（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法(2)——求空間角與距離》理（含解析） 蘇教版

A級基礎(chǔ)達標(biāo)演練(時間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1上的動點，則直線NO、AM的位置關(guān)系是_ 解析建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，·0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直答案異面垂直2在正方體ABCD­A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點，則sin，的值為_解析設(shè)正方體的棱長為2，以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，.答案3在長方體ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案4(2011·全國卷改編)已知直二面角l，點A，ACl，C為垂足，點B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則CD_.解析如圖，建立直角坐標(biāo)系D­xyz，由已知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案5在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中點，G是DD1中點，F(xiàn)是BC上一點且FBBC，則GB與EF所成的角為_解析如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件G，B，E，F(xiàn)，cos，0，則.答案90°6正四棱錐S ­ABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC的夾角的大小為_解析如圖所示，以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系O­xyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.則(2a,0,0)，(a，a,0)設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n.，n60°，直線BC與平面PAC的夾角為90°60°30°.答案30°7(2011·全國卷改編)已知點E、F分別在正方體ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_解析如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn)，設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，面AEF與面ABC所成的二面角為由令y1，z3，x1，則n(1,1，3)平面ABC的法向量為m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案二、解答題(每小題15分，共45分)8如圖，已知四棱錐P­ABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值解以H為原點，HA、HB、HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)(1)證明設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，則D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因為·00，所以PEBC.(2)由已知條件及(1)可得m，n1，則P(0,0,1)，(1,0,1)由(1)知為面PEH的一個向量，因此直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.9如圖所示，在四棱錐A­BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC底面BCDE，BC2，CD，ABAC.(1)證明：ADCE；(2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形，求二面角C­AD­E的大小(1)證明取BC中點O，連接AO，則AOBC由已知條件AO平面BCDE，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A(0,0，t)，D(1，0)C(1,0,0)，E(1，0)，(1，t)(2，0)則·0，因此ADCE.(2)解作CFAD垂足為F，連接EF，則AD平面CEF從而EFAD則CFE為二面角C­AD­E的平面角在RtACD中，CF，在等腰ADE中，EF，cosCFE.二面角C-AD-E的余弦值為.10(2011·揚州調(diào)研)如圖，在三棱錐P­ABC中，PB底面ABC，BCA90°，PBBCCA4，點E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點，求二面角A­BE­F的余弦值解如圖，以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則B(0,0，0)，A(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0,0，4)，E(0，2，2)，F(xiàn)(2，2，2)因為PB平面ABC，所以PBAC.又ACCB，所以AC平面PBC.所以ACPC.所以EFPC. 又BEPC，所以PC平面BEF.而(0,4，4)，所以平面BEF的一個法向量n1(0,1，1)設(shè)平面ABE的一個法向量n2(x，y，z)，則取x1，則平面ABE的一個法向量n2(1，1,1)所以cosn1，n2.由圖知二面角ABEF的平面角為銳角所以二面角A­BE­F的平面角的余弦值為.B級綜合創(chuàng)新備選(時間：40分鐘滿分：90分)一、填空題(每小題5分，共15分)1如圖，在四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MPMC，則點M 在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為_ 解析以D為原點，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖：設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長為a，則P，C(0，a,0)，則MC，MP.由MPMC得x2y，所以點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線yx的一部分答案2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點P在線段BD1上，當(dāng)APC最大時，三棱錐PABC的體積為_解析以B為坐標(biāo)原點，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)設(shè)B，可得：P(，)再由cos APC可求得當(dāng)時，APC最大故VPABC××1×1×.答案3P是二面角­AB­棱上的一點，分別在、平面上引射線PM、PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么二面角­AB­的大小為_解析不妨設(shè)PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45°，PEa，PFb，·()·()····abcos 60°a×bcos 45°abcos 45°a×b0，二面角­AB­的大小為90°.