（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 高考專題突破五 高考中的圓錐曲線問題教師用書 文 蘇教版-蘇教版高三數(shù)學試題

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1、高考專題突破五 高考中的圓錐曲線問題 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2015·課標全國Ⅱ改編)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為________． 答案　 解析　如圖，設雙曲線E的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則AB＝2a，由雙曲線的對稱性，可設點M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MN⊥x軸于點N(x1,0)， ∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°， ∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin 60°＝a， x1＝OB＋BN＝a＋2ac

2、os 60°＝2a.將點M(x1，y1)的坐標代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝. 2.如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－2，0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足OP＝OF，且PF＝4，則橢圓C的方程為______________． 答案?。? 解析　設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，焦距為2c，右焦點為F′，連結PF′，如圖所示，因為F(－2，0)為C的左焦點，所以c＝2. 由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′. 在Rt△PFF′中，由勾股定理， 得PF′＝＝＝8. 由橢圓定義，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12， 所以a＝6，

3、a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以橢圓的方程為＋＝1. 3．設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________． 答案　 解析　由已知得焦點坐標為F(，0)， 因此直線AB的方程為y＝(x－)， 即4x－4y－3＝0. 方法一　聯(lián)立直線方程與拋物線方程化簡得 4y2－12y－9＝0， 故|yA－yB|＝＝6. 因此S△OAB＝·OF·|yA－yB|＝××6＝. 方法二　聯(lián)立方程得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝. 根據(jù)拋物線的定義有AB＝xA＋xB＋p＝＋＝12， 同

4、時原點到直線AB的距離為h＝＝， 因此S△OAB＝·AB·h＝. 4．(2016·北京)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則a＝________. 答案　2 解析　設B為雙曲線的右焦點，如圖所示．∵四邊形OABC為正方形且邊長為2， ∴c＝OB＝2， 又∠AOB＝，∴＝tan＝1，即a＝b. 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 5．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為____________． 答案　－

5、＝1 解析　由題意得，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點坐標為(，0)，(－，0)，c＝且雙曲線的離心率為2×＝＝?a＝2，b2＝c2－a2＝3， 所以雙曲線的方程為－＝1. 題型一　求圓錐曲線的標準方程 例1　已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，則橢圓的方程為______________． 答案?。?或＋＝1 解析　設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，PF1＝，PF2＝. 由橢圓的定義，知2a＝PF1＋PF2＝2，即a＝. 由PF1>PF2知，PF2垂直于長軸． 故在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－

6、PF＝， ∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝. 又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為＋＝1或＋＝1. 思維升華　求圓錐曲線的標準方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質，解得標準方程中的參數(shù)，從而求得方程． 　(2015·天津改編)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0 )的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為________________． 答案　x2－＝1 解析　雙曲線－＝1的一個焦點為F(2,0)， 則a2＋b2＝4， ① 雙曲線的漸近線方程為y＝±x，

7、由題意得＝， ② 聯(lián)立①②解得b＝，a＝1， 所求雙曲線的方程為x2－＝1. 題型二　圓錐曲線的幾何性質 例2　(1)(2015·湖南改編)若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為________． (2)(2016·天津改編)設拋物線y2＝2px (p>0)的焦點為F，準線為l.過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B.設C，AF與BC相交于點E.若CF＝2AF，且△ACE的面積為3，則p的值為________． 答案　(1)　(2) 解析　(1)由條件知y＝－x過點(3，－4)，∴＝4， 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2

8、－9a2＝16a2， ∴25a2＝9c2，∴e＝. (2)∵拋物線方程為y2＝2px(p>0)， ∴F， AB＝AF＝p， 可得A(p，p)． 易知△AEB∽△FEC，∴＝＝， 故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p× ＝p2＝3， ∴p2＝6，∵p>0，∴p＝. 思維升華　圓錐曲線的幾何性質是高考考查的重點，求離心率、準線、雙曲線漸近線，是?？碱}型，解決這類問題的關鍵是熟練掌握各性質的定義，及相關參數(shù)間的聯(lián)系．掌握一些常用的結論及變形技巧，有助于提高運算能力． 　已知橢圓＋＝1(a>b>0)與拋物線y2＝2px(p>0)有相同的焦點F，P，Q是橢圓與拋物線的交點，若P

