多自由度自由振動

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1、工 程 中 的 結 構 有 些 可 簡 化 為 單 自 由 度 體 系 分 析單 層 工 業(yè) 廠 房水 塔有 些 不 能 作 為 單 自 由 度 體 系 分 析 ， 需 簡 化 為 多 自 由 度 體 系進 行 分 析 多 層 房 屋 、 高 層 建 筑不 等 高 廠 房 排 架 和 塊 式 基 礎 10-5 多 自 由 度 體 系 的 自 由 振 動 按 建 立 運 動 方 程 的 方 法 ， 多 自 由 度 體 系 自 由 振動 的 求 解 方 法 有 兩 種 ： 剛 度 法 和 柔 度 法 。 剛 度 法通 過 建 立 力 的 平 衡 方 程 求 解 ， 柔 度 法 通 過 建 立 位移

2、 協(xié) 調 方 程 求 解 ， 二 者 各 有 其 適 用 范 圍 。 多 自 由度 體 系 自 由 振 動 的 問 題 ， 主 要 是 確 定 體 系 的 全 部自 振 頻 率 及 其 相 應 的 主 振 型 。 1、 剛 度 法 ： （ 建 立 力 的 平 衡 方 程 ）兩 個 自 由 度 的 體 系 y1(t) r2r1y2(t) y1(t)y2(t) r2r1r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2質 點 動 平 衡 方 程 :即 :設 : )sin()( )sin()( 22 11 tYty tYty 22ym .00 22212122 21211111 ykykym

3、 ykykym . 0,0 222111 rymrym . . 11ym .結 構 位 移 形 狀 保 持 不 變 的 振動 形 式 稱 為 主 振 型 或 振 型 . y1(t)y2(t) r2r1 乘 y1(t)k11k21 乘 y2(t)k12 k221 1fr1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2kij表 示 使 j點 產(chǎn) 生 單 位 位 移 (其 它 點 位 移 =0)時 ,在 i點需 施 加 的 力 (稱 為 剛 度 系 數(shù) ). 振 型 計 算 公 式頻 率 計 算 公 式頻 率 方 程 )sin()( )sin()( 22 11 tYty tYty002221

4、2122 21211111 ykykym ykykym .振 型 方 程)( 0)( 222121 21211211 YmkYk YkYmk 0222221 121211 mkk kmkD 21 21122211222211122211122,1 2121 mm kkkkmkmkmkmk 與 2相 應 的 第 二 振 型 ：12211 122212 mk kYY 因 為 D=0， 兩 個 振 型 方 程 式 線 性 相 關 的 ， 不 能 求 出 振 幅 的 值 ， 只 能 求 出 其 比 值 求 與 1相 應 的 第 一 振 型 ：12111 122111 mk kYY 21 2112221

5、122221112221112 2121 mm kkkkmkmkmkmk 21 211222221112221112 2121 mmkkmkmkmkmk 2 的 兩 個 根 均 為 實 根 ； 212221 121121 yykk kkrr 212221 1211212121 yykk kkyyrryy02211 ryryyyki j jiij矩 陣 k為 正 定 矩 陣 的 充 分 必 要 條 件 是 ： 它 的 行 列 式 的 順 序 主子 式 全 部 大 于 零 。 故 矩 陣 k為 正 定 矩 陣 。k11k22-k12k2102 的 兩 個 根 均 為 正 根 ； 與 2相 應 的

6、第 二 振 型 ： 212211 122212 mk kYYf求 與 1相 應 的 第 一 振 型 ：112111 122111 mk kYY多 自 由 度 體 系 能 夠 按 某 個 主 振 型 自 由 振 動 的 條 件 是 ： 初 始 位 移 和初 始 速 度 應 當 與 此 主 振 型 相 對 應 。 )sin()sin()( )sin()sin()( 22222112112 22122111111 tYAtYAty tYAtYAty 幾 點 注 意 ： 12必 具 有 相 反 的 符 號 。 多 自 由 度 體 系 自 振 頻 率 的 個 數(shù) = 其 自 由 度 數(shù) ， 自 振頻 率

