高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 突破點(diǎn)13 直線與圓 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

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1、突破點(diǎn)13 直線與圓 提煉1 圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a,b),半徑為r時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),方程為x2+y2=r2. (2)圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以為圓心,為半徑的圓. 提煉2 求解直線與圓相關(guān)問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)三個(gè)定理:切線的性質(zhì)定理,切線長(zhǎng)定理,垂徑定理. (2)兩個(gè)公式:點(diǎn)到直線的距離公式d=,弦長(zhǎng)公式|AB|=2(弦心距d). 提煉3 求距離最值問(wèn)題的本質(zhì) (1)圓外一點(diǎn)P到圓C上的點(diǎn)距離的最大值為|PC|+r,最小值為|P

2、C|-r,其中r為圓的半徑. (2)圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d+r,最小距離是d-r,其中d為圓心到直線的距離,r為圓的半徑. (3)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn),直徑是最長(zhǎng)的弦,與此直徑垂直的弦是最短的弦. 回訪1 圓的方程 1.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓+=1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______. 2+y2= 由題意知a=4,b=2,上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2),(0,-2),右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).由圓心在x軸的正半軸上知圓過(guò)點(diǎn)(0,2),(0,-2),(4,0)三點(diǎn).設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-m)2+y2=r2(00),則解得所

3、以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+y2=.] 2.(2014·山東高考)圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________________. (x-2)2+(y-1)2=4 設(shè)圓C的圓心為(a,b)(b>0),由題意得a=2b>0,且a2=()2+b2,解得a=2,b=1. ∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4.] 回訪2 直線與圓的相關(guān)問(wèn)題 3.(2016·全國(guó)甲卷)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(  ) A.-       B.- C. D.2 A 由

4、圓x2+y2-2x-8y+13=0,得圓心坐標(biāo)為(1,4),所以圓心到直線ax+y-1=0的距離d==1,解得a=-.] 4.(2016·全國(guó)乙卷)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則圓C的面積為_(kāi)_______. 4π 圓C:x2+y2-2ay-2=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C:x2+(y-a)2=a2+2, 所以圓心C(0,a),半徑r=,|AB|=2,點(diǎn)C到直線y=x+2a即x-y+2a=0的距離d=,由勾股定理得2+2=a2+2,解得a2=2, 所以r=2,所以圓C的面積為π×22=4π.] 熱點(diǎn)題型1 圓的方程 題型分析:求圓

5、的方程是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法.  (1)(2016·黃山一模)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2,則圓C的方程為_(kāi)_______. (2)(2016·鄭州二模)已知⊙M的圓心在第一象限,過(guò)原點(diǎn)O被x軸截得的弦長(zhǎng)為6,且與直線3x+y=0相切,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______. (1)x2+2= (2)(x-3)2+(y-1)2=10 (1)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱,所以圓C的圓心C在y軸上,可設(shè)C(0,b), 設(shè)圓C的半徑為r,則圓C的方程為x2+(y-b)2=r2. 依題意,得解得 所以圓C的方程為x2+2

6、=. (2)法一:設(shè)⊙M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b>0,r>0),由題意知 解得故⊙M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. 法二:因?yàn)閳AM過(guò)原點(diǎn),故可設(shè)方程為x2+y2+Dx+Ey=0,又被x軸截得的弦長(zhǎng)為6且圓心在第一象限,則2=32,故D=-6,與3x+y=0相切,則=,即E=D=-2,因此所求方程為x2+y2-6x-2y=0. 故⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-1)2=10.] 求圓的方程的兩種方法 1.幾何法,通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的基本量和方程. 2.代數(shù)法,即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程,再由條件

7、求得各系數(shù). 變式訓(xùn)練1] (1)已知圓M的圓心在x軸上,且圓心在直線l1:x=-2的右側(cè),若圓M截直線l1所得的弦長(zhǎng)為2,且與直線l2:2x-y-4=0相切,則圓M的方程為(  ) A.(x-1)2+y2=4    B.(x+1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y+1)2=4 (2)(2016·長(zhǎng)春一模)拋物線y2=4x與過(guò)其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A,B兩點(diǎn),其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M,則過(guò)M,A,B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______. (1)B (2)(x-1)2+y2=4 (1)由已知,可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0),a>-2,半徑為r,得 解

