(課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版)高考數(shù)學(xué) 第六章 數(shù)列 2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和試題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題
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1、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測(cè) 熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 等差數(shù)列 的定義及 通項(xiàng)公式 ①理解等差數(shù)列的概念.②掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.③了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 2016課標(biāo)全國Ⅱ,17,12分 等差數(shù)列基本量計(jì)算 數(shù)值的計(jì)算 ★★★ 等差數(shù)列 的性質(zhì) 能利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相應(yīng)問題 2015課標(biāo)Ⅱ,5,5分 等差數(shù)列的性質(zhì) 下標(biāo)和定理 ★★★ 等差數(shù) 列的前 n項(xiàng)和 掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2018課標(biāo)全國Ⅱ,17,12分 基本量的計(jì)算及求前n項(xiàng)和最值 二次函數(shù)求
2、最值 ★★★ 2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分 等差數(shù)列基本量的計(jì)算 — 2014課標(biāo)Ⅱ,5,5分 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和 等差數(shù)列的定義 分析解讀 等差數(shù)列是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,主要考查等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、等差中項(xiàng)等相關(guān)內(nèi)容.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于中低檔題. 破考點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一 等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式 1.(2018陜西咸陽12月模擬,7)《張丘建算經(jīng)》卷上一題大意為今有女善織,日益功疾,且從第二天起,每天比前一天多織相同量的布,現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織布390尺,最后一天織布21尺,則該女第一天共織多少布?( )
3、 A.3尺 B.4尺 C.5尺 D.6尺 答案 C 2.(2017安徽淮南一模,15)已知數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系式an+1=2an+2n-1(n∈N*),且an+λ2n為等差數(shù)列,則λ的值是 .? 答案 -1 3.(2018河南開封定位考試,17)已知數(shù)列{an}滿足a1=12,且an+1=2an2+an. (1)求證:數(shù)列1an是等差數(shù)列; (2)若bn=anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解析 (1)證明:∵an+1=2an2+an,∴1an+1=2+an2an, ∴1a
4、n+1-1an=12. ∴數(shù)列1an是以2為首項(xiàng),12為公差的等差數(shù)列. (2)由(1)知an=2n+3,∴bn=4(n+3)(n+4)=41n+3-1n+4, ∴Sn=414-15+15-16+…+1n+3-1n+4 =414-1n+4=nn+4. 考點(diǎn)二 等差數(shù)列的性質(zhì) (2019屆湖北宜昌模擬,6)已知數(shù)列{an}滿足5an+1=25·5an,且a2+a4+a6=9,則log13(a5+a7+a9)=( ) A.-3 B.3 C.-13 D.13 答案 A 考點(diǎn)三 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 1.(2018安徽安慶調(diào)研,5)等差數(shù)列{an}中,已知S15=90,
5、那么a8=( ) A.12 B.4 C.3 D.6 答案 D 2.(2017河南部分重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián),6)設(shè)Sn是公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1>0,若S5=S9,則當(dāng)Sn最大時(shí),n=( ) A.6 B.7 C.10 D.9 答案 B 3.(2019屆福建龍巖永定區(qū)模擬,10)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,且SnTn=3n2n+1,則a11b11=( ) A.1813 B.6323 C.3323 D.6343 答案 D 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1 等差數(shù)列的判定與證明的方法 (2019屆福建三明模擬,17)已知數(shù)列
6、{an}中,an=2n-1. (1)證明:數(shù)列{an}是等差數(shù)列; (2)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=25,求n. 解析 (1)證明:∵an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2,a1=1, ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為1,公差為2. (2)由(1)得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n+(n-1)n2×2=n2,由Sn=25得n2=25,又n>0,解得n=5. 方法2 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題的解決方法 1.(2019屆江西高安模擬,11)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,滿足a1+3a2=S6,給出下列結(jié)論:(1)a7=0;(2)S13=0;(3)S
7、7最小;(4)S5=S8.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
2.(2019屆福建龍巖新羅區(qū)模擬,12)已知等差數(shù)列{an}的公差為-2,前n項(xiàng)和為Sn,a3,a4,a5為某三角形的三邊長,且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120°,若Sn≤Sm對(duì)任意的n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)m=( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B
3.(2019屆福建龍巖新羅區(qū)模擬,16)等差數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項(xiàng)和,且S6
8、d<0;②S9 9、}的通項(xiàng)公式為an=2n+35.(5分)
(2)由(1)知,bn=2n+35.(6分)
當(dāng)n=1,2,3時(shí),1≤2n+35<2,bn=1;
當(dāng)n=4,5時(shí),2<2n+35<3,bn=2;
當(dāng)n=6,7,8時(shí),3≤2n+35<4,bn=3;
當(dāng)n=9,10時(shí),4<2n+35<5,bn=4.(10分)
所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)
考點(diǎn)二 等差數(shù)列的性質(zhì)
(2015課標(biāo)Ⅱ,5,5分)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1+a3+a5=3,則S5=( )
10、
A.5 B.7 C.9 D.11
答案 A
考點(diǎn)三 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
1.(2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S8=4S4,則a10=( )
A.172 B.192 C.10 D.12
答案 B
2.(2014課標(biāo)Ⅱ,5,5分)等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1)
C.n(n+1)2 D.n(n-1)2
答案 A
3.(2018課標(biāo)全國Ⅱ,17,12分)記Sn 11、為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解析 (1)設(shè){an}的公差為d,
由題意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以當(dāng)n=4時(shí),Sn取得最小值,最小值為-16.