7、 由 特 征 方 程 求 出 。 每 個 自 振 頻 率 相 應 一 個 主 振 型 。 主 振 型 是 多 自 由 度體 系 能 夠 按 單 自 由 度 體 系 振 動 時 所 具 有 的 特 定 形 式 。 自 振 頻 率 和 主 振 型 是 體 系 本 身 的 固 有 特 性 。一 般 解 ： 在 這 種 特 定 的 初 始 條 件 下 出 現(xiàn) 的振 動 ， 在 數(shù) 學 上 稱 為 微 分 方 程 組 的 特 解 ， 其 線 性 組 合 即 一 般 解 。 212211 122212 mk kYY112111 122111 mk kYY 21 211222221112221112 212

8、1 mmkkmkmkmkmk 21 211221112221112221111211 2121)( mmkkmkmkmkmkmmkm 21 211221112221112221111221 2121)( mmkkmkmkmkmkmmkm 0 例 m2m1 k2k1質 量 集 中 在 樓 層 上 m1、 m2 ， 層 間 側 移 剛 度 為 k1、 k2k21k111解 ： 求 剛 度 系 數(shù) ： k11=k1+k2 , k21= k2 , k22k121k22=k2 , k12= k2 0222221 121211 mkk kmkD 0)( 222221221 kmkmkk 1)當 m1=m2

9、=m,k1=k2=k mkmk 61803.22 5322 mkmk 38197.02 5321 ( )( ) kmkmk 02 222 mkmk61803.161803.021 代 入 頻 率 方 程 ： 21 21122211 222211122211122,1 2121 mm kkkkmkmkmkmk + 1)當 m1=m2=m,k11=2k， k12= mkmk 61803.22 5322 mkmk 38197.02 5321 求 振 型 ： 618.1 138197.02 kk k12k 12111 mk 2111YY 1第 一 主 振 型 ： Y21=1.618Y11=1第 一 主

10、 振 型 618.0 161803.22 kk k12k 12211 mk 2212YY 2第 二 主 振 型 ： Y22= 0.618Y12=1第 二 主 振 型 0)( 222221221 kmkmkk 2)當 m1=nm2 , k1=nk2k11=（ 1+n） k2， k12= k2 0)()1( 22222222 kmknmkn 求 頻 率 ：求 振 型 ：如 n=90時 1101121 YY 191222 YY當 上 部 質 量 和 剛 度 很 小 時 ， 頂 部 位 移 很 大 。（ 鞭 梢 效 應 ） 2192112 YY 第 一 振 型 ： 第 二 振 型 ： 特 征 方 程

11、： 2222 1412211 2 mknnn + 4121)4121()1( )1( 2 22212 121112 nnnn k nmknk mkYY + 21 21122211222211122211122,1 2121 mm kkkkmkmkmkmk + 例 試 求 圖 示 體 系 的 頻 率 和 振 型 1k21 k116i/l6i/l 12i/l12i/l 6i/l 6i/l1 k 22 k126i/l6i/l3i/l3i/l EI1= m1EI1=m2i i2i 2ill ik l11 248解 (1)求 剛 度 系 數(shù) ik k l 21 12 212ik l22 215 (2)求

12、 頻 率 . , .EI EIml ml 1 23 32 761 7 093解 得 , k k k k k k k km m m m m m 22 11 22 11 22 11 22 12 211 2 1 2 1 2 1 21 12 2 將 = 1代 入 振 型 方 程 ,得 .Y kY k m 11 12 221 11 1 1 13 365第 一 振 型將 = 2代 入 振 型 方 程 ,得 .Y kY k m 12 12 222 11 2 1 10 198第 二 振 型 (3)求 振 型 3.365 13.365 10.198 10.198 1 例 求 圖 所 示 兩 層 剛 架 的 自

13、振 頻 率 和 振 型 。 已 知 橫 梁 為 剛性 ， 各 立 柱 的 抗 彎 剛 度 ， 立 柱 的 質 量 忽 略 不 計 ， 橫 梁 的 質 量m1= m2=5000 kg， 每 層 的 高 度 5 m。解 ： 兩 個 自 由 度 體 系 ， 設 m 1的 位 移 為 y1， m2的 位 移 為 y211 3 312 484 EI EIk l l 12 21 3 312 484 EI EIk k l l 22 3 312 726 EI EIk l l 21 3 3 360 12 17 (60 12 17)EI EI EIml ml ml 22 3 3 360 12 17 (60 12

