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1、星期四 (數列問題)
2016年____月____日
在正項數列{an}(n∈N*)中，Sn為{an}的前n項和，若點(an，Sn)在函數y＝的圖象上，其中c為正常數，且c≠1.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)是否存在正整數M，使得當n＞M時，a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101恒成立？若存在，求出使結論成立的c的取值范圍和相應的M的最小值；
(3)若存在一個等差數列{bn}，對任意n∈N*，都有b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＋bna1＝3n－n－1成立，求{bn}的通項公式及c的值．
解 (1)Sn＝，n≥2時，Sn－Sn－1＝－.
a
2、n＝，(c－1)an＝an－1－an，can＝an－1，＝，
∴{an}是等比數列．
將(a1，S1)代入y＝中，得a1＝c，故an＝.
(2)由a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101得
c···…·＞，
∴＞.
若＞1，即0＜c＜1時，n(n－2)＞99，得n＞11或n＜－9(舍去)．
若＜1，即c＞1時，n(n－2)＜99，得－9＜n＜11.
不符合n＞M時，a1·a3·a5·…·a2n－1＞a101恒成立，故舍去，
∴c的取值范圍是(0，1)，相應的M的最小值為11.
(3)由(1)知an＝.由{bn}為等差數列，設bn＝b1＋(n－1)d.
b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＋bna1＝3n－n－1(n∈N*)．①
當n＝1時，b1c＝3－－1＝.②
當n≥2時，b1an－1＋b2an－2＋b3an－3＋…＋bn－2a2＋bn－1a1＝3n－1－(n－1)－1.③
注意到b2－b1＝b3－b2＝…＝bn－bn－1＝d，
①－③得b1an＋d(an－1＋an－2＋…＋a2＋a1)＝3n－3n－1－，將an＝代入上式，
得b1＋＝2×3n－1－，
整理得＋＝2×3n－1－.④
∵④式對一切n(n≥2)恒成立，則必有
解得故bn＝10n－9，c＝.
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