（江蘇專用）高考數學 考前三個月 必考題型過關練 第35練 與拋物線相關的熱點問題 理

第35練與拋物線相關的熱點問題題型一拋物線的定義及其應用例1設P是拋物線y24x上的一動點，(1)求點P到A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，拋物線的焦點為F，求PBPF的最小值破題切入點畫出圖形，結合拋物線的定義，轉化為共線問題解(1)由于A(1,1)，F(1,0)，P是拋物線上的任意一點，則APPFAF，從而知點P到A(1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點P到A(1,1)的距離與P到直線x1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示，自點B作BQ垂直于拋物線的準線于點Q，交拋物線于點P1，此時P1QP1F，那么PBPFP1BP1QBQ4，即PBPF的最小值為4.題型二拋物線的標準方程及性質例2(1)設M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是_(2)如圖所示是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m水位下降1 m后，水面寬_ m.破題切入點準確求出拋物線方程并結合其簡單幾何性質作答答案(1)(2，)(2)2解析(1)x28y，焦點F的坐標為(0,2)，準線方程為y2.由拋物線的定義知FMy02.以F為圓心、FM為半徑的圓的標準方程為x2(y2)2(y02)2.由于以F為圓心、FM為半徑的圓與準線相交，又圓心F到準線的距離為4，故4<y02，y0>2.(2)建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x22py(p>0)，則A(2，2)，將其坐標代入x22py得p1.x22y.水位下降1 m，得D(x0，3)(x0>0)，將其坐標代入x22y，得x6，x0.水面寬CD2 m.題型三直線和拋物線的位置關系例3已知拋物線C：y22px(p>0)過點A(1，2)(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由破題切入點(1)將點代入易求方程(2)假設存在，根據條件求出，注意驗證解(1)將(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，所以p2.故所求的拋物線C的方程為y24x，其準線方程為x1.(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y2xt.由得y22y2t0.因為直線l與拋物線C有公共點，所以48t0，解得t.由直線OA到l的距離d，可得，解得t±1.又因為1，)，1，)，所以符合題意的直線l存在，其方程為2xy10.總結提高(1)拋物線沒有中心，只有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸且離心率為e1，所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質，可以借助幾何知識來解決(2)拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應關系，將拋物線y22px關于y軸、直線xy0與xy0對稱變換可以得到拋物線的其他三種形式；或者將拋物線y22px繞原點旋轉±90°或180°也可以得到拋物線的其他三種形式，這是它們的內在聯(lián)系(3)拋物線的焦點弦：設過拋物線y22px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2p2，x1x2；若直線AB的傾斜角為，則AB；若F為拋物線焦點，則有.1已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，2)到焦點的距離為4，則m的值為_答案4或4解析設標準方程為x22py(p>0)，由定義知P到準線的距離為4，故24，所以p4，則方程為x28y，代入P點坐標得m±4.2若拋物線y28x的焦點是F，準線是l，則經過點F，M(3,3)且與l相切的圓共有_個答案1解析由題意得F(2,0)，l：x2，線段MF的垂直平分線方程為y(x)，即x3y70，設圓的圓心坐標為(a，b)，則圓心在x3y70上，故a3b70，a73b，由題意得|a(2)|，即b28a8(73b)，即b224b560.又b>0，故此方程只有一個根，于是滿足題意的圓只有一個3已知拋物線y22px(p>0)的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩個點，若PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是_答案2±解析依題意得F(，0)，設P(，y1)，Q(，y2)(y1y2)由拋物線定義及PFQF，得，yy，y1y2.又PQ2，因此|y1|y2|1，點P(，y1)又點P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得PF2，由此解得p2±.4(2014·課標全國改編)設F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為_答案解析由已知得焦點坐標為F(，0)，因此直線AB的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程化簡得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOABOF·|yAyB|××6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xAxB.根據拋物線的定義有ABxAxBp12，同時原點到直線AB的距離為h，因此SOABAB·h.5已知拋物線y28x的準線為l，點Q在圓C：x2y22x8y130上，記拋物線上任意一點P到直線l的距離為d，則dPQ的最小值為_答案3解析如圖所示，由題意，知拋物線y28x的焦點為F(2,0)，連結PF，則dPF.