大學(xué)課件電磁場 第一章靜電場

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1、第一章 靜電場 第一章 靜 電 場 靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。本章任務(wù)：闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解 電場的各種計算方法，或者反之。靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一 定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。靜電場知識結(jié)構(gòu)框圖1.1.1 庫侖定律1.1 電場強度 N(牛頓)適用條件 兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力;無限大真空情況(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中F/m)N(牛頓)結(jié)論：電場力符合矢量疊加原理圖1.1.1 兩點電荷間的作用力 庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。大量試驗表明:真空中

2、兩個靜止的點電荷 與 之間的相互作用力:當(dāng)真空中引入第三個點電荷 時，試問 與 相互間的作用力改變嗎?為什么？1.1.2 靜電場基本物理量電場強度定義：V/m(N/C)電場強度（Electric Field Intensity)E 表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù),定義式給出了E 的大小、方向與單位。a)點電荷產(chǎn)生的電場強度V/mV/m圖1.1.2 點電荷的電場 b)n個點電荷產(chǎn)生的電場強度(注意:矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度V/m體電荷分布面電荷分布線電荷分布圖1.1.3 體電荷的電場例1.1.1 真空中有長為L的均勻帶電直導(dǎo)線,電荷線密度為 ,試求

3、P 點的電場.解:采用直角坐標(biāo)系,令y軸經(jīng)過場點p,導(dǎo)線與x軸重合。(直角坐標(biāo))(圓柱坐標(biāo))圖1.1.4 帶電長直導(dǎo)線的電場 無限長直均勻帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場為平行平面場。電場強度 的矢量積分一般先轉(zhuǎn)化為標(biāo)量積分,然后再合成,即 點電荷的數(shù)學(xué)模型 積分是對源點 進(jìn)行的,計算結(jié)果是場點 的函數(shù)。點電荷是電荷體分布的極限情況,可以把它看成是一個體積很小,電荷密度很大，總電量不變的帶電小球體。當(dāng) 時，電荷密度趨近于無窮大，通常用沖擊函數(shù) 表示點電荷的密度分布。圖1.1.5 單位點電荷的密度分布點電荷的密度點電荷矢量恒等式直接微分得故電場強度E 的旋度等于零1.2 靜電場環(huán)路定律和高斯定律 1.靜電場旋

4、度1.2.1 靜電場環(huán)路定律 可以證明，上述結(jié)論適用于點電荷群和連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場。表明 靜電場是一個無旋場。即任一分布形式的靜電荷產(chǎn)生的電場的旋度恒等于零，即2 2.靜電場的環(huán)路定律 在靜電場中,電場強度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場。無旋場一定是保守場，保守場一定是無旋場。由斯托克斯定理，得 二者等價。3.電位函數(shù) 在靜電場中可通過求解電位函數(shù)(Potential)，再利用上式可方便地求得電場強度E。式中負(fù)號表示電場強度的方向從高電位指向低電位。2)已知電荷分布，求電位：點電荷群連續(xù)分布電荷1)電位的引出以點電荷為例推導(dǎo)電位：根據(jù)矢量恒等式3)E與 的

5、微分關(guān)系 在靜電場中，任意一點的電場強度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。在直角坐標(biāo)系中：？()？()4)E與 的積分關(guān)系設(shè)P0為參考點 根據(jù) E 與 的微分關(guān)系，試問靜電場中的某一點圖1.2.1 E與 的積分關(guān)系5)電位參考點的選擇原則 場中任意兩點的電位差與參考點無關(guān)。同一個物理問題，只能選取一個參考點。選擇參考點盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產(chǎn)生的電場：表達(dá)式無意義 電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點；電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點。6)電力線與等位線（面）E 線：曲線上每一點切線方向應(yīng)與該點電場強度E E的方向一致

6、，若 是電力線的長度元，E E 矢量將與 方向一致，故電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線 E E 的方程。當(dāng)取不同的 C 值時，可得到不同的等位線（面）。在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例1.2.1 畫出電偶極子的等位線和電力線 。在球坐標(biāo)系中：電力線微分方程（球坐標(biāo)系）：代入上式，得解得線方程為將 和代入上式，等位線方程（球坐標(biāo)系）：用二項式展開，又有，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2 電偶極子r1r2電力線與等位線（面）的性質(zhì)：E線不能相交;E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;E線愈密處，場強愈大;E線與等位線（面）正交；圖1