14、17)EI EI EIml ml ml 1 3(60 12 17) 10.050 8 (1/s)EIml 2 3(60 12 17) 32.418 8 (1/s)EIml 1 121222 1 21 10.7808c ckk m 12 2 221 222 2 21 11.2809c ckk m 1.2809 1第 二 主 振 型 10.7808第 一 主 振 型 2、 柔 度 法 y 1(t)y2(t) 建 立 振 動 微 分 方 程 ： （ 建 立 位 移 協(xié) 調 方 程 ） m1、 m2的 位 移 y1(t)、 y2(t)應 等 于 體 系 在 當 時 慣 性 力作 用 下 所 產(chǎn) 生 的

15、 靜 力 位 移 。 11ym .22ym . )(),( 2211 tymtym . . 222221112 122211111 )()()( )()()( tymtymty tymtymty . . 柔 度 法 建 立 的 振 動微 分 方 程1121P 1=1 1222P2=1 0222211 122111 mm mmD 頻 率 方 程振 型 方 程 ： 其 中 ： =1/2Y1 ， Y2不 能 全 為 零 。2 )(4)()( 2121122211222211122211112 mmmmmm 2211 1,1 求 得 頻 率 ： 22222211122 12222111121 )()(

16、 )()( YmYmY YmYmY 0)( 0)( 22221211 21221111 YmYm YmYm 頻 率 方 程 和 自 振 頻 率 ：設 各 質 點 按 相 同 頻 率 和 初 相 角 作 簡 諧 振 動)sin()( )sin()( 22 11 tYty tYty Y1 ， Y2是 質 點 位 移 幅 值 222221112 122211111 )()()( )()()( tymtymty tymtymty . .振 動 微 分 方 程體系頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目 主 振 型 (normal mode shape)0222211 122111 mm mmD 頻 率 方 程振

17、型 方 程 ： 其 中 ： =1/2Y1 ， Y2不 能 全 為 零 。0)( 0)( 22221211 21221111 YmYm YmYm 不 能 有 振 型 方 程 求 出 Y1 ， Y2的 解 ， 只 能 求 出 它 們 的 比 值 。第 一 主 振 型 1111 2122111 mmYY第 二 主 振 型 2111 2122212 mmYY 111 21221 mmYY頻率的數(shù)目總等于其自由度數(shù)目主 振 型 是 體 系 由 此 主 振 型 慣 性 力 幅 值所 引 起 的 靜 力 位 移 。),( 222112 YmYm Y11Y2121221 Ym 11121 Ym Y12Y22

18、22222 Ym12122 Ym 例 求 簡 支 梁 的 自 振 頻 率 和 主 振 型 。 l/3 l/3 l/3解 ： 1） 求 柔 度 系 數(shù) P=1 P=132l 32lEIl2434 32211 EIl4867 32112 2 )(4)()( 2121122211222211122211112 mmmmmm 2 )(4)2(2 22122112111112 mmm mm 121112 mm 121112 EImlmm 312111 48615 EImlmm 312112 4861 322311 221,69.51 mlEImlEI 求 得 頻 率 ：求 得 主 振 型 ： 11111

19、1 2122111 mmYY 112111 2122212 mmYY m m 例 求 簡 支 梁 的 自 振 頻 率 和 主 振 型 。 l/3 l/3 l/3m ml/3另 解 ： 如 果 結 構 本 身 和 質量 分 布 都 是 對 稱 的 ， 則 主振 型 不 是 對 稱 就 是 反 對 稱 。故 可 取 半 邊 結 構 計 算 ： 1 對 稱 情 況 ：EIl1625 3 11 3111 69.51 mlEIm l/9 1 反 對 稱 情 況 ：EIl486322 3 222 221 mlEIm 例 求 圖 a所 示 體 系 的 自 振 頻 率 及 主 振 型 。 梁 EI =常 數(shù)

