（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第八篇《第48講　空間幾何體的表面積與體積》理（含解析） 蘇教版

A級基礎(chǔ)達標演練(時間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1(2011·常州模擬)在三棱錐S­ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點的等腰直角三角形，且ABBCCA2，則三棱錐S­ABC的表面積是_解析設側(cè)棱長為a，則a2，a，側(cè)面積為3××a23，底面積為×22，表面積為3.答案32(2010·湖北)圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是_cm. 解析設球的半徑為r cm，則r2×8r3×3r2×6r.解得r4 cm.答案43(2010·蘇州模擬)如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是_ 解析由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為，連接頂點和底面中心即為高，可求得高為，所以體積V×1×1×.答案4(2011·揚州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1­ABC1的體積為_ 解析三棱錐B1­ABC1的體積等于三棱錐A­B1BC1的體積，三棱錐A­B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××.答案5某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑40 mm，滿盤時直徑120 mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1 mm，則滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約是_m(取3.14，精確到1 m) 解析衛(wèi)生紙總長度為3.14×32 000100 480(mm)100(m)答案1006(2010·蘇州模擬)已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V_.解析該凸多面體由一個正方體及一個正四棱錐組成，因為正方體的棱長為1，所以V正方體131，因為正四棱錐的棱長全為1，所以正四棱錐的底面積為1×11，又因為正四棱錐的高為，所以此凸多面體的體積V1×1×1.答案17空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離，平面，兩兩互相垂直，點A，點A到平面，的距離都是3，點P是上的動點，且滿足P到的距離是P到點A距離的2倍，則點P到平面的距離的最小值為_解析由題意，可在平面建立直角坐標系如圖所示，問題變?yōu)橐阎狿B2PA，求PC的最小值，設P(x，y)，則有3x2，即4y23(x1)21212，y，所以PC3y3，故所求的最小值為3. 答案3二、解答題(每小題15分，共45分)8在四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當四面體的體積最大時，求其表面積解(1)如圖，在四面體ABCD中，設ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中點為P，BC的中點為E，連接BP、EP、CP.得到AD平面BPC，VABCDVABPCVDBPC·SBPC·APSBPC·PD·SBPC·AD··a ·x·a3(當且僅當xa時取等號)該四面體的體積的最大值為a3.(2)由(1)知，ABC和BCD都是邊長為a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為a，S表2×a22××a× a2a×a2a2.9一個正三棱錐的底面邊長為6，側(cè)棱長為，求這個三棱錐的體積 解如圖所示，正三棱錐S ­ABC.設H為正ABC的中心，連接SH，則SH的長即為該正三棱錐的高連接AH并延長交BC于E，則E為BC的中點，且AHBC.因為ABC是邊長為6的正三角形，AE×63，所以AHAE2.在ABC中，SABCBC·AE×6×39.在RtSHA中，SA，AH2，所以SH，故V正三棱錐SABC·SH×9×9.10如圖所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1的底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長等于b，一條側(cè)棱AA1和底面相鄰兩邊AB、AC都成45°角，求這個三棱柱的側(cè)面積 解求斜棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法：一是定義法；二是公式法因為AA1和底面AB、AC成等角，且為45°角，所以A1在底面ABC上的射影在BAC的平分線AG上，又ABC為正三角形，所以AGBC.因為A1A在底面ABC上的射影在AG上，所以BCA1A.又A1AB1B，所以B1BBC，即側(cè)面B1BCC1為矩形所以SB1BCC1B1B·BCab.又側(cè)面A1ABB1和側(cè)面A1ACC1都是平行四邊形，且全等，所以SA1ABB1SA1ACC1A1A·AB·sin 45°ab，故S側(cè)(1)ab.B級綜合創(chuàng)新備選(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1(2011·南京模擬)用半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個圓錐桶，那么這個圓錐的高是_解析底面圓的周長為R，底面圓的半徑為，所以圓錐高為hR. 答案R2(2011·南京調(diào)研)如圖，已知正三棱柱ABC ­A1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為_cm. 解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為13 cm.答案133正方體ABCD ­A1B1C1D1的棱長為2，點M是BC的中點，點P是平面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足PM2，P到直線A1D1的距離為，則點P的軌跡是_解析由PM2，知點P在以M為圓心，2為半徑的圓上又由P到直線A1D1的距離為，知點P在與BC平行且過AB中點的直線上，故點P的軌跡是它們的交點，即為兩點答案兩個點4(2011·揚州中學沖刺)在120°的二面角內(nèi)放置一個小球，它與二面角的兩個面相切于A、B兩點，這兩個點的距離AB5，則小球的半徑為_解析如圖，在ABC中，ACBC，AB5，ACB120°，所以AOB60°，所以AOB是等邊三角形，OAOBAB5.答案55(2011·南京模擬)如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M為線段B1B上的一動點，則當AMMC1最小時，AMC1的面積為_解析如圖，當AMMC1最小時，BM1，所以AM22，C1M28，AC14，于是由余弦定理，得cosAMC1，所以sinAMC1，SAMC1××2×.答案6如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD­A1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法： 水的部分始終呈棱柱狀；水面四邊形EFGH的面積不改變；棱A1D1始終與水面EFGH平行；當EAA1時，AEBF是定值其中所有正確的命題的序號是_解析觀察圖形并試驗可知正確，不正確；正確中AEB1F，BFA1E，所以AEBFAA1為定值，故正確命題是.答案二、解答題(每小題15分，共30分)7給出一塊邊長為2的正三角形紙片，把它折成一個側(cè)棱長與底面邊長都相等的三棱錐，并使它的全面積與原三角形面積相等，設計一種折疊方法，用虛線標在圖中，并求該三棱錐的體積解取等邊三角形三邊的中點A、B、C，連結(jié)AB、BC、CA得正三角形的三條中位線，以中位線為折線折起三角形，使三角形三頂點重合，則得側(cè)棱長與底面邊長都等于1的三棱錐S­ABC，作SO平面ABC，連結(jié)并延長CO交AB于E，則E是AB的中點，連結(jié)SE.因為O是ABC的內(nèi)心，所以OCCE×在RtSOC中，SC1，SO，故VS­ABCSABC×SO×CE×AB×SO××1×.8如圖所示，在平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4.將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)求三棱錐E­ABD的側(cè)面積(1)證明在ABD中，因為AB2，AD4，DAB60°，所以BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因為平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.又因為DE平面EBD，所以ABDE.(2)解由(1)知ABBD，因為CDAB，所以CDBD，從而DEBD，在RtDBE中，由DB2，DEDCAB2，得SBDEDB·DE2.又因為AB平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因為BEBCAD4，所以SABEAB·BE4，因為DEBD，平面EBD平面ABD，所以ED平面ABD，而AD平面ABD，所以EDAD，所以SADEAD·DE4.綜上，三棱錐E­ABD的側(cè)面積S82.