7、.2.3 電偶極子的等位線和電力線圖1.2.4 點電荷與接地導(dǎo)體的電場圖1.2.5 點電荷與不接地導(dǎo)體的電場圖1.2.6 均勻場中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場圖1.2.7 均勻場中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場圖1.2.8 點電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場圖1.2.9 點電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場 對上式等號兩端取散度；利用矢量恒等式及矢量積分、微分的性質(zhì)，得1.2.2 真空中的高斯定律1.靜電場的散度高斯定律的微分形式真空中高斯定律的微分形式點電荷產(chǎn)生的電場其物理意義表示為 高斯定律說明了靜電場是一個有源場，電荷就是場的散度（通量源），電力線從正電荷發(fā)出，終止于負(fù)電荷。2.高斯定律的積分形式式中 n 是閉合面包圍的

8、點電荷總數(shù)。散度定理圖1.2.11 閉合曲面的電通量 E的通量僅與閉合面S 所包圍的凈電荷有關(guān)。圖1.2.12 閉合面外的電荷對場的影響 S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。電場強度垂直于導(dǎo)體表面；導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；導(dǎo)體內(nèi)電場強度E為零，靜電平衡；電荷分布在導(dǎo)體表面，且任何導(dǎo)體，只要它們帶電量不變，則其電位是不變的。（）一導(dǎo)體的電位為零，則該導(dǎo)體不帶電。（）接地導(dǎo)體都不帶電。（）1.2.3.電介質(zhì)中的高斯定律1.靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)2.靜電場中的電介質(zhì)圖1.2.13 靜電場中的導(dǎo)體 電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；極化電荷與自由

9、電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中 為體積元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子圖1.2.14 電介質(zhì)的極化用極化強度P P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度 實驗結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中 電介質(zhì)的極化率,無量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化；一個電偶極子產(chǎn)生的電位：極化強度 P 是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖1.2.15 電偶極子產(chǎn)生的電位矢量恒等式：圖1.2.16 體積V內(nèi)電偶極

10、矩產(chǎn)生的電位散度定理 令極化電荷體密度極化電荷面密度 在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度 這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷 和體極化電荷 共同作用在真空 中產(chǎn)生的電位。根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和 有電介質(zhì)存在的場域中，任一點的電位及電場強度表示為3.電介質(zhì)中的高斯定律a）高斯定律的微分形式（真空中）（電介質(zhì)中）定義電位移矢量（Displacement）則有電介質(zhì)中高斯定律的微分形式代入 ,得其中相對介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（F/m）在各向同性介質(zhì)中 D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D 線、E 線和P 線的分布。D 線由正的自由電荷

11、發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷；P 線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。E 線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；電場強度在電介質(zhì)內(nèi)部是增加了，還是減少了？D線E線P線圖1.2.17 D、E與 P 三者之間的關(guān)系思考：()()()qq D 的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D 的分布與介質(zhì)無關(guān)。D 通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的 D 是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。B）高斯定律的積分形式散度定理圖1.2.19 點電荷q分別置于金屬球殼的內(nèi)外圖1.2.18 點電荷的電場中置入任意一塊介質(zhì)例1.2.2 求電荷線密度為 的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點：D

12、 線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；等 r 處D 值相等；取長為L，半徑為 r 的封閉圓柱面為高斯面。由 得圖1.2.20 電荷線密度為 的無限長均勻帶電體4.高斯定律的應(yīng)用計算技巧：a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使 容易積分。高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。圖1.2.22 球殼內(nèi)的電場圖1.2.21 球殼外的電場例1.2.3 試分析圖1.2.21與1.2.22的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖1.2.21 點電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場圖1.2.22 點電荷q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場