20、。 lEIm = m m m(a) (b) (c) 反 對 稱l/l/ 正 對 稱2 21 _M1 1 1l/ _M1 _M2l/3 8 l/3 16 l/5 32 l/283解 ： 將 原 結 構 化 成 正 對 稱 和 反 對 稱 半 結 構 分 別 計 算 （ 圖 b、 c） 。 EIlllllEIsEIMM 1925)8318332(22211d 3111 EIlllllEIsEIMM 7687)3253116332(22211d 3222 3111 51921 mlEIm 3222 77681 mlEIm ， 當 =1時 ， 振 型 為 正 對 稱 ， 則 1 2111 YY當 =2

21、時 ， 振 型 為 反 對 稱 ， 則 12212 YY 例 ： 求 圖 示 體 系 對 稱 振 動 情 況 下 的 頻 率 。m m mEI EIEI3m 3m3m3m m/2m 121 0.5 1M 11 0.8750.25 2M 1 1 02M01M 33EIMM 5.4:, 11011 相 乘 EI MMMM 125.1, 2112 021012 相 乘，相 乘 或 EIMM 6875.1:, 22022 相 乘EI5.411 EI125.12112 EI6875.122 2 )(4)()( 2121122211222211122211112 mmmmmm mEImEI 943.01,

22、596.01 2211 )125.16875.15.4(214)6875.125.4()6875.125.4(2 2212 EIm EIm EIm/125.1 /8125.12 12/825.2/5.2 /125.11111 2122111 EImEIm EImmmYY 11/125.1/5.2 /125.12111 2122212 EImEIm EImmmYY 2 1 11 01)1()1()2( 22221212111 mmYYmYYm Yij為 正 時表 示 質 量 mi的運 動 方 向 與 計算 柔 度 系 數(shù) 時置 于 其 上 的 單位 力 方 向 相 同 ，為 負 時 ， 表 示與

23、 單 位 力 方 向相 反 。 0.5a例 試 求 圖 示 梁 的 自 振 頻 率 和 主 振 型 ， 梁 的 EI已 知 。1 2a a am m 解 ： （ 1） 計 算 頻 率1 a 1M1 2M EIaEIaEIa 6,4, 32232112311 1 23 30.967 3.203EI EIma ma （ 2） 振 型( )( ) ( )( )1 21 11 22 21 10.277 3.61Y YY Y 1 0.277第 一 振 型 1 3.61第 二 振 型 例 試 求 結 構 的 自 振 頻 率 和 振 型 . 1l/41l/2 1M 圖 2M 圖m1=mm2=2ml/2 l/

24、2 l/2EI=常 數(shù) 3 3 311 22 12 218 48 32l EI l EI l EI 解 (1)求 柔 度 系 數(shù)(2)求 頻 率m mD m m 11 1 12 2221 1 22 2 21 01 31 32 2.6356.653 EI mlEI ml (3)求 振 型 . Y mY m11 12 221 11 1 21 11 0 305 . Y mY m12 12 222 11 1 22 11 1 639第 一 振 型 第 二 振 型1 0.305 1 1.639 例 求 圖 示 體 系 的 頻 率 、 振 型解 : EIl311 34令 2111 1 m 02/18/3 4

25、/31 032/9)2/1)(1( 1637.0336.1 21 3231 140.2;749.0 mlEImlEI ml EImEI l 1y 2y 12Xm 222 Xm 1X2X11 211 12 221122121211 2 XXmXm 222221221 2 XXmXm 02)1( 211121 XX 0)2( 2112211121 XX l lEIl32112 21EIl322 31 例 求 圖 示 體 系 的 頻 率 、 振 型解 :令 2111 1 m 122121211 2 XXmXm 222221221 2 XXmXm 02)1( 211121 XX 02/18/3 4/3

26、1 032/9)2/1)(1( 1637.0336.1 21 3231 140.2;749.0 mlEImlEI ml EImEI l 1y 2y 12Xm 222 Xm 1X2X11 211 12 221l l23.21 4/3 12111 XX 897.01 4/3 22212 XX 1897.0;123.2 21 XX ml EImEI l 1y 2y 12Xm 222 Xm 1X2X11 211 12 221l l例 求 圖 示 體 系 的 頻 率 、 振 型解 :令 2111 1 m 122121211 2 XXmXm 222221221 2 XXmXm 02)1( 211121 X