9、Q經(jīng)過焦點F，則橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為____________． 答案　－1 解析　因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F為，設橢圓另一焦點為E. 當x＝時，代入拋物線方程得 y＝±p， 又因為PQ經(jīng)過焦點F，所以P且PF⊥OF. 所以PE＝ ＝p， PF＝p，EF＝p. 故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1. 題型三　最值、范圍問題 例3　設橢圓M：＋＝1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長軸長為4. (1)求橢圓M的方程； (2)若直線y＝x＋m交橢圓M于A，B兩點，P(1，)為橢圓M上一點，求△PAB面積的最

10、大值． 解　(1)雙曲線的離心率為， 則橢圓的離心率e＝＝， 由? 故橢圓M的方程為＋＝1. (2)由得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2

11、法、導數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值與范圍． 　直線l：x－y＝0與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點，點C是橢圓上的動點，則△ABC面積的最大值為________． 答案　 解析　由得3x2＝2， ∴x＝±，設點A在第一象限， ∴A(，)，B(－，－)，∴AB＝. 設與l平行的直線l′：y＝x＋m與橢圓相切于P點． 則△ABP面積最大． 由得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， ∴Δ＝(4m)2－4×3×(2m2－2)＝0， ∴m＝±.∴P到AB的距離即為l與l′的距離， ∴d＝.∴S△ABC＝××＝. 題型四　定值、

12、定點問題 例4　(2016·全國乙卷)設圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. (1)證明EA＋EB為定值，并寫出點E的軌跡方程； (2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍． 解　(1)因為AD＝AC，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED，故EA＋EB＝EA＋ED＝AD. 又圓A的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而AD＝4， 所以EA＋EB＝4. 由題設得A(－1,0)，B

13、(1,0)，AB＝2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為＋＝1(y≠0)． (2)當l與x軸不垂直時，設l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 所以MN＝|x1－x2|＝. 過點B(1,0)且與l垂直的直線m：y＝－(x－1)， 點A到m的距離為， 所以PQ＝2＝4. 故四邊形MPNQ的面積 S＝MN·PQ＝12. 可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8)． 當l與x軸垂直時，其方程為x＝1，MN＝3，PQ＝8，四邊形MPNQ的面積

14、為12. 綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8)． 思維升華　求定點及定值問題常見的方法有兩種 (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關． (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 　(2016·北京)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面積為1. (1)求橢圓C的方程； (2)設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：AN·BM為定值． (1)解　由已知＝，ab＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝. ∴橢圓方程為＋y2＝

15、1. (2)證明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 設橢圓上一點P(x0，y0)，則＋y＝1. 當x0≠0時，直線PA方程為y＝(x－2)， 令x＝0，得yM＝. 從而BM＝|1－yM|＝. 直線PB方程為y＝x＋1. 令y＝0，得xN＝. ∴AN＝|2－xN|＝. ∴AN·BM＝· ＝· ＝ ＝＝4. 當x0＝0時，y0＝－1，BM＝2，AN＝2， ∴AN·BM＝4. 故AN·BM為定值． 題型五　探索性問題 例5　(2015·廣東)已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1的圓心坐標； (2)

16、求線段AB的中點M的軌跡C的方程； (3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由． 解　(1)圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0可化為(x－3)2＋y2＝4，∴圓C1的圓心坐標為(3,0)． (2)設M(x，y)， ∵A，B為過原點的直線l與圓C1的交點，且M為AB的中點， ∴由圓的性質知MC1⊥MO， ∴·＝0. 又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)， ∴由向量的數(shù)量積公式得x2－3x＋y2＝0. 易知直線l的斜率存在， ∴設直線l的方程為y＝mx， 當直線l與圓C1相切時，d＝＝2， 解得m＝

