4、為該圓的一個“k階色序”,當(dāng)且僅當(dāng)兩個k階色序?qū)?yīng)位置上的顏色至少有一個不相同時,稱為不同的k階色序.若某國的任意兩個“k階色序”均不相同,則稱該圓為“k階魅力圓”.“3階魅力圓”中最多可有的等分點個數(shù)為( )
A.4 B.6
C.8 D.10
答案:C
解析:因“3階色序”中每個點的顏色有兩種選擇,故“3階色序”共有2×2×2=8種,一方面,n個點可以構(gòu)成n個“3階色序”,故“3階魅力圓”中的等分點的個數(shù)不多于8個;另一方面,若n=8,則必須包含全部共8個“3階色序”,不妨從(紅,紅,紅)開始按逆時針確定其它各點顏色,顯然(紅,紅,紅,藍(lán),藍(lán),藍(lán),紅,藍(lán))符合
5、條件.故“3階魅力圓”中最多有8個等分點,故選C.
6.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=( )
A.28 B.76
C.123 D.199
答案:C
解析:從給出的式子特點觀察可推知,等式右端的值,從第三項開始,后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10+b10=123.
7.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則:
①“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”;
②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”;
6、③“(m·n)t=m(n·t)”類比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”;
④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”;
⑤“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”;
⑥“=”類比得到“=”.
以上式子中,類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:B
解析:①②正確;③④⑤⑥錯誤.
8.下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是( )
A.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,由an=2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,推斷:Sn=n2
B.由f(x
7、)=xcos x滿足f(-x)=-f(x)對?x∈R都成立,推斷:f(x)=xcos x為奇函數(shù)
C.由圓x2+y2=r2的面積S=πr2,推斷:橢圓+=1(a>b>0)的面積S=πab
D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推斷:對一切n∈N*,(n+1)2>2n
答案:A
解析:選項A由一些特殊事例得出一般性結(jié)論,且注意到數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項和等于Sn==n2;選項D中的推理屬于歸納推理,但結(jié)論不正確.
9.仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律:○●○○●○○
○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的○和
8、●,那么在前120個○和●中,●的個數(shù)是________.
答案:14
解析:進行分組如下:
○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……
則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=,易知f(14)=119,f(15)=135,故n=14,即●的個數(shù)得14.
10.[2017·東北三省三校聯(lián)考]觀察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根據(jù)上述規(guī)律,第n個等式為__________________________________________________________.
9、
答案:13+23+…+n3=
解析:觀察所給等式左右兩邊的構(gòu)成易得第n個等式為13+23+…+n3=2=.
11.已知x∈(0,+∞),觀察下列各式:x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,類比得x+≥n+1(n∈N*),則a=________.
答案:nn
解析:第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,此時a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn.
12.[2017·山東日照模擬]對于實數(shù)x,[x]表示不超過x的最大整數(shù),觀察下列等式:
[ ]+[ ]+[ ]=3,
[ ]+[ ]+[ ]+[ ]
10、+[ ]=10,
[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=21,
……
按照此規(guī)律第n個等式的等號右邊的結(jié)果為________.
答案:2n2+n
解析:因為[ ]+[ ]+[ ]=1×3,[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=2×5,[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]+[ ]=3×7,…,以此類推,第n個等式的等號右邊的結(jié)果為n(2n+1),即2n2+n.
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1.[2017·山西太原模擬]某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.
甲說:我在1日和3日都有值班;
乙說:我在8日和9日都有值班;
丙說:我
11、們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋?
據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是( )
A.2日和5日 B.5日和6日
C.6日和11日 D.2日和11日
答案:C
解析:這12天的日期之和S12=×(1+12)=78,甲、乙、丙各自的日期之和是26.對于甲,剩余2天日期之和為22,因此這兩天是10日和12日,故甲在1日,3日,10日,12日有值班;對于乙,剩余2天日期之和是9,可能是2日,7日,也可能是4日,5日,因此丙必定值班的日期是6日和11日.
2.在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則=,推廣到空間可以得到類似結(jié)論:已知正四面體P-
12、ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則=( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3,故=.
3.[2017·陜西商洛期中]對于任意的兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定:(a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運算“”為:(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad);運算“”為:(a,b)(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,q∈R,若(1,2)(p,q)=(5,0),則(1,2)(p,q)=( )
A.(4,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,
13、-4)
答案:B
解析:由(1,2)(p,q)=(5,0),得
?
所以(1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0).
4.如圖,將平面直角坐標(biāo)系中的格點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)按如下規(guī)則標(biāo)上數(shù)字標(biāo)簽:原點處標(biāo)0,點(1,0)處標(biāo)1,點(1,-1)處標(biāo)2,點(0,-1)處標(biāo)3,點(-1,-1)處標(biāo)4,點(-1,0)處標(biāo)5,點(-1,1)處標(biāo)6,點(0,1)處標(biāo)7,依此類推,則標(biāo)簽為2 0132的格點的坐標(biāo)為( )
A.(1 006,1 005) B.(1 007,1 006)
C.(1 008,1 007) D.(1 009,1 008
14、)
答案:B
解析:因為點(1,0)處標(biāo)1=12,點(2,1)處標(biāo)9=32,點(3,2)處標(biāo)25=52,點(4,3)處標(biāo)49=72,依此類推得點(1 007,1 006)處標(biāo)2 0132.故選B.
5.[2017·山東濟南模擬]有一個奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下:
1 3 7 13 21 …
5 9 15 23 … …
11 17 25 … … …
19 27 … … … …
29 … … … … …
… … … … … …
則第30行從左到右第3個數(shù)是________.
答案:1 051
解析:觀察每一行的第一個數(shù),由歸納推理可得第30行的第1個數(shù)是1+4+6+8+10
15、+…+60=-1=929.又第n行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大2n,第3個數(shù)比第2個數(shù)大2n+2,所以第30行從左到右的第2個數(shù)比第1個數(shù)大60,第3個數(shù)比第2個數(shù)大62,故第30行從左到右第3個數(shù)是929+60+62=1 051.
6.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察:
f1(x)=f(x)=,
f2(x)=f(f1(x))=,
f3(x)=f(f2(x))=,
f4(x)=f(f3(x))=,
…
根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:
當(dāng)n∈N*且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=________.
答案:
解析:根據(jù)題意知,分子都是x,分母中的常數(shù)項依次是2,
16、4,8,16,…,可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n,分母中x的系數(shù)為2n-1,故fn(x)=f(fn-1(x))=.
7.[2017·山東淄博模擬]如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茨調(diào)和三角形”,它是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為(n≥2),每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如=+,=+,=+,則第7行第4個數(shù)(從左往右)為________.
…
答案:
解析:設(shè)第n行第m個數(shù)為a(n,m),由題意知,a(6,1)=,a(7,1)=,
∴a(7,2)=a(6,1)-a(7,1)=-=,
a(6,2)=a
17、(5,1)-a(6,1)=-=,
a(7,3)=a(6,2)-a(7,2)=-=,
a(6,3)=a(5,2)-a(6,2)=-=,
∴a(7,4)=a(6,3)-a(7,3)=-=.
8.對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.若f(x)=x3-x2+3x-,請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),
(1)求函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心;
(2)計算f+f+f+f+…+f.
解:(1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,
由f″(x)=0,即2x-1=0,解得x=.
f=×3-×2+3×-=1.
由題中給出的結(jié)論可知,函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心為.
(2)由(1)知,函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心為,
所以f+f=2,
即f(x)+f(1-x)=2.
故f+f=2,
f+f=2,
f+f=2,
…
f+f=2,
所以f+f+f+…+f=×2×2 016=2 016.