27、X 23.21 4/3 12111 XX 897.01 4/3 22212 XX 1897.0;123.2 21 XX 1 23.2 1X 1 897.0 2X y1yiyn ri動 平 衡 方 程 ： ri y1yiynri 應 滿 足 剛 度 方 程 ),.,2,1(.2211 niykykykr niniii kij是 結 構 的 剛 度 系 數(shù) ， 使 點 j產(chǎn) 生 單 位 位 移 （ 其 它 點 位 移 為 零 ）時 在 點 i所 需 施 加 的 力 。 iiym . ),.,2,1(0 nirym iii .多 自 由 度 體 系 0. . 0. 0.2211 222212122

28、121211111 nnnnnnn nnnn ykykykym ykykykym ykykykym . ),.,2,1(.2211 niykykykr niniii 或 ： 設 解 為 ： y=Ysin(t+)得 振 幅 方 程 ： ( K 2 M )Y= 0得 頻 率 方 程 ： K 2 M 0 可 求 出 個 頻 率與 相 應 的 主 振 型 向 量 由 ( K 2 M )Y（ ） = 0不 過 只 能 確 定 主 振 型 的 形 狀 ， 而 不 能 唯 一 地 確 定 它 的 振 幅 。 標 準 化 主 振 型 ： 令 Y1i=1， 或 最 大 元 素 =1等 。 )sin( 2 tYy

29、.),.,2,1(0 nirym iii . 0 yKyM . 0.00. . . 2121 22221 112112121 nnnnn nnnn yyykkk kkk kkkyyymm . 例 ： 質 量 集 中 在 樓 層 上 ， 層 間 側 移 剛 度 如 圖 。 求 自 振 頻 率k11=4k/3解 ： 1） 求 剛 度 系 數(shù) ：m2mm k3k5k k21=-k/3k31=0 k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/5 1k13=0k23=-k/5k33=k/5 剛 度 矩 陣 K 和 質 量 矩 陣 M： 100 010 002330 385 052015 mMkK 11

30、 215,0330 385 0522015 kmk 其 中展 開 得 ： 23 422 225 225 0解 得 ： 1=1.293， 2=6.680， 3=13.027mk0862.021 mk4453.022 mk8685.023 mk2936.0 1 mk6673.02 mk9319.03 2） 求 頻 率 ： 代 入 頻 率 方 程 ： K 2 M 03） 求 主 振 型 ： 振 型 方 程 ： （ K 2 M） Y 0的 后 兩 式 ： （ 令 Y3i=1） 0)3(3 03)8(5 2 21 ii iii Y YY （ a） 01330 385 05220 21 iiiii YY

31、0)3(3 03)8(5 2 21 ii iii Y YY 0707.13 0370.65 21 2111293.11 Y YY 1569.0163.0)1(Y0680.33 03320.15 22 2212680.62 Y YY 1227.1 924.0)2(Y0027.103 03027.55 21 2313027.133 Y YY 1342.3760.2)1(Y10.5690.163 11.2270.924 13.342 2.76 Yij為 正 時 表 示 質量 mi的 運 動 方 向 與 單位 位 移 方 向 相 同 ， 為負 時 ， 表 示 與 單 位 位移 方 向 相 反 。 I

32、KPKP ,利 用 剛 度 法 的 方 程 間 接 導 出 柔 度 法 方 程 ：由 剛 度 法 振 幅 方 程 ： ( K 2 M )Y= 0前 乘 K 1=后 得 ： ( I 2 M )Y= 0令 =1/2 ( M I )Y= 0得 頻 率 方 程 ： M I =0其 展 開 式 : 0)(. . .)( .)( 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nnmmm mmm mmm是 關 于 的 n次 代數(shù) 方 程 ,先 求 出 i再 求 出 頻 率 i將 i代 入 ( M i I )Y(i)= 0可 求 出 n個 主 振 型 . 可 見 剛 度 法 、 柔 度 法 實

