（課標通用）高考數學一輪復習 課時跟蹤檢測13 理-人教版高三全冊數學試題

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1、課時跟蹤檢測(十三) [高考基礎題型得分練] 1．函數f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導數為(　　) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) 答案：C 解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3， ∴f′(x)＝3(x2－a2)． 2．曲線y＝sin x＋ex在點(0,1)處的切線方程是(　　) A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 答案：C 解析：∵y＝sin x＋ex，∴y′＝cos x＋ex， ∴y′|x＝0＝cos 0＋

2、e0＝2，∴曲線y＝sin x＋ex在點(0,1)處的切線方程為y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. 3．[2017·山東師大附中月考]曲線y＝ax在x＝0處的切線方程是xln 2＋y－1＝0，則a＝(　　) A. B．2 C．ln 2 D．ln 答案：A 解析：由題知y′＝axln a，y′|x＝0＝ln a，又切點為(0,1)，故切線方程為xln a－y＋1＝0，∴a＝. 4．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，則f′(0)＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 答案：D 解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f

3、′(0)＝2f′(1)＝－4. 5．[2017·河北保定調研]已知曲線y＝ln x的切線過原點，則此切線的斜率為(　　) A．e B．－e C． D．－ 答案：C 解析：y＝ln x的定義域為(0，＋∞)，且y′＝，設切點為(x0，ln x0)，則y′|x＝x0＝，切線方程為y－ln x0＝(x－x0)．因為切線過點(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切線的斜率為. 6．[2017·廣東湛江調研]曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　) A. B． C． D．1 答案：A 解析：y′|x＝0＝(－2

4、e－2x)|x＝0＝－2，故曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線方程為y＝－2x＋2，易得切線與直線y＝0和y＝x的交點分別為(1,0)，，故圍成的三角形的面積為×1×＝. 7．[2017·河南鄭州質檢]已知y＝f(x)是可導函數，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數，則g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 答案：B 解析：由題圖可知，曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－，∴f′(3)＝－， ∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)

5、＋3f′(3)，又由題圖可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0. 8．[2017·江西南昌二中模擬]設點P是曲線y＝x3－x＋上的任意一點，點P處切線傾斜角α的取值范圍為(　　) A.∪ B. C．∪ D. 答案：C 解析：因為y′＝3x2－≥－，故切線斜率k≥－，所以切線傾斜角α的取值范圍是∪. 9．已知函數f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0＝________. 答案：e 解析：f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e. 10．若直線l與冪函數y＝xn的圖象相切于點A(2,8)，則直線l的方程為

6、________． 答案：12x－y－16＝0 解析：由題意知，A(2,8)在y＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3， ∴y′＝3x2，直線l的斜率k＝3×22＝12，又直線l過點(2,8)．∴y－8＝12(x－2)，即直線l的方程為12x－y－16＝0. 11．[2017·遼寧沈陽模擬]在平面直角坐標系xOy中，點M在曲線C：y＝x3－x上，且在第二象限內，已知曲線C在點M處的切線的斜率為2，則點M的坐標為________． 答案：(－1,0) 解析：∵y′＝3x2－1，曲線C在點M處的切線的斜率為2，∴3x2－1＝2，x＝±1.又∵點M在第二象限，∴x＝－1，∴y＝(－1)3－(－1

7、)＝0，∴點M的坐標為(－1,0)． 12．設函數f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是兩兩不等的常數)，則＋＋＝________. 答案：0 解析：∵f(x)＝x3－(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x－abc，∴f′(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca， f′(a)＝(a－b)(a－c)， f′(b)＝(b－a)(b－c)， f′(c)＝(c－a)(c－b)． ∴＋＋ ＝＋＋ ＝＝0. [沖刺名校能力提升練] 1．[2017·廣東惠州模擬]已知函數f(x)＝cos x，則f(π)＋f′＝(　　) A．－ B．－ C．－ D

8、．－ 答案：C 解析：∵f′(x)＝－cos x＋(－sin x)， ∴f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－. 2．設曲線y＝在點處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實數a等于(　　) A．－1 B． C．－2 D．2 答案：A 解析：∵y′＝， ∴y′x＝＝－1，由條件知＝－1，∴a＝－1. 3．[2017·江西上饒模擬]若點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小值為(　　) A．1 B． C． D． 答案：B 解析：因為定義域為(0，＋∞)，所以y′＝2x－＝1，解得x＝1，則在P(1,1)處的切線方程為x－y＝0，所以兩平行線間

9、的距離為d＝＝. 4.已知函數f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點處有共同的切線，則切線方程為________． 答案：y＝x＋ 解析：f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得 解得 ∴兩條曲線交點的坐標為(e2，e)，切線的斜率為k＝f′(e2)＝，∴切線的方程為y－e＝(x－e2)，即y＝x＋. 5．已知函數f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程． 解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(

10、2)＝1，又f(2)＝－2， ∴曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)設切點坐標為(x0，x－4x＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0， 解得x0＝2或x0＝1， ∴經過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0. 6．設函數f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處

11、的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明曲線f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3， 當x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－. (2)設P(x0，y0)為曲線上任一點， 由y′＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為.令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為S＝|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，且此定值為6.