17、±. 把相切時直線l的方程代入圓C1的方程， 化簡得9x2－30x＋25＝0，解得x＝. 當直線l經(jīng)過圓C1的圓心時，M的坐標為(3,0)． 又∵直線l與圓C1交于A，B兩點，M為AB的中點， ∴

18、. 當Δ＝0時，解得k2＝，即k＝±，此時方程可化為25x2－120x＋144＝0，即(5x－12)2＝0， 解得x＝∈，∴k＝±滿足條件． 當Δ>0時， ①若x＝3是方程的解，則f(3)＝0?k＝0?另一根為x＝0<，故在區(qū)間上有且僅有一個根，滿足題意； ②若x＝是方程的解，則f＝0?k＝±?另外一根為x＝，<≤3，故在區(qū)間上有且僅有一個根，滿足題意； ③若x＝3和x＝均不是方程的解，則方程在區(qū)間上有且僅有一個根，只需f·f(3)<0?－

19、將不確定性問題明朗化．其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在． (2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法． 　(2016·蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江二模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(1，)，過橢圓的左頂點A作直線l⊥x軸，點M為直線l上的動點(點M與點A不重合)，點B為橢圓的右頂點，直線BM交橢圓C于點P. (1)求橢圓C的方程； (2)求證：AP⊥OM； (3)試問

20、：·是否為定值？若是定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由． (1)解　因為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為， 所以a2＝2c2，所以a2＝2b2. 又因為橢圓C過點(1，)，所以＋＝1， 所以a2＝4，b2＝2，所以橢圓C的方程＋＝1. (2)證明　設直線BM的斜率為k，則直線BM的方程為y＝k(x－2)，設P(x1，y1)， 將y＝k(x－2)代入橢圓C的方程＋＝1中， 化簡得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0， 解得x1＝，x2＝2， 所以y1＝k(x1－2)＝， 從而P(，)． 令x＝－2，得y＝－4k， 所以M(－2，－4k)，＝(－2，－

21、4k)． 又因為＝(＋2，)＝(，)， 所以·＝＋＝0， 所以AP⊥OM. (3)解　因為·＝(，)·(－2，－4k) ＝＝＝4， 所以·為定值4. 1．(2015·陜西)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)，經(jīng)過點A(0，－1)，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q(均異于點A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2. (1)解　由題設知＝，b＝1， 結合a2＝b2＋c2，解得a＝， 所以橢圓的方程為＋y2＝1. (2)證明　由題設知，直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2

22、＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0， 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 從而直線AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋＝＋ ＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2. 2．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為3，其中一條漸近線的方程為x－y＝0.以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E，過原點O的動直線與橢圓E交于A，B兩點． (1)求橢圓E的方程； (2)若點P為橢圓E的左頂點，＝2，求||2＋||2的取值范圍． 解

23、　(1)由雙曲線－＝1的焦距為3， 得c＝，∴a2＋b2＝. ① 由題意知＝， ② 由①②解得a2＝3，b2＝， ∴橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)由(1)知P(－，0)． 設G(x0，y0)，由＝2， 得(x0＋，y0)＝2(－x0，－y0)， 即解得∴G(－，0)． 設A(x1，y1)，則B(－x1，－y1)， ||2＋||2＝(x1＋)2＋y＋(x1－)2＋y ＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋ ＝x＋. 又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]， ∴≤x＋≤， ∴||2＋||2的取值范圍是[，]． 3．已知橢圓＋＝1的左頂點