13、1.3 靜電場的基本方程 分界面上的銜接條件1.3.1 靜電場的基本方程 靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學(xué)形式為：解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),例1.3.1 已知 試判斷它能否表示個靜電場？對應(yīng)靜電場的基本方程 ，矢量 A 可以表示一個靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（）。2、電場強度E的銜接條件 以點P 作為觀察點，作一小矩形回路（）。1.3.2 分界面上的銜接條件1、電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè) E 的切向分量連續(xù)。分界面兩側(cè)的 D 的法向分量不連續(xù)。當(dāng) 時，D 的法向

14、分量連續(xù)。圖1.3.2 在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律則有 根據(jù) 根據(jù) 則有 圖1.3.1 在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律 表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點的D 就等于該點的自由電荷密度 。當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為：圖1.3.3a 導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在 時，E、D滿足折射定律。折射定律圖1.3.3 分界面上E線的折射因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù) 表示分界面上的銜接條件 設(shè)點1與點2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，,則表明:一般情況下 ,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。圖1.3

15、.4 電位的銜接條件對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位 表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）例1.3.2 如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知 和 ,圖(a)已知極板間電壓U0 ,圖(b)已知極板上總電荷 ,試分別求其中的電場強度。（a）（b）圖1.3.5 平行板電容器 1.4 靜電場邊值問題 唯一性定理1.4.1 泊松方程與拉普拉斯方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：泊松方程 泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。例 列出求解區(qū)域的微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯算子1.4.2 靜電場的邊值問題圖1.4.1 三個不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場 為什

16、么說第二類邊界條件與導(dǎo)體上給定電荷分布或邊界是電力線的條件是等價的？已知場域邊界上各點電位值圖1.4.2 邊值問題框圖自然自然邊界條件邊界條件參考點電位 有限值邊值問題微分方程邊界條件場域場域邊界條件邊界條件分界面分界面銜接條件銜接條件第一類第一類邊界條件邊界條件第二類第二類邊界條件邊界條件第三類第三類邊界條件邊界條件已知場域邊界上各點電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法解析法數(shù)值法實測法模擬法定性定量積分法積分法分離變量法分離變量法鏡像法、電軸法鏡像法、電軸法微分方程法微分方程法保角變換法保角變換法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法

17、矩量法矩量法模擬電荷法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法物理模擬法圖1.4.3 邊值問題研究方法框圖 例1.4.2 圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為 ，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源 U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖1.4.4 纜心為正方形的同軸電纜橫截面邊界條件積分之，得通解 例 設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為 ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程參考點電位圖1.4.5 體電荷分布的球形域

18、電場 解得 電場強度（球坐標(biāo)梯度公式）：對于一維場（場量僅僅是一個坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由 得到電場強度E的分布。電位：2.唯一性定理的重要意義 可判斷靜電場問題的解的正確性：例 圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？答案：（C）唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。圖1.4.7 平板電容器外加電源U01.4.3 唯一性定理證明：（反證法）1.5 分離變量法 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題。一般情況下,采用正交坐標(biāo)

19、系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動方程的通解，而只有當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。1.5.1 解題的一般步驟：根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)的邊值 問題（微分方程和邊界條件）；分離變量，將一個偏微分方程，分離成幾個常微分方程；解常微分方程，并疊加各特解得到通解；利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。1.5.2 應(yīng)用實例1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）例1.5.1 圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標(biāo)系（D域

20、內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題圖11.5.1 接地金屬槽的截面2)分離變量代入式（1）有根據(jù)根據(jù) 可能的取值，可有可能的取值，可有6 6個常微分方程：個常微分方程：設(shè)稱為分離常數(shù),可以取值3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。圖1.5.2 雙曲函數(shù)d）比較系數(shù)法：當(dāng) 時，（D域內(nèi)）當(dāng) 時，滿足拉普拉斯方程的通解有無數(shù)個，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。根據(jù)經(jīng)驗也可定性判斷通解中能否舍去 或 項。若 ，2、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）利用 sin 函數(shù)的正交性來確定 。等式兩端同乘 ，然后從 0到 a對 x積分圖1.5