B組 自主命題·省(區(qū)、市)卷題組
考點(diǎn)一 等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式
1.(2016浙江,8,5分)如圖,點(diǎn)列{An},{Bn}分別在某銳角的兩邊上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+ 12、2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則( )
A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{Sn2}是等差數(shù)列
C.{dn}是等差數(shù)列 D.{dn2}是等差數(shù)列
答案 A
2.(2014遼寧,9,5分)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列,則( )
A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0
答案 13、 D
3.(2015北京,16,13分)已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3,b3=a7.問:b6與數(shù)列{an}的第幾項(xiàng)相等?
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)閍4-a3=2,所以d=2.
又因?yàn)閍1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.
因?yàn)閎2=a3=8,b3=a7=16,
所以q=2,b1=4.
所以b6=4×26-1=128.
由128=2n+2得n 14、=63.
所以b6與數(shù)列{an}的第63項(xiàng)相等.
4.(2014浙江,19,14分)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S2·S3=36.
(1)求d及Sn;
(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.
解析 (1)由題意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,
將a1=1代入上式解得d=2或d=-5.
因?yàn)閐>0,所以d=2.從而an=2n-1,Sn=n2(n∈N*).
(2)由(1)得am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1),
所以(2m+k-1)(k+1)=65.
15、
由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故2m+k-1=13,k+1=5,
所以m=5,k=4.
考點(diǎn)二 等差數(shù)列的性質(zhì)
1.(2014重慶,2,5分)在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,則a7=( )
A.5 B.8 C.10 D.14
答案 B
2.(2015陜西,13,5分)中位數(shù)為1 010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,其末項(xiàng)為2 015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為 .?
答案 5
考點(diǎn)三 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
1.(2017浙江,6,4分)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不 16、必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案 C
2.(2015安徽,13,5分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1+12(n≥2),則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于 .?
答案 27
C組 教師專用題組
考點(diǎn)一 等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式
1.(2013安徽,7,5分)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( )
A.-6 B.-4 C.-2 D.2
答案 A
2.( 17、2014陜西,14,5分)已知f(x)=x1+x,x≥0,若f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,則f2 014(x)的表達(dá)式為 .?
答案 f2 014(x)=x1+2 014x
3.(2015福建,17,12分)等差數(shù)列{an}中,a2=4,a4+a7=15.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15,
解得a1=3,d=1.
所以an=a1+(n-1 18、)d=n+2.
(2)由(1)可得bn=2n+n.
所以b1+b2+b3+…+b10
=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)
=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)
=2(1-210)1-2+(1+10)×102
=(211-2)+55=211+53=2 101.
4.(2013課標(biāo)Ⅰ,17,12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列1a2n-1a2n+1的前n項(xiàng)和.
解析 (1)設(shè){an}的公差為d,則Sn=na1+n(n-1)2d.
由已知可得3a1+ 19、3d=0,5a1+10d=-5.解得a1=1,d=-1.
故{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n.
(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1212n-3-12n-1,
從而數(shù)列1a2n-1a2n+1的前n項(xiàng)和為
121-1-11+11-13+…+12n-3-12n-1=n1-2n.
5.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.
(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;
(2)若C=2π3,求ab的值.
解析 (1)證明:由已知得sin Asin B+ 20、sin Bsin C=2sin2B,
因?yàn)閟in B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,
由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差數(shù)列.
(2)由C=2π3,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以ab=35.
考點(diǎn)二 等差數(shù)列的性質(zhì)
(2013遼寧,4,5分)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題:
p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列; p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;
p3:數(shù)列ann是遞增數(shù)列; p4:數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列.
其中的真命題為( )
A.p1,p2 B.p3,p4
C. 21、p2,p3 D.p1,p4
答案 D
考點(diǎn)三 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
1.(2014天津,5,5分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1=( )
A.2 B.-2 C.12 D.-12
答案 D
2.(2014重慶,16,13分)已知{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,Sn表示{an}的前n項(xiàng)和.
(1)求an及Sn;
(2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,公比q滿足q2-(a4+1)q+S4=0.求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.
解析 (1)因?yàn)閧an}是首項(xiàng)a1=1,公差d=2的等差數(shù)列,所以 22、an=a1+(n-1)d=2n-1.
