（統(tǒng)考版）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)12 統(tǒng)計(jì)與概率（含解析）（理）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題限時(shí)集訓(xùn)(十二)統(tǒng)計(jì)與概率1(2019·全國(guó)卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)解(1)由已知得0.70a0.200.15，故a0.35.b10.050.150.700.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.153×0.204×0.305×0.206×0.107×0.054.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.054×0.105×0.156×0.357×0.208×0.156.00.2(2017·全國(guó)卷)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？解(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200n500.當(dāng)300n500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y6n4n2n；若最高氣溫位于區(qū)間20,25)，則Y6×3002(n300)4n1 2002n；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(n200)4n8002n.因此E(Y)2n×0.4(1 2002n)×0.4(8002n)×0.26400.4n.當(dāng)200n<300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y6n4n2n；若最高氣溫低于20，則Y6×2002(n200)4n8002n，因此E(Y)2n×(0.40.4)(8002n)×0.21601.2n.所以n300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元3(2020·全國(guó)卷)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)0,200(200,400(400,6001(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2，P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表：空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為(100×20300×35500×45)350.(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：人次400人次400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得K25.820.由于5.8203.841，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)4(2018·全國(guó)卷)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，17)建立模型：30.413.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，7)建立模型：9917.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由解(1)利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為30.413.5×19226.1(億元)利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為9917.5×9256.5(億元)(2)利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠理由如下：(i)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y30.413.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型9917.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠()從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠(以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可)1(2020·肥城市第一高級(jí)中學(xué)高三月考)2019年4月，甲、乙兩校的學(xué)生參加了某考試機(jī)構(gòu)舉行的大聯(lián)考，現(xiàn)對(duì)這兩校參加考試的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，考生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(110,144)，從甲、乙兩校100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷，并將這40份試卷的得分制作成如圖所示的莖葉圖：(1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；(2)若把數(shù)學(xué)成績(jī)不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)？(3)從所有參加此次聯(lián)考的學(xué)生中(人數(shù)很多)任意抽取3人，記數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?34分以上的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(，2)，則P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4，P(3<X3)0.997 4.參考公式與臨界值表：K2，其中nabcd.P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828解(1)由莖葉圖可知：甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為131.5，乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為128.5，所以這40份試卷的成績(jī)，甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)比乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)高. (2)由題意，作出2×2列聯(lián)表如下：甲校乙校總計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀10717數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀101323總計(jì)202040計(jì)算得K2的觀測(cè)值k0.9207<2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān). (3)因?yàn)閄N(110,144)，所以110，12，所以P(86<X134)0.954 4，所以P(X>134)0.022 8，由題意可知B(3,0.022 8)，所以E()3×0.022 80.068 4.2(2020·長(zhǎng)沙模擬)某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購(gòu)買二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中200名購(gòu)房者，并對(duì)其購(gòu)房面積m(單位：平方米，60m130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價(jià)y(單位：萬元/平方米)，制成了如圖2所示的散點(diǎn)圖(圖中月份代碼1至13分別對(duì)應(yīng)2018年1月至2019年1月)圖1圖2(1)試估計(jì)該市市民的平均購(gòu)房面積；(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購(gòu)買二手房的市民中任取3人，用頻率估計(jì)概率，記這3人購(gòu)房面積不低于100平方米的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和ln x兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程，分別為0.936 90.028 5和0.955 4 0.030 6ln x，并得到一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：0.936 90.028 50.955 40030 6ln x (yii)20.000 5910.000 164 (yi)20.006 050請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測(cè)2020年6月份的二手房購(gòu)房均價(jià)(精確到0.001)參考數(shù)據(jù)：ln 20.69，ln 31.10，ln 102.30，ln 192.94，1.41，1.73，3.16，4.36.參考公式：R21.解(1)65×0.0575×0.185×0.295×0.25105×0.2115×0.15125×0.0596.(2)每一位市民購(gòu)房面積不低于100平方米的概率為0.200.150.050.4，XB(3,0.4)，P(Xk)C×0.4k×0.63k(k0,1,2,3)，P(X0)0.630.216，P(X1)C×0.4×0.620.432，P(X2)C×0.42×0.60.288，P(X3)0.430.064，X的分布列為：X0123P0.2160.4320.2880.064E(X)3×0.41.2.(3)設(shè)模型0.936 90.028 5和0.955 40.030 6ln x的相關(guān)指數(shù)分別為R，R，則R1，R1，RR，模型0.955 40.030 6ln x的擬合效果更好，2021年6月份對(duì)應(yīng)的x42，0.955 40.030 6ln 420.955 40.030 6(ln 3ln 14)1.070萬元/平方米3(2020·深圳模擬)2020年是中國(guó)改革開放的第42周年，為了充分認(rèn)識(shí)新形勢(shì)下改革開放的時(shí)代性，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖(1)現(xiàn)從年齡在，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，用X表示年齡在內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有k名市民的年齡在的概率為P.當(dāng)P最大時(shí)，求k的值解(1)按分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為×81人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為×82人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為×85人所以X的可能取值為0,1,2，所以P，P，P，所以X的分布列為X012PE(X)0×1×2×.(2)設(shè)在抽取的20名市民中，年齡在內(nèi)的人數(shù)為X，X服從二項(xiàng)分布由頻率分布直方圖可知，年齡在內(nèi)的頻率為×100.35，所以XB，所以P(Xk)C(0.35)k(10.35)20k(k0,1,2，20)設(shè)t，若t>1，則k<7.35，P<P；若t<1，則k>7.35，P>P.所以當(dāng)k7時(shí)，P最大，即當(dāng)P最大時(shí)，k7.4(2020·皖南八校第二次聯(lián)考)2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地安徽鳳陽(yáng)舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽(每人各投一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響(1)經(jīng)過1輪投球，記甲的得分為X，求X的分布列；(2)若經(jīng)過n輪投球，用pi表示經(jīng)過第i輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率求p1，p2，p3；規(guī)定p00，經(jīng)過計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得piapi1bpicpi1(b1)，請(qǐng)根據(jù)中p1，p2，p3的值分別寫出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式解(1)記一輪投球，甲命中為事件A，乙命中為事件B，A，B相互獨(dú)立，由題意P(A)，P(B)，甲的得分X的取值為1,0,1，P(X1)P(B)P()P(B)×，P(X0)P(AB)P()P(A)P(B)P()P()××，P(X1)P(A)P(A)P()×，X的分布列為：X101P(2)由(1)知p1，p2P(X0)·P(X1)P(X1)(P(X0)P(X1)××，同理，經(jīng)過2輪投球，甲的得分Y取值2，1,0,1,2：記P(X1)x，P(X0)y，P(X1)z，則P(Y2)x2，P(Y1)xyyx，P(Y0)xzzxy2，P(Y1)yzzy，P(Y2)z2，由此得甲的得分Y的分布列為：Y21012Pp3×××，piapi1bpicpi1(b1)，p00，代入piapi1bpicpi1(b1)得：pipi1pi1，pi1pi(pipi1)，數(shù)列pnpn1是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為p1p0，pnpn1.pn(pnpn1)(pn1pn2)(p1p0).