答案90°二、解答題(每小題15分，共75分)4(2011·南京模擬)如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ACB90°，BAC30°，BC1，A1A，M是CC1的中點(1)求證：A1BAM；(2)求二面角B ­AM­C的平面角的大小(1)證明以點C為原點，CB、CA、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，如圖所示，則B(1,0,0)，A(0，0)，A1(0，)，M.所以(1，)，.因為·1×0()×()()×0，所以A1BAM.(2)解因為ABC ­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又BC平面ABC，所以CC1BC.因為ACB90°，即BCAC，所以BC平面ACC1，即BC平面AMC.所以是平面AMC的一個法向量，(1,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面BAM的一個法向量，(1，0)，.由得令x，得y，z2.所以n(，2)因為|1，|n|2，所以cos，n，因此二面角B ­AM­C的大小為45°.5(2011·蘇錫常鎮(zhèn)揚五市調(diào)研)如圖，正方體ABCD ­A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別在棱AA1和CC1上(含線段端點)(1)如果AEC1F，試證明B，E，D1，F(xiàn)四點共面；(2)在(1)的條件下，是否存在一點E，使得直線A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，確定點E的位置；如果不存在，試說明理由(1)證明以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AEGFt. 則B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(xiàn)(1,1,1t)，其中0t1.則(1,0，t)，所以BEFD1.所以B，E，D1，F(xiàn)四點共面(2)解(1,0,1)，(1,0，t)，(0,1,1t)，可求平面BFE的法向量n(t，t1,1)，若直線A1B與平面BFE所成的角等于，則有sin，即，解得t0，所以點E存在，且坐標(biāo)為E(0,0,0)，即E在頂點A處6(2011·南通調(diào)研)在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1EEO.(1)若1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值；(2)若平面CDE平面CD1O，求的值解(1)不妨設(shè)正方體的棱長為1，以，為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D ­xyz.則A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，(1)由題意知E.于是，(0，1,1)由cos，.所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面CD1O的法向量為m(x1，y1，z1)，由m·0，m·0，得取x11，得y1z11，即m(1,1,1)由D1EEO，則E，.又設(shè)平面CDE的法向量為n(x2，y2，z2)，由n·0，n·0，得取x22，得z2，即n(2,0，)因為平面CDE平面CD1O，所以m·n0，得2.7(2011·常州調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，已知PB底面ABCD，ABBC，ADBC，ABAD2，CDPD，異面直線PA和CD所成角等于60°. (1)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；(2)在棱PA上是否存在一點E，使得二面角ABED的余弦值為？若存在，指出點E在棱PA上的位置；若不存在，說明理由解如圖，以B為原點，BA，BC，BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BCa，BPb，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)P(2,2，b)，C(2,2a,0)，CDPD，C·P0.442a0，a4.又P(2,0，b)，C(2，2,0)，異面直線PA和CD所成角等于60°，即，解得b2.(1)P(0,4，2)，A(0,2,0)，P(2,0，2)設(shè)平面PAD的一個法向量為n1(x1，y1，z1)，則由得取n1(1,0,1)，sin ，直線PC和平面PAD所成角的正弦值為.(2)假設(shè)存在，設(shè)PP，且E(x，y，z)，則(x，y，z2)(2,0，2)，E(2，0,22)設(shè)平面DEB的一個法向量為n2(x2，y2，z2)，則由得取n2(1,1，)，又平面ABE的法向量n3(0,1,0)，由cos ，得，解得或2(不合題意)存在這樣的E點，E為棱PA上的靠近A的三等分點8(2010·山東)如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45°，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形 (1)求證：平面PCD平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD所成角的大小；(3)求四棱錐P­ACDE的體積(1)證明在ABC中，因為ABC45°，BC4，AB2，所以AC2AB2BC22AB·BC·cos 45°8，因此AC2，故BC2AC2AB2，所以BAC90°.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC.又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)解法一因為PAB是等腰三角形，所以PAAB2，因此PB4.又ABCD，所以點B到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離，由于平面PCD平面PAC，在RtPAC中，PA2，AC2，所以PC4，故PC邊上的高為2，此即為點A到平面PCD的距離所以B到平面PCD的距離為h2.設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為，則sin .又，所以.法二由(1)知AB，AC，AP兩兩相互垂直，分別以AB、AC、AP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2.又AC2， 因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)因為ACED，CDAC，所以四邊形ACDE是直角梯形因為AE2，ABC45°，AEBC，所以BAE135°，因此CAE45°，故CDAE·sin 45°2×，所以D(，2，0)因此(0，2，2)，(，0,0)設(shè)m(x，y，z)是平面PCD的一個法向量，則m·0，m·0，解得x0，yz，取y1，得m(0,1,1)又(2，0,2)，設(shè)表示向量與平面PCD的法向量m所成的角，則cos ，所以，因此直線PB與平面PCD所成的角為.(3)解因為ACED，CDAC，所以四邊形ACDE是直角梯形因為AE2，ABC45°，AEBC，所以BAE135°，因此CAE45°，故CDAE·sin 45°2×，EDACAE·cos 45°22×，所以S四邊形ACDE ×3.又PA平面ABCDE，所以VP­ACDE×3×22.