(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法初步、復(fù)數(shù) 第1講 合情推理與演繹推理練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、填空題 1.(2016·西安八校聯(lián)考)觀察一列算式:1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4, 2?3,3?2,4?1,…,則式子3?5是第________項(xiàng). 解析 兩數(shù)和為2的有1個(gè),和為3的有2個(gè),和為4的有3個(gè),和為5的有4個(gè),和為6的有5個(gè),和為7的有6個(gè),前面共有21個(gè),3?5為和為8的第3項(xiàng),所以為第24項(xiàng). 答案 24 2.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=__

2、______. 解析 由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x). 答案?。璯(x) 3.在平面幾何中,有“正三角形內(nèi)切圓半徑等于這個(gè)正三角形高的”.拓展到空間,類比平面幾何的上述正確結(jié)論,則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個(gè)正四面體的高的________. 解析 設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a,高為h,內(nèi)切圓半徑為r,由等面積法知3ar=ah,所以r=h; 同理,由等體積法知4SR=HS,所以R=H. 答案  4.下列推理是歸納推理的是________. ①A,B為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足PA+PB=2a>AB,則P點(diǎn)的軌跡為橢圓; ②由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3

3、,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式; ③由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓+=1的面積S=πab; ④科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇. 解析 從S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,是從特殊到一般的推理,所以②是歸納推理. 答案?、? 5.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10等于________. 解析 觀察規(guī)律,歸納推理. 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知,等式右端的值,從第三項(xiàng)開(kāi)始,后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10+b10=123. 答案 123 6.仔細(xì)觀

4、察下面○和●的排列規(guī)律:○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的○和●,那么在前120個(gè)○和●中,●的個(gè)數(shù)是________. 解析 進(jìn)行分組 ○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……, 則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=,易知f(14)=119,f(15)=135,故n=14. 答案 14 7.(2016·徐州檢測(cè))觀察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……,根據(jù)上述規(guī)律,第n個(gè)等式為_(kāi)____

5、___. 解析 觀察所給等式左右兩邊的構(gòu)成易得第n個(gè)等式為13+23+…+n3==. 答案 13+23+…+n3= 8.(2016·濟(jì)南模擬)有一個(gè)奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下: 1  3  7  13  21  … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 則第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是________. 解析 先求第30行的第1個(gè)數(shù),再求第30行的第3個(gè)數(shù).觀察每一行的第一個(gè)數(shù),由歸納推理可得第30行的第1個(gè)數(shù)是1+4+6+8+10+

6、…+60=-1=929.又第n行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大2n,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大2n+2,所以第30行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大60,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大62,故第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是929+60+62=1 051. 答案 1 051 二、解答題 9.給出下面的數(shù)表序列: 表1    表2    表3 1     1 3    1 3 5        4     4 8             12   … 其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和. 寫(xiě)出表4,驗(yàn)證表4各

7、行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明). 解 表4為      1 3 5 7            4 8 12            12 20             32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列. 將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n,公比為2的等比數(shù)列. 10.f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論

8、,并給出證明. 解 f(0)+f(1)=+ =+=+=, 同理可得f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=. 由此猜想f(x)+f(1-x)=. 證明f(x)+f(1-x)=+ =+=+ ==.                能力提升題組 (建議用時(shí):20分鐘) 11.平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域,則f(n)=________. 解析 1條直線將平面分成1+1個(gè)區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個(gè)區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個(gè)區(qū)域;……;n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=個(gè)區(qū)域. 答

9、案  12.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù). 比如: 他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,…,這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是________(填序號(hào)). ①289;②1 024;③1 225;④1 378. 解析 觀察三角形數(shù):1,3,6,10,…,記該數(shù)列為{an},則a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3, …an=an-1+n. ∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)?an=1+2+3+…+n=,

10、 觀察正方形數(shù):1,4,9,16,…,記該數(shù)列為{bn},則bn=n2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字,分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式,可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225. 答案?、? 13.(2016·南通測(cè)試)已知點(diǎn)A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論>a成立.運(yùn)用類比思想方法可知,若點(diǎn)A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函數(shù)y=sin x(x∈(0,π))的圖象上任意不同兩點(diǎn),則類似地有________成立. 解析 對(duì)于函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點(diǎn)A,B

11、,依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論>a成立;對(duì)于函數(shù)y=sin x(x∈(0,π))的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方, 類比可知應(yīng)有<sin 成立. 答案?。約in 14.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求證:=+,那么在四面體ABCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想,并說(shuō)明理由. 證明 如圖所示,由射影定理,得 AD2=BD·DC,AB2=BD·BC, AC2=BC·DC, ∴= ==. 又BC2=AB2+AC2, ∴==+. 猜想,在四面體ABCD中,AB,AC,AD兩兩垂直, AE⊥平面BCD, 則=++. 證明:如圖,連接BE并延長(zhǎng)交CD于F,連接AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面ACD, 又AF?平面ACD, ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中,AE⊥BF, ∴=+,① 在Rt△ACD中,AF⊥CD, ∴=+,② ① +②得=++.

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