33、質 上 是 相 同 的 ， 可 以 互 相 導 出 。 當計 算 體 系 的 柔 度 系 數(shù) 方 便 時 用 柔 度 法 （ 如 梁 ） ； 當 計 算 體 系 的剛 度 系 數(shù) 方 便 時 用 剛 度 法 （ 如 橫 梁 剛 度 為 無 窮 大 的 多 層 剛 架 ） 。 例 ： 質 量 集 中 在 樓 層 上 ， 層 間 側 移 剛 度 如 圖 。 =1/k11=解 ： 1） 求 柔 度 系 數(shù) ：m2mm k3k5k 柔 度 矩 陣 和 質 量 矩 陣 M： 100 010 002941 441 111 mM P=1 2131 P=132=422=4 P=113=23=433=912=

34、21,0942 442 112 mmmIM 0304215 23 展 開 得 :解 之 : 1=11.601， 2=2.246， 3=1.151三 個 頻 率 為 ： m12936.0 1 m16673.02 m19319.03 3） 求 主 振 型 ： （ 令 Y3i=1） 將 1代 入 振 型 方 程 ： （ M 1I） Y 0的 前 兩 式 ： 0460.72 0160.9 2111 2111 YY YY 2） 求 頻 率 ： 1569.0163.0)1(Y解 得 ： 同 理 可 得 第 二 、第 三 振 型 例 試 求 結 構 的 自 振 頻 率 和 振 型 .EI=常 數(shù)m ml/4

35、 l/4 l/4 l/4m13l/16 1l/41M 圖 2M 圖 13l/163M 圖 311 33 322 312 21 23 32313 31 976816768 117687768lEIlEI lEIlEI 解 (1)求 柔 度 系 數(shù) (2)求 頻 率 m m mD m m mm m m11 1 12 2 13 3221 1 22 2 23 32 31 1 33 1 33 3 21 1 011 2 23 3 34.933 19.569 41.59EI EI EIml ml ml (3)求 振 型 M I Y21 0令 每 個 振 型 的 第 一 個 元 素 為 1， 得( ) ( )

36、 ( ) TT T. . 123 1 1 414 11 0 11 1 414 1YYY1 1.414 1第 三 振 型 (正 對 稱 )第 二 振 型 (反 對 稱 )1 1第 一 振 型 (正 對 稱 ) 1 1.414 1 幾 點 說 明 ：1)按 振 型 作 自 由 振 動 時 ， 各 質 點 的 速 度 的 比 值 也 為 常 數(shù) ，且 與 位 移 比 值 相 同 。 211111121 1111121 YY)cos(Y )cos(Y)()( ttty ty2)發(fā) 生 按 振 型 的 自 由 振 動 是 有 條 件 的 . 211121211121 YY)0( )0(,YY)0( )0

37、( yyyy 4)N自 由 度 體 系 有 N個 頻 率 和 N個 振 型 02 mk 頻 率 方 程解 頻 率 方 程 得 ,從 小 到 大 排 列 N 21,依 次 稱 作 第 一 頻 率 ,第 二 頻 率 .第 一 頻 率 稱 作 基 本 頻 率 ,其 它 為 高 階 頻 率 .將 頻 率 代 入 振 型 方 程 ),2,1(Y Ni i 得 N個 振 型 0Y)( 2 mk N個 振 型 是 線 性 無 關 的 . 3)振 型 與 頻 率 是 體 系 本 身 固 有 的 屬 性 ,與 外 界 因 素 無 關 . 多 自 由 度 體 系 自 由 振 動 的 計 算 步 驟 ：建 立 體 系 自 身 的 質 量 矩 陣 M： 根 據(jù) 頻 率 方 程 計 算 結 構 的 各 階 自 振 頻 率 i nmmmM 0 021 計 算 體 系 自 身 的 剛 度 矩 陣 K或 柔 度 矩 陣 ： nnnn nnkkk kkk kkkK 21 22221 11211 11 12 121 22 11 2 nnn n nnf f ff f ff f f 21 0M I 02 MK 計 算 結 構 的 主 振 型 向 量 Yi2( ) 0K M Y 21 0M I Y