∴平面ABC的一個法向量為n＝(2，1，)．平面xOy的一個法向量為＝(0，0，3)．由 此易求出所求二面角的余弦值． 答案　 6．如圖所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大?。? 解　建立如圖所示的空間直角坐標系， 則O(0，0，0)，O1(0，1，)， A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，

5、0)， ∴＝(－，1，－)， ＝(，－1，－)． ∴cos〈，〉 ＝ ＝＝－. ∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為. 綜合提高（限時25分鐘） 7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成角是 (　　)． A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，1)，C(1， ，0)，＝(1

6、，，－1)，平面ABCD的一個法向量為n ＝(0，0，1)， 所以cos〈，n〉＝＝－， 所以〈·n〉＝120°， 所以斜線PC與平面ABCD的法向量所在直線所成角為60°， 所以斜線PC與平面ABCD所成角為30°. 答案　A 8．如圖所示，已知點P為菱形ABCD外一點，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，點F為PC中點，則二面角C-BF-D的正切值為 (　　)． A. B. C. D. 解析　如圖所示，連接AC，AC∩BD＝O，連接OF.以O 為原點，OB、OC、OF所在直線分別

7、為x，y，z軸建立空 間直角坐標系O－xyz.設PA＝AD＝AC＝1，則BD＝.所 以B(，0，0)，F(xiàn)(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0， 0)． 結(jié)合圖形可知，＝(0，，0)且為面BOF的一個法向 量，由＝(－，，0)，＝(，0，－)， 可求得面BCF的一個法向量n＝(1，，)． 所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝， 所以tan〈n，〉＝. 答案　D 9.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是______． 解析　建立如圖所示的空間直角坐標系， 設棱長為1，則B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，

8、D(0， 0，0)，＝(－1，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1， －1，0)， 設平面A1BD的一個法向量為n＝(1，x，y)，設平面A1BD 與BC1所成的角為θ，n⊥，n⊥， 所以n·＝0，n·＝0， 所以解得 所以n＝(1，－1，－1)，則cos〈，n〉＝＝－，所以sin θ＝， 所以cos θ＝＝. 答案　 10．正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A-BD-C的正弦值為________． 解析　取BC中點O，連接AO，DO，建立如圖所示的坐標 系． 設BC＝1，則A(0，0，)，B(0，－，0)，D(，0，0)． 所以＝(0，0，)， ＝

9、(0，，)，＝(，，0)． 由于＝(0，0，)為平面BCD的法向量． 設平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，則 所以 取x＝1，則y＝－，z＝1， 所以n＝(1，－，1)， 所以cos〈n，〉＝， sin〈n，〉＝. 答案　 11．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點．求BD與平面ADMN所成的角θ. 解　如圖所示，建立空間直角坐標系，設BC＝1， 則A(0，0，0)，B(2，0，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2) 則N(1，0，1)， ∴＝

10、(－2，2，0)， ＝(0，2，0)，＝(1，0，1)， 設平面ADMN的一個法向量為n＝(x，y，z)， 則由得取x＝1，則z＝－1， ∴n＝(1，0，－1)， ∵cos〈，n〉＝＝＝－， ∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝. 又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 12．(創(chuàng)新拓展)如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2. (1)求證：AE∥平面DCF； (2)當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？ 解　建系如圖， 設AB＝a，BE＝b，CF＝c， 則C(0，0，0)，D(0，0，a)

11、， F(0，c，0)，A(，0，a)， E(，b，0)，B(，0，0)， (1)證明?。?，b，0)－(，0，a)＝(0，b，－a)， ＝(0，0，a)，＝(0，c，0)， 設＝λ＋μ，則(0，b，－a)＝(0，μc，λa)， ∴μ＝，λ＝－1，∴＝－＋， 又AE?平面DCF，∴AE∥面DCF. (2)∵＝(－，c－b，0)，＝(，b，0) 且·＝0，||＝2. 所以 解得b＝3，c＝4， 所以E(，3，0)，F(xiàn)(0，4，0)．設n＝(1，y，z)與平面AEF垂直， 則n·＝0，n·＝0， 解得n＝(1，，)． 又因為BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)， 所以cos〈n，〉＝＝＝， 得到a＝，所以當AB為時，二面角A - EF - C的大小為60°.