九年級數(shù)學(xué)上冊 211 一元二次方程教學(xué) 新版新人教版

第 二 十 一 章 一 元 二 次 方 程 21.1 一 元 二 次 方 程 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四 知 識 點 一 一 元 二 次 方 程 的 定 義 等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.名 師 解 讀 :由一元二次方程的定義可知,判斷一個方程是否是一元二次方程必須同時滿足三個條件:(1)是整式方程,即分母中不含未知數(shù);(2)只含有一個未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四例 1下面關(guān)于x的方程:ax2+bx+c=0;3(x-9)2-(x+1)2=1;x2+ +5=0;x2-2+5x3-6=0;3x2=3(x-2)2;12x-10=0.其中是一元二次方程的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解 析 :根據(jù)一元二次方程的定義對各方程進行逐一判斷即可:ax2+bx+c=0,當(dāng)a=0時是一元一次方程,3(x-9)2-(x+1)2=1是一元二次方程,x 2+ +5=0是分式方程,x2-2+5x3-6=0.其中是一元三次方程,3x2=3(x-2)2是一元一次方程,12x-10=0是一元一次方程.答 案 :A 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四判斷一個方程是否為一元二次方程,應(yīng)根據(jù)一元二次方程的定義,需要的三個條件缺一不可.當(dāng)一元二次方程比較復(fù)雜不易直接觀察時,要先進行整理,要特別注意二次項系數(shù)是否有為零的可能. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四知 識 點 二 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0).其中ax2是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項.名 師 解 讀 :確定一元二次方程的相關(guān)項和系數(shù)時,一元二次方程必須先化簡整理成一般形式,才能確定其二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)和常數(shù)項.否則容易造成判斷錯誤. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四例 2把下列關(guān)于x的一元二次方程化為一般形式,并寫出二次項系數(shù),一次項系數(shù)和常數(shù)項.(1)3(x-5)=x(x-5);(2)x(x-2)=0;(3)x2-2x+1=2x(x-1).分 析 :根據(jù)去括號、移項、合并同類項,可得一元二次方程的一般形式,在一般形式中ax 2叫二次項,bx叫一次項.其中a,b,c分別叫二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四解 :(1)去括號,得3x-15=x2-5x,移項、合并同類項,得x2-8x+15=0,1是二次項系數(shù),-8是一次項系數(shù),15是常數(shù)項;(2)去括號,得x2-2x=0,1是二次項系數(shù),-2是一次項系數(shù),0是常數(shù)項;(3)去括號,得x2-2x+1=2x2-2x,移項,得x 2-1=0,1是二次項系數(shù),0是一次項系數(shù),-1是常數(shù)項. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四解答此類問題時,先把一元二次方程化成一般形式,再寫出各項系數(shù),整理過程中注意符號的變化,去括號時不要漏乘,移項時要注意符號的變化. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四知 識 點 三 一 元 二 次 方 程 的 根使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.名 師 解 讀 :凡是只含一個未知數(shù)的方程,其解都可以叫做方程的根,但是含有多個未知數(shù)的方程的解不能叫做方程的根,只能叫做方程的解. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四例 3下列哪些數(shù)是方程x2+2x-8=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.分 析 :方程的根即方程的解,也就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,將x的值分別代入已知方程進行驗證即可作出正確的判斷.解 :將x=-4代入方程x2+2x-8=0,左邊=(-4)2+(-4)2-8=0,即左邊=右邊,故x=-4是方程x2+2x-8=0的根.把x=-3,-2,-1,0,1,3,4代入方程x 2+2x-8=0,左邊都不等于0,故它們都不是方程x2+2x-8=0的根,把x=2代入方程x2+2x-8=0,左邊=右邊,故x=2是方程x2+2x-8=0的根.所以-4,2是方程x2+2x-8=0的根. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四檢驗一個數(shù)是否為一元二次方程的根與檢驗一個數(shù)是否為一元一次方程的解的方法完全相同,故可以類比進行. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四知 識 點 四 根 據(jù) 實 際 問 題 列 一 元 二 次 方 程運用一元二次方程解決實際問題,要認真讀題,運用所學(xué)的知識點及生活經(jīng)驗找出題目中的等量關(guān)系,并將等量關(guān)系數(shù)學(xué)符號化,從而建立一元二次方程模型.名 師 解 讀 :建立一元二次方程模型的一般步驟可以總結(jié)為:審題,設(shè)未知數(shù),列方程. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四例 4如圖所示,在一幅長80 cm ,寬50 cm 的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條同等寬度的金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如果要使整個掛圖的面積是5 400 cm 2,設(shè)金色紙邊的寬為x cm ,求x滿足的方程.分 析 :掛圖長可表示為(80+2x)cm ,寬可表示為(50+2x)cm ,根據(jù)其面積為5 400 cm 2,即長寬=5 400,列方程進行化簡即可. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四解 :由題意,知掛圖長為(80+2x)cm ,寬為(50+2x)cm ,所以(80+2x)(50+2x)=5 400,即4x2+160 x+4 000+100 x=5 400.所以4x2+260 x-1 400=0,即x 2+65x-350=0. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四列一元二次方程時,可類比列一元一次方程的方法,首先讀懂題目所給的數(shù)量關(guān)系,找出符合全部題意的等量關(guān)系,根據(jù)等量關(guān)系列出方程,并整理即可. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四拓 展 點 一 根 據(jù) 一 元 二 次 方 程 的 定 義 求 字 母 的 值 或 取 值 范 圍例 1若(m-1) -2x+5=0是關(guān)于x的一元二次方程,則m的值是()A.1 B.1 C.-1 D.不能確定解 析 :由于題目給出的方程是關(guān)于x的一元二次方程,因此應(yīng)該滿足一元二次方程的定義所需要的條件,因為-2x和5都不是二次項,所以(m-1) 是二次項,因此,未知數(shù)x的指數(shù)為2,系數(shù)不能為0,即 解得m=-1.答 案 :C 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四解答這類問題,根據(jù)所給條件和一元二次方程的定義列出方程或方程組,通過解方程或方程組求得字母的值或取值范圍. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四拓 展 點 二 根 據(jù) 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 求 字 母 的 值例 2一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式后為2x2-3x-1=0,試求a,b,c的值.分 析 :欲求a,b,c的值,可以先把方程的左端進行整理化簡,變成一元二次方程的一般形式,然后根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)相等可得關(guān)于a,b,c的方程組,通過解方程組可得答案. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四解 :一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式為ax2-(2a-b)x-(b-a-c)=0,由一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式后為2x2-3x-1=0, 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四解答這類與一元二次方程的一般形式相關(guān)的問題,首先要把方程整理成一般形式,然后根據(jù)“兩個多項式相等,其對應(yīng)項的系數(shù)相等”列方程組進行求解. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四拓 展 點 三 利 用 一 元 二 次 方 程 的 解 求 字 母 的 值例 3已知關(guān)于x的方程x2-kx+1=0的一個根是x=3,則實數(shù)k的值是()解 析 :把x=3代入方程x2-kx+1=0,得9-3k+1=0,解得k= .答 案 :D 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四解答此類問題的關(guān)鍵是把已知的根代入原方程,得到一個關(guān)于未知字母的方程,通過解方程求得未知字母的值. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四拓 展 點 四 與 一 元 二 次 方 程 的 定 義 有 關(guān) 的 綜 合 題例 4方程(m+1) +(m-3)x-1=0,(1)m取何值時是關(guān)于x的一元二次方程?(2)m取何值時是關(guān)于x的一元一次方程?分 析 :(1)要使關(guān)于x的方程是一元二次方程,由于(m-3)x和-1不是關(guān)于x的方程的二次項,故(m+1) 必須是二次項,則有m2+1=2且系數(shù)(m+1)0,求出m的值即可;(2)如果所給方程是關(guān)于x的一元一次方程,則方程中不能含有二次項,可以考慮有兩種情況:一是(m+1) 中x的指數(shù)為“2”,而系數(shù)為0,不含有這一項,此時一次項系數(shù)(m-3)不為零即可;二是(m+1) 中x的指數(shù)為“1”,此時與(m-3)x合并同類項后系數(shù) 不為0即可. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四解 :(1)若方程是一元二次方程,則m2+1=2,解得m=1.顯然m=-1時m+1=0,故m=1符合題意.所以m=1時原方程是關(guān)于x的一元二次方程.(2)當(dāng)m+1=0時,解得m=-1,此時方程為-4x-1=0;當(dāng)m2+1=1時,解得m=0,此時方程為-2x-1=0.所以當(dāng)m=-1或m=0時,原方程為關(guān)于x的一元一次方程. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四解答這類問題時,要注意根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義列出相應(yīng)的方程或不等式求解,尤其注意要分類討論解答,否則容易造成漏解. 21.1 一 元 二 次 方 程 21.1 一 元 二 次 方 程 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四例 4如圖所示,在一幅長80 cm ,寬50 cm 的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條同等寬度的金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如果要使整個掛圖的面積是5 400 cm 2,設(shè)金色紙邊的寬為x cm ,求x滿足的方程.分 析 :掛圖長可表示為(80+2x)cm ,寬可表示為(50+2x)cm ,根據(jù)其面積為5 400 cm 2,即長寬=5 400,列方程進行化簡即可. 知 識 點 一 知 識 點 二 知 識 點 三 知 識 點 四解 :由題意,知掛圖長為(80+2x)cm ,寬為(50+2x)cm ,所以(80+2x)(50+2x)=5 400,即4x2+160 x+4 000+100 x=5 400.所以4x2+260 x-1 400=0,即x 2+65x-350=0. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四解答這類問題,根據(jù)所給條件和一元二次方程的定義列出方程或方程組,通過解方程或方程組求得字母的值或取值范圍. 拓 展 點 一 拓 展 點 二 拓 展 點 三 拓 展 點 四拓 展 點 二 根 據(jù) 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 求 字 母 的 值例 2一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式后為2x2-3x-1=0,試求a,b,c的值.分 析 :欲求a,b,c的值,可以先把方程的左端進行整理化簡,變成一元二次方程的一般形式,然后根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)相等可得關(guān)于a,b,c的方程組,通過解方程組可得答案.