8、得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x+1)2+y2=4.故選B. (2)由題意知,A(1,2),B(1,-2),M(-1,0), △AMB是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則線段AB是所求圓的直徑,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4.] 熱點(diǎn)題型2 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 題型分析:直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容,解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法.  (1)(2016·全國(guó)丙卷)已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=2,則|CD|=________. 4 由直線

9、l:mx+y+3m-=0知其過(guò)定點(diǎn)(-3,),圓心O到直線l的距離為d=. 由|AB|=2得2+()2=12,解得m=-.又直線l的斜率為-m=,所以直線l的傾斜角α=. 畫(huà)出符合題意的圖形如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD,則∠DCE=.在Rt△CDE中,可得|CD|==2×=4.] (2)(2016·開(kāi)封一模)如圖13-1,已知圓G:(x-2)2+y2=r2是橢圓+y2=1的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓,其中A為橢圓的左頂點(diǎn). (1)求圓G的半徑r; (2)過(guò)點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點(diǎn),證明:直線EF與圓G相切. 圖13-1 解] (1)設(shè)B(2+r,y0),過(guò)圓

10、心G作GD⊥AB于D,BC交長(zhǎng)軸于H. 由=得=, 即y0=, ?、?分 而B(niǎo)(2+r,y0)在橢圓上, y=1-==-, ?、?分 由①②式得15r2+8r-12=0, 解得r=或r=-(舍去).5分 (2)證明:設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0,1)與圓(x-2)2+y2=相切的直線方程為y=kx+1,③ 則=,即32k2+36k+5=0,④ 解得k1=,k2=. 將③代入+y2=1得(16k2+1)x2+32kx=0,則異于零的解為x=-.8分 設(shè)F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),則 x1=-,x2=-,9分 則直線FE的斜率為kEF===, 于是直線FE的

11、方程為y+-1=. 即y=x-,則圓心(2,0)到直線FE的距離d==,故結(jié)論成立.12分 1.直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑,減少運(yùn)算量.研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過(guò)圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn),兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較. (2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式,所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式,過(guò)圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)的距離,利用勾股定理計(jì)算. 2.弦長(zhǎng)的求解方法 (

12、1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形,把弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到直線的距離表示,l=2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離). (2)根據(jù)公式:l=|x1-x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng),x1,x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),k為直線的斜率). (3)求出交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間距離公式求解. 變式訓(xùn)練2] (1)(2016·哈爾濱一模)設(shè)直線l:y=kx+1被圓C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,則直線l的方程為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952047】 y=x+1 直線l恒過(guò)定點(diǎn)M(0,1),圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4,易知點(diǎn)M(0,1)在圓C的內(nèi)部,

13、依題意當(dāng)l⊥CM時(shí)直線l被圓C截得的弦最短,于是k·=-1,解得k=1,所以直線l的方程為y=x+1.] (2)(2016·泉州一模)已知點(diǎn)M(-1,0),N(1,0),曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N距離的倍. ①求曲線E的方程; ②已知m≠0,設(shè)直線l1:x-my-1=0交曲線E于A,C兩點(diǎn),直線l2:mx+y-m=0交曲線E于B,D兩點(diǎn).C,D兩點(diǎn)均在x軸下方.當(dāng)CD的斜率為-1時(shí),求線段AB的長(zhǎng). 解]?、僭O(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 由題意,=,2分 整理得x2+y2-4x+1=0,即 (x-2)2+y2=3為所求.4分 ②由題知l1⊥l2,且兩條直線均

14、恒過(guò)點(diǎn)N(1,0),設(shè)曲線E的圓心為E,則E(2,0),線段CD的中點(diǎn)為P,則直線EP:y=x-2,設(shè)直線CD:y=-x+t,由解得點(diǎn)P.7分 由圓的幾何性質(zhì), |NP|=|CD|=, 而|NP|2=2+2,|ED|2=3, |EP|2=2,∴2+2=3-2,解得t=0或t=3, 又C,D兩點(diǎn)均在x軸下方,直線CD:y=-x. 由解得或 9分 設(shè)C,D, 由消去y得: (u2+1)x2-2(u2+2)x+u2+1=0,(*) 方程(*)的兩根之積為1,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo) xA=2+,又因?yàn)辄c(diǎn)C在直線l1:x-my-1=0上,解得m=+1,11分 直線l1:y=(-1)(x-1),所以A(2+,1), 同理可得,B(2-,1),所以線段AB的長(zhǎng)為2.12分

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