圓C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圓心為C(1,4)，半徑r2.dPQPFPQ，顯然，PFPQFQ(當且僅當F，P，Q三點共線時取等號)而FQ為圓C上的動點Q到定點F的距離，顯然當F，Q，C三點共線時取得最小值，最小值為CFr2523.6過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點若AF3，則AOB的面積為_答案解析如圖所示，由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1,0)，又AF3，由拋物線定義知：點A到準線x1的距離為3，點A的橫坐標為2.將x2代入y24x得y28，由圖知點A的縱坐標y2，A(2,2)，直線AF的方程為y2(x1)聯(lián)立直線與拋物線的方程解之得或由圖知B，SAOBOF·|yAyB|×1×|2|.7過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若AB，AF<BF，則AF_.答案解析2，ABAFBF，AF<BF，AF，BF.8設F為拋物線C：y24x的焦點，過點P(1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點，若FQ2，則直線l的斜率為_答案±1解析設直線l的斜率等于k，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線l為yk(x1)與拋物線C：y24x聯(lián)立得k2x2(2k24)xk20，則有x1x21，x1x22，因此可得Q(1，)，因F(1,0)，由FQ2，則有(2)2()24，解得k21，所以k±1.9在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y24x的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點，其中點A在x軸上方若直線l的傾斜角為60°.則OAF的面積為_答案解析由題意，得直線AB方程為y(x1)，與拋物線方程y24x聯(lián)立，求得交點A的坐標為(3,2)，利用三角形面積公式即可求得SOAF×1×2.10(2013·江西)拋物線x22py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線1相交于A、B兩點，若ABF為等邊三角形，則p_.答案6解析因為ABF為等邊三角形，所以由題意知B，代入方程1得p6.11(2014·大綱全國)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，直線y4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且QFPQ.(1)求C的方程；(2)過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程解(1)設Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以PQ，QFx0.由題設得×，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程為y24x.(2)依題意知l與坐標軸不垂直，故可設l的方程為xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24m，y1y24.故設AB的中點為D(2m21,2m)，AB|y1y2|4(m21)又l的斜率為m，所以l的方程為xy2m23.將上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.設M(x3，y3)，N(x4，y4)，則y3y4，y3y44(2m23)故設MN的中點為E(2m23，)，MN |y3y4|，由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于AEBEMN，從而AB2DE2MN2，即4(m21)2(2)2(2m)2，化簡得m210，解得m1或m1.所求直線l的方程為xy10或xy10.12(2014·湖北)在平面直角坐標系xOy中，點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)設斜率為k的直線l過定點P(2,1)，求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍解(1)設點M(x，y)，依題意得MF|x|1，即|x|1，化簡整理得y22(|x|x)故點M的軌跡C的方程為y2(2)在點M的軌跡C中，記C1：y24x(x>0)，C2：y0(x0)依題意，可設直線l的方程為y1k(x2)由方程組可得ky24y4(2k1)0.(*1)當k0時，此時y1.把y1代入軌跡C的方程，得x.故此時直線l：y1與軌跡C恰好有一個公共點(，1)當k0時，方程(*1)根的判別式為16(2k2k1)(*2)設直線l與x軸的交點為(x0,0)，則由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k<1或k>.即當k(，1)(，)時，直線l與C1沒有公共點，與C2有一個公共點，故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點()若或由(*2)(*3)解得k1，或k<0.即當k1，時，直線l與C1只有一個公共點，與C2有一個公共點當k，0)時，直線l與C1有兩個公共點，與C2沒有公共點故當k，0)1，時，直線l與軌跡C恰好有兩個公共點()若由(*1)(*2)解得1<k<或0<k<.即當k(1，)(0，)時，直線l與C1有兩個公共點，與C2有一個公共點，故此時直線l與軌跡C恰好有三個公共點綜合可知，當k(，1)(，)0時，直線l與軌跡C恰好有一個公共點；當k，0)1，時，直線l與軌跡C恰好有兩個公共點；當k(1，)(0，)時，直線l與軌跡C恰好有三個公共點