21、.3 接地金屬槽內(nèi)的等位線分布1）選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）（6）例1.5.2 在均勻電場 中，放置一根半徑為a，介電常數(shù)為 的無限長均勻介質(zhì)圓柱棒，它的軸線與 垂直。柱外是自由空間 。試求圓柱內(nèi)外電位函數(shù) 和電場強度 的分布。根據(jù)場分布的對稱性圖1.5.4 均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當(dāng) 時，當(dāng) 時，2）分離變量,設(shè) 代入式（1）得或根據(jù)根據(jù) ，比較系數(shù)得當(dāng) 時，4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)。根據(jù)場分布對稱性當(dāng) 時，通解中不含 的奇函數(shù)項，解之，得比較系數(shù)法：當(dāng) 時，得當(dāng) 時，則最終解c）由分界面 的銜接條件，得 介質(zhì)柱內(nèi)

22、的電場是均勻的，且與外加電場E0平行。因 ，所以 。介質(zhì)柱外的電場非均勻變化，但遠(yuǎn)離介質(zhì)柱的區(qū)域，其電場趨近于均勻電場 。圖1.5.5 均勻外電場中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場 1.6 有限差分法1.6.1 二維泊松方程的差分格式 有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一種數(shù)值計算法。其基本思想：將場域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù) 的泊松方程的問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點上 的差分方程組的問題。通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格線之間的距離為h ,節(jié)點0,1,2,3,4上的電位分別用 和 表示。（3）（1）（2）二維靜電場邊值問題：1.6.1

23、有限差分的網(wǎng)格分割（8）（4）將 和 分別代入式(3),得同理（5）由（4）（5）由（4）+（5）（6）（7）（9）將式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五點差分格式當(dāng)場域中 ，得到拉普拉斯方程的五點差分格式1.6.2 邊界條件的離散化處理 3.第二類邊界條件 邊界線與網(wǎng)格線相重合的差分格式：2.對稱邊界條件若場域離散為矩形網(wǎng)格，差分格式為：1.第一類邊界條件 給邊界離散節(jié)點直接賦已知電位值。4.介質(zhì)分界面銜接條件 的差分格式合理減小計算場域，差分格式為其中12 圖1.6.2邊界條件的離散化處理1.6.3 差分方程組的求解方法1.高斯賽德爾迭代法式中：迭代順序可按先行后列，或先列后行進(jìn)

24、行。迭代過程遇到邊界節(jié)點時，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)點電位滿足 為止。2、超松弛迭代法式中：加速收斂因子圖1.6.3 高斯賽德爾迭代法 迭代收斂的速度與 有明顯關(guān)系：收斂因子（）1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次數(shù)（N）1000 269 174 143 122 133 171 發(fā)散最佳收斂因子的經(jīng)驗公式：（正方形場域、正方形網(wǎng)格）（矩形場域、正方形網(wǎng)格）迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網(wǎng)格剖分精細(xì)有關(guān)；迭代收斂的速度與工程精度要求有 。借助計算機進(jìn)行計算時，其程序框圖如下：啟動賦邊界節(jié)點已知電位值賦予場域內(nèi)各節(jié)點電位初始值累計迭代次數(shù)N=

25、0N=N+1按超松弛法進(jìn)行一次迭代，求 所有內(nèi)點 相鄰二次迭代值的最大誤差是否小于打印 停機NY圖1.6.2 迭代解程序框圖上機作業(yè)要求：1.試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內(nèi)電位的分布。已知：給定邊值：如圖示；給定初值誤差范圍選取計算：迭代次數(shù)N=?分布。已知：給定邊值：如圖示；給定初值誤差范圍計算：1.迭代次數(shù)N=?分布；2.按電位差 畫出槽中等位線分布圖。2.按對稱場差分格式求解電位的分布圖1.6.4 接地金屬槽的網(wǎng)格剖分圖1.6.5 接地金屬槽內(nèi)半場域的網(wǎng)格剖分三.選做題 已知：無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導(dǎo)體的橫截面如圖示，且給定參數(shù)為 圖1.6.5 無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導(dǎo)體的

