(普通班)高三數(shù)學一輪復習 第十四篇 不等式選講 第2節(jié) 證明不等式的基本方法基礎(chǔ)對點練 理-人教版高三全冊數(shù)學試題
第2節(jié)證明不等式的基本方法【選題明細表】知識點、方法題號比較法證明不等式1綜合法證明不等式3分析法證明不等式2分析綜合法證明不等式41.設(shè)a>b>0,求證:>.證明:法一-=,因為a>b>0,所以a-b>0,ab>0,a2+b2>0,a+b>0.所以->0,所以>.法二因為a>b>0,所以a+b>0, a-b>0.所以=·=1+>1.所以>.2.設(shè)x1,y1,求證x+y+xy.證明:由于x1,y1,要證x+y+xy,只需證xy(x+y)+1y+x+(xy)2.因為y+x+(xy)2-xy(x+y)+1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),由條件x1,y1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)0,從而所要證明的不等式成立.3.(2015高考湖南卷)設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明:(1)a+b2;(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.證明:由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.4.設(shè)a>0,b>0,c>0,求證:+.證明:要證+,只需證+1+1+1,只需證+,只需證(a+b+c) (+).因為(a+b+c) (+)= (b+c)+(a+c)+(a+b)·(+)×3×3×=,當且僅當a=b=c時“=”成立,故原不等式成立.