24、為A，右焦點為F，過點F的直線交橢圓于B，C兩點． (1)求該橢圓的離心率； (2)設直線AB和AC分別與直線x＝4交于點M，N，問：x軸上是否存在定點P使得MP⊥NP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由． 解　(1)由橢圓方程可得a＝2，b＝， 從而橢圓的半焦距c＝＝1. 所以橢圓的離心率為e＝＝. (2)依題意，直線BC的斜率不為0， 設其方程為x＝ty＋1，B(x1，y1)，C(x2，y2)， 將其代入＋＝1， 整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0. 所以y1＋y2＝，y1y2＝. 易知直線AB的方程是y＝(x＋2)， 從而可得M(4，)， 同理可得

25、N(4，)． 假設x軸上存在定點P(p,0)使得MP⊥NP， 則有·＝0. 所以(p－4)2＋＝0. 將x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得 (p－4)2＋＝0， 所以(p－4)2＋＝0， 即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7. 所以x軸上存在定點P(1,0)或P(7,0)， 使得MP⊥NP. 4．(2016·蘇北四市聯(lián)考)如圖所示，已知點F1(0，－)，F(xiàn)2(0，)，動點M到F2的距離是4，線段MF1的中垂線交MF2于點P. (1)當點M變化時，求動點P的軌跡G的方程； (2)若斜率為的動直線l與軌跡G相交于A，B兩點，Q(1，)為定點，求△Q

26、AB面積的最大值． 解　(1)如圖，連結PF1. ∵MF2＝4，∴PM＋PF2＝4. 又∵PM＝PF1， ∴PF1＋PF2＝4>F1F2＝2， 由橢圓的定義可知， 動點P的軌跡G是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，其方程為＋＝1. (2)設直線l的方程為y＝x＋m， 代入橢圓方程得(x＋m)2＋2x2＝4， 即4x2＋2mx＋m2－4＝0. 由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0， 得m2<8. 又點Q不在直線l上，所以m≠0，所以0

27、＝× ＝× . 又點Q到直線l的距離d＝， 則S△QAB＝·AB·d＝×× × ＝. 因為≤＝4， 則S△QAB≤，當且僅當m2＝4，即m＝±2時取等號， 故△QAB面積的最大值為. 5.(2016·鹽城三模)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，直線l與x軸交于點E，與橢圓C交于A，B兩點．當直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點時，弦AB的長為. (1)求橢圓C的方程； (2)若點E的坐標為(，0)，點A在第一象限且橫坐標為，連結點A與原點O的直線交橢圓C于另一點P，求△PAB的面積； (3)是否存在點E，使得＋為定值？若存在

28、，請指出點E的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由． 解　(1)由e＝＝，設a＝3k(k>0)，則c＝k，b2＝3k2， 所以橢圓C的方程為＋＝1. 因為直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點， 即xA＝xB＝k， 代入橢圓方程，解得y＝±k，于是2k＝，即k＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)將x＝代入＋＝1，解得y＝±1. 因為點A在第一象限，從而A(，1)． 由點E的坐標為(，0)，所以kAB＝， 所以直線AB的方程為y＝(x－)， 聯(lián)立直線AB與橢圓C的方程，解得B(－，－)． 又PA過原點O，于是P(－，－1)，PA＝4， 所以直線PA的方程為x－y

29、＝0， 所以點B到直線PA的距離h＝＝， 故S△PAB＝×4×＝. (3)假設存在點E，使得＋為定值，設E(x0,0)，當直線AB與x軸重合時，有＋＝＋＝； 當直線AB與x軸垂直時， ＋＝＝， 由＝，解得x0＝±，＝2， 所以若存在點E，此時E(±，0)，＋為定值2. 根據(jù)對稱性，只需考慮直線AB過點E(，0)， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又設直線AB的方程為x＝my＋，與橢圓C聯(lián)立方程組，化簡得(m2＋3)y2＋2my－3＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝. 又＝＝＝， 所以＋＝＋ ＝， 將上述關系代入，化簡可得＋＝2. 綜上所述，存在點E(±，0)，使得＋為定值2.