26、橫截面要求:1.用超松弛選代法求解無限長矩形屏蔽空腔中長直矩形導(dǎo)體周 圍的電位分布;2.畫出屏蔽腔中矩形導(dǎo)體周圍等位線分布;3.畫出屏蔽腔中矩形導(dǎo)體周圍電位分布曲面。利用有限差分法能否計算上述問題電容近似值？1.7 鏡像法與電軸法 鏡像法邊值問題：（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（除 q 所在點外的區(qū)域）（S 為包圍 q 的閉合面）1.平面導(dǎo)體的鏡像 鏡像法:用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖1.7.1 平面導(dǎo)體的鏡像 上半場域邊值問題：（除 q 所在點外的區(qū)域）（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（S 為包圍q 的閉合面）（方向指向地面）整個地面上感應(yīng)電

27、荷的總量為例1.7.1 求空氣中一個點電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點電荷 離地面高度為h，則圖1.7.2 點電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷的分布2.導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場分布。1)邊值問題：（除q點外的導(dǎo)體球外空間)圖1.7.3 點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點P的電位與電場分別為圖1.7.5 點電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場圖 鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷圖1.7.4 接地導(dǎo)體球外的電場計算 在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置解:邊值問題：(除 q 點外的導(dǎo)體球外空間）(S

28、為球面面積)例1.7.2 試計算不接地金屬球附近放置一點電荷 時的電場分布。任一點電位及電場強度為：圖1.7.6 點電荷對不接地金屬 球的鏡像感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ性，在球內(nèi)有兩個等效電荷。正負(fù)鏡像電荷絕對值相等。正鏡像電荷只能位于球心。試確定用鏡像法求解下列問題時，其鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置?補充題：圖1.7.8 點電荷對導(dǎo)體球面的鏡像圖1.7.7 點電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖 不接地導(dǎo)體球面上的正負(fù)感應(yīng)電荷的絕對值等于鏡像電荷 嗎?為什么？3.不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除 q點外的上半空間)圖1.7.9 點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和 中的電場是由 決定，其有效區(qū)在

29、下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即圖1.7.10 點電荷 位于不同介質(zhì)平面上方的場圖 中的電場是由 與 共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。圖1.7.11 點電荷 與 分別置于 與 區(qū)域中 為求解圖示 與 區(qū)域的電場，試確定鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置。1.7.2 電軸法邊值問題：（導(dǎo)線以外的空間）根據(jù)唯一性定理，尋找等效線電荷電軸。1.問題提出1.7.12 長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線能否用高斯定理求解？2.兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電場以y軸為參考點,C=0,則 當(dāng)K取不同數(shù)值時,就得到一族偏心圓。圖1.7.13 兩根細(xì)導(dǎo)線的電場計算a、h、b三者之間的關(guān)系滿足 等位線方程

30、為：圓心坐標(biāo)圓半徑應(yīng)該注意到應(yīng)該注意到,線電荷所在的兩個點線電荷所在的兩個點,對對每一個等位圓的圓心來說每一個等位圓的圓心來說,互為反演互為反演。即。即根據(jù) 及E線的微分方程 ，得E線方程為 圖1.7.14 兩細(xì)導(dǎo)線的場圖 若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問。若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，是否會影響電場分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？3.電軸法例 試求圖示兩帶電長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線的電場及電位分布。(以 軸為電位為參考點)用置于電軸上的等效線電荷,來代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷,從而求得電場的方法,稱為電軸法。解：圖1.7.15 平行圓柱導(dǎo)體傳輸線電場的計算 例 已知兩根不同半徑,相互平行

31、,軸線距離為d 的帶電長直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸位置。注意：1）參考電位的位置；2）適用區(qū)域。例 試確定圖示偏心電纜的電軸位置。解：確定圖1.7.16 不同半徑傳輸線的電軸位置圖1.7.17 偏心電纜電軸位置 例1.7.6 已知一對半徑為a,相距為d的長直圓柱導(dǎo)體傳輸線之間電壓為 ，試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。解得圖1.7.18 電壓為U0的傳輸線電場的計算 a)確定電軸的位置鏡像法（電軸法）小結(jié) 鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)（根數(shù)），

32、大小及位置；應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。1.8 電容及部分電容 電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容的計算思路：工程上的實際電容：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。1.8.1 電容定義：單位：例 試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 ,則同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時（孤立導(dǎo)體球的電容）圖1.8.1 球形電容器1.8.2 多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即 靜電獨立系統(tǒng)D線從這個系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)