故Sn=1+3+…+(2n-1)=n(a1+an)2=n(1+2n-1)2=n2.
(2)由(1)得a4=7,S4=16.因?yàn)閝2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,從而q=4.
又因?yàn)閎1=2,{bn}是公比q=4的等比數(shù)列,
所以bn=b1qn-1=2×4n-1=22n-1.
從而{bn}的前n項(xiàng)和Tn=b1(1-qn)1-q=23(4n-1).
3.(2013浙江,19,14分)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d,an;
(2)若d< 23、0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
解析 (1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,所以當(dāng)n≤11時(shí),
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-12n2+212n.
當(dāng)n≥12時(shí),|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.
綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=-12n2+212n, n≤ 24、11,12n2-212n+110,n≥12.
【三年模擬】
時(shí)間:45分鐘 分值:60分
一、選擇題(每小題5分,共35分)
1.(2018河南開封定位考試,5)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a5=10,S4=16,則數(shù)列{an}的公差為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
2.(2017遼寧六校協(xié)作體期中,8)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有SnTn=2n-34n-1,則a3+a152(b3+b9)+a3b2+ 25、b10=( )
A.1943 B.1740 C.920 D.2750
答案 A
3.(2018云南玉溪模擬,9)若{an}是等差數(shù)列,公差d<0,a1>0,且a2 013(a2 012+a2 013)<0,則使數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是( )
A.4 027 B.4 026 C.4 025 D.4 024
答案 D
4.(2017廣東惠州二調(diào),7)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a6a5=911,則S11S9=( )
A.1 B.-1 C.2 D.12
答案 A
5.(2019屆河北唐山模擬,8)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2+λ 26、an,且a1=1,則S5=( )
A.27 B.5327 C.3116 D.31
答案 C
6.(2019屆浙江溫州模擬,9)已知{an},{bn}均為等差數(shù)列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{an},{bn}的公共項(xiàng)組成新數(shù)列{cn},則c10=( )
A.18 B.24 C.30 D.36
答案 C
7.(2019屆河北唐山模擬,6)設(shè){an}是任意等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前4n項(xiàng)和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是( )
A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y
C.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y
答案 D
二、填空 27、題(共5分)
8.(2018四川德陽一模,7)我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中有“分錢問題”:今有與人錢,初一人與三錢,次一人與四錢,次一人與五錢,以次與之,轉(zhuǎn)多一錢,與訖,還斂聚與均分之,人得一百錢,問人幾何?意思是:將錢分給若干人,第一人給3錢,第二人給4錢,第三人給5錢,以此類推,每人比前一人多給1錢,分完后,再把錢收回平均分給各人,結(jié)果每人分得100錢,問有多少人?則題中的人數(shù)是 .?
答案 195
三、解答題(共20分)
9.(2018廣東惠州一調(diào),17)已知等差數(shù)列{an}的公差不為0,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),S5=25,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.
28、(1)求an與Sn;
(2)設(shè)bn=1SnSn+1,求證:b1+b2+b3+…+bn<1.
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
則由S5=25可得a3=5,即a1+2d=5①,
又S1,S2,S4成等比數(shù)列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,
所以(2a1+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,
因?yàn)閐≠0,所以d=2a1②,
聯(lián)立①②,解得a1=1,d=2,
所以an=1+2(n-1)=2n-1,Sn=n(1+2n-1)2=n2.
(2)證明:由(1)得bn=1n(n+1)=1n-1n+1,
所以b1+b2+b3+…+bn 29、=11-12+12-13+…+1n-1n+1
=1-1n+1.
又∵n∈N*,∴1-1n+1<1.∴b1+b2+b3+…+bn<1.
10.(2019屆河北曲周模擬,17)等差數(shù)列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記Tn為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和,其中bn=|an|,n∈N*,若Tn≥1 464,求n的最小值.
解析 (1)∵等差數(shù)列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,
∴a2+a6=a3+a5=-8,又∵a3a5=7,
∴a3,a5是一元二次方程x2+8x+7=0的兩個(gè)根,且a3>a5,
解方程x2+8x+ 30、7=0,得a3=-1,a5=-7,
∴a1+2d=-1,a1+4d=-7,解得a1=5,d=-3.
∴an=5+(n-1)×(-3)=-3n+8.
(2)由(1)知{an}的前n項(xiàng)和Sn=5n+n(n-1)2×(-3)=-32n2+132n.
∵bn=|an|,∴b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,
當(dāng)n≥3時(shí),bn=|an|=3n-8.
當(dāng)n<3時(shí),T1=5,T2=7;
當(dāng)n≥3時(shí),Tn=-Sn+2S2=3n22-13n2+14.
∵Tn≥1 464,∴Tn=3n22-13n2+14≥1 464,
即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥1003,
∴n的最小值為34.
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