33、線性、多導(dǎo)體(三個以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；部分電容概念以接地導(dǎo)體為電位參考點,導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為圖1.8.2 三導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng) 以此類推（n+1)個多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個電位線性獨立方程，即電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；寫成矩陣形式為（非獨立方程）注：的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷 ,計算各導(dǎo)體的電位 而得。2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體 電位對導(dǎo)體 電荷的貢獻(xiàn)；互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)

34、。通常，的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位 ，測量各導(dǎo)體的電荷 而得。3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質(zhì):所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的 值有關(guān)；互有部分電容 ，即為對稱陣；(n+1)個導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)中，共應(yīng)有 個部分電容；部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。例1.8.2 試計算考慮大地影響時，二線傳輸線的各部分電容及二線輸電線的等效電容。已知 如圖示：解:部分電容個數(shù),如圖(b)。由對稱性得線電荷與電位的關(guān)系為圖1.8.4 兩線

35、輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò)靜電網(wǎng)絡(luò)與等效電容 令則利用鏡像法，輸電線兩導(dǎo)體的電位圖1.8.5 兩線輸電線對大地的鏡像聯(lián)立解之得二線間的等效電容：圖1.8.4 兩線輸電線及其電容網(wǎng)絡(luò) 美國有一腿斷的殘廢軍人，用電子儀器駕駛汽車，有一次，路過高壓輸電線時，突然翻車了，為什么？4.靜電屏蔽 應(yīng)用部分電容還可以說明靜電屏蔽問題。令號導(dǎo)體接地，得這說明了只與有關(guān)，只與有關(guān)，即1號導(dǎo)體與2號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，達(dá)到了靜電屏蔽的要求。靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。圖1.8.5 靜電屏蔽1.9 靜電能量與力 1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量 靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。1)連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量假

36、設(shè)：電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；1.9.1 靜電能量 電場的建立與充電過程無關(guān),導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為 、,在充電過程中，與 的增長比例為 m，。建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。這個功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。體電荷系統(tǒng)的靜電能量 t 時刻，場中P點的電位為 若將電荷增量 從無窮遠(yuǎn)處移至該點，外力作功t時刻電荷增量為即電位為 式中 是元電荷所在處的電位，積分對源進(jìn)行。點電荷的自有能為無窮大。自有能互有能 自有能是將許多元電荷 “壓緊”構(gòu)成 q 所需作的功?；ビ心苁怯捎诙鄠€帶電體之間的相互作用引起的能量。自有能與互有能的概念 是所有導(dǎo)體（含K號導(dǎo)體）表面上的電荷在K號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位。

37、2.靜電能量的分布及能量密度V擴大到無限空間，S所有帶電體表面。將式(2)代入式(1),得應(yīng)用散度定理得矢量恒等式（焦耳）靜電能量圖1.9.1 推導(dǎo)能量密度用圖能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結(jié)論例 試求真空中體電荷密度為 ，半徑為 的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。有限，應(yīng)用高斯定理，得 解法一由微分方程法得電位函數(shù)為解法二 例1.9.2 一個原子可以看成是由帶正電荷 的原子核和被總電量等于 且均勻分布于球形體積內(nèi)的負(fù)電荷云包圍，如圖所示。試求原子結(jié)合能。解：表示將正負(fù)電荷從無窮遠(yuǎn)處移來置于原子中位置時外力必須做的功。圖1.9.2 原子結(jié)構(gòu)模型 ：正電荷從無窮遠(yuǎn)處移至此處不需要電場力

38、作功,故原子結(jié)合能未包 括原子核正電荷本身的固有能量。注意1.9.2 靜電力2.虛位移法(Virtual Displacement Method)虛位移法是基于虛功原理計算靜電力的方法。廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義力：企圖改變某一個廣義坐標(biāo)的力。廣義力的正方向為廣義 坐標(biāo)增加增加的方向。二者關(guān)系：廣義坐標(biāo) 距 離 面 積 體 積 角 度 廣義力 機械力 表面張力 壓強 轉(zhuǎn)矩 （單位）（N）（N/m）（N/m2）Nm廣義力廣義坐標(biāo)=功1.由電場強度E的定義求靜電力，即常電荷系統(tǒng)（K打開）：它表示取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。常電位系統(tǒng)（K合上）：外源提供能量的增

39、量靜電能量的增量 外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。設(shè)(n+1)個導(dǎo)體組成的系統(tǒng),只有P號導(dǎo)體發(fā)生位移 ，此時系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將發(fā)生變化，其功能關(guān)系為外源提供能量靜電能量增量=+電場力所作功圖1.9.4 多導(dǎo)體系統(tǒng) 上述兩個公式所得結(jié)果是相等的例 試求圖示平行板電容器的電場力。解法一：常電位系統(tǒng)解法二：常電荷系統(tǒng)可見，兩種方法計算結(jié)果相同，電場力有使d減小的趨勢，即電容增大的趨勢。兩個公式所求得的廣義力是代數(shù)量。還需根據(jù)“”號判斷其方向。圖1.9.5 平行板電容器 例1.9.4 圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為 ，其上帶電荷為 ，試求薄膜單位面積所受的電場力。

40、解：表示廣義力的方向是廣義坐標(biāo)增大的方向，即為膨脹力。單位面積上的力：（N/m2）圖1.9.6 球形薄膜3.法拉第觀點 法拉第認(rèn)為，沿通量線作一通量管，沿其軸向受到縱張力，垂直于軸向方向受到側(cè)壓力，1)可定性分析、判斷帶電體的受力情況。圖1.9.8 根椐場圖判斷帶電體受力情況其大小為圖1.9.7a 電位移管受力情況圖1.9.7 b 物體受力情況2)對某些特殊情況可進(jìn)行定量計算。例 試求圖示(a)、(b)平行板電容器中，兩種介質(zhì)分界面上每單位面積所受到的力。圖1.9.9 平行板電容器答：氣泡向E E小的方向移動。氣泡向哪個方向移動？：媒質(zhì)分界面受力的方向總是由 值較大的媒質(zhì)指向 值較小的媒質(zhì)。結(jié)

41、論工程上，靜電力有廣泛的應(yīng)用。圖1.9.10 靜電分離圖1.9.11 靜電噴涂 基本實驗定律（庫侖定律）基本物理量（電場強度）EE 的旋度E E 的散度基本方程微分方程邊值問題唯一性定理分界面銜接條件電位（）邊界條件數(shù)值法有限差分法解析法直接積分法分離變量法鏡像法，電軸法靜電參數(shù)(電容及部分電容)靜電能量與力圖1.0 靜電場知識結(jié)構(gòu)圖對場點坐標(biāo)作散度運算靜電場高斯散度定理的推導(dǎo)矢量恒等式：式中：無電荷區(qū)內(nèi)，電場強度的散度等于零。則圖1.2.10 源點與場點的坐標(biāo)的矢量表示 球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。試問：能否選

42、取正方形的高斯面求解球?qū)ΨQ場(a a)(b b)(c c)圖1.2.20.球?qū)ΨQ場的高斯面圖1.2.21.軸對稱場的高斯面 無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板等。(a a)(b b)(c c)圖3.平行平面場的高斯面試問：能否選取底面為方型的封閉柱面為高斯面？工程上，常引入 等效電容的概念，它是指在多導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)中，把兩導(dǎo)體作為電容器的兩個極板，設(shè)在這兩個電極間加上已知電壓 ,極板上所帶電荷為 ,則把比值叫做這兩導(dǎo)體的等效電容或工作電容。便于測量,易于計算，綜上所述，多導(dǎo)體系統(tǒng)電荷與電位間關(guān)系，可以通過三套系數(shù)，即來表示。三者相比，C 可通過計算，也可直接測定，其主要優(yōu)點是可以將場的概念和路的概念聯(lián)系起來，即 靜電場問題靜電電容的網(wǎng)絡(luò)問題。圖1.8.3 部分電容與電容網(wǎng)絡(luò)電力電容電力電容高壓沖擊實驗電力電容高高 壓壓 實實 驗驗 大大 廳廳電力電纜單芯電力電纜三相電力電纜（中間地線、右側(cè)測量線）電力電纜屏蔽室門屏蔽室門