高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)7 用樣本估計(jì)總體 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

突破點(diǎn)7用樣本估計(jì)總體提煉1頻率分布直方圖(1)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示組距，縱坐標(biāo)表示，頻率組距×.(2)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.(3)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，在頻率分布直方圖中：最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.提煉2莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)(1)所有的信息都可以從莖葉圖中得到(2)可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布情況.提煉3樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)(2)樣本平均數(shù)(x1x2xn)(3)樣本方差s2(x1)2(x2)2(xn)2(4)樣本標(biāo)準(zhǔn)差s.回訪用樣本估計(jì)總體1(2015·全國(guó)卷節(jié)選)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可)；圖7­1解兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下：2分通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散. 4分2(2013·全國(guó)卷)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖7­2所示經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以X(單位：t,100X150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)圖7­2(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)求T的數(shù)學(xué)期望解(1)當(dāng)X100,130)時(shí)，T500X300(130X)800X39 000.當(dāng)X130,150時(shí)，T500×13065 000.所以T4分(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120X150.由直方圖知需求量X120, 150的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.7分(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.2 0.30.410分所以E(T)45 000×0.153 000×0.261 000×0.365 000×0.459 400.12分熱點(diǎn)題型1頻率分布直方圖題型分析：頻率分布直方圖多以生活中的實(shí)際問題為背景，考查學(xué)生運(yùn)用已知數(shù)據(jù)分析問題的能力，難度中等.(2016·合肥三模)某高中為了解全校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的情況，隨機(jī)從全校學(xué)生中抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間如下：每周參與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位：小時(shí))0,4)4,8)8,12)12,16)16,20頻數(shù)24402862(1)作出樣本的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)該校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的中位數(shù)及平均數(shù)；若該校有學(xué)生3 000人，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，估計(jì)該校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不低于8小時(shí)的人數(shù)解(1)頻率分布直方圖如圖所示：(2)由數(shù)據(jù)估計(jì)中位數(shù)為4×46.6，8分估計(jì)平均數(shù)為2×0.246×0.410×0.2814×0.0618×0.026.88.10分將頻率看作概率知P(t8)0.36，3 000×0.361 080.12分解決該類問題的關(guān)鍵是正確理解已知數(shù)據(jù)的含義掌握?qǐng)D表中各個(gè)量的意義，通過圖表對(duì)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析提醒：(1)小長(zhǎng)方形的面積表示頻率，其縱軸是，而不是頻率(2)各組數(shù)據(jù)頻率之比等于對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形的高度之比變式訓(xùn)練1某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者進(jìn)行調(diào)查這1 000名購(gòu)物者2015年網(wǎng)上購(gòu)物金額(單位：萬元)均在區(qū)間0.3,0.9內(nèi)，樣本分組為：0.3,0.4)，0.4,0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，0.8,0.9，購(gòu)物金額的頻率分布直方圖如下：圖7­3電子商務(wù)公司決定給購(gòu)物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購(gòu)物金額關(guān)系如下：購(gòu)物金額分組0.3,0.5)0.5,0.6)0.6,0.8)0.8,0.9發(fā)放金額50100150200(1)求這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)；(2)以這1 000名購(gòu)物者購(gòu)物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率，求一個(gè)購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率解(1)購(gòu)物者的購(gòu)物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表：x0.3x<0.50.5x<0.60.6x<0.80.8x0.9y50100150200頻率0.40.30.280.02這1 000名購(gòu)物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為：96.4分(2)由獲得優(yōu)惠券金額y與 購(gòu)物金額x的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有P(y150)P(0.6x<0.8)(20.8)×0.10.28，P(y200)P(0.8x0.9)0.2×0.10.02，10分從而，獲得優(yōu)惠券不少于150元的概率為P(y150)P(y150)P(y200)0.280.020.3.12分熱點(diǎn)題型2莖葉圖題型分析：結(jié)合樣本數(shù)據(jù)和莖葉圖對(duì)總體作出估計(jì)是高考命題的熱點(diǎn)，應(yīng)引起足夠的重視，難度中等.(2016·福州模擬)長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本，繪制成莖葉圖如圖7­4所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字)圖7­4(1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計(jì)哪個(gè)班的學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng)；(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)提取一個(gè)不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率解(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(911142031)17.3分由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間17小時(shí)；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(1112212526)19，由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng).6分(2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個(gè)，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個(gè)，分別為11,12,21，從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有：9種不同情況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,21)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)，其中a>b的情況有(14,11)，(14,12)兩種，故a>b的概率P.12分作莖葉圖時(shí)先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么，根據(jù)莖葉圖，可以得到數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，也可從圖中直接估計(jì)出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小與穩(wěn)定性變式訓(xùn)練2(名師押題)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；(2)以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差解(1)由題表中的數(shù)據(jù)易知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差為401921.2分(2)這20名工人年齡的莖葉圖如下：6分(3)這20名工人年齡的平均數(shù)(19×128×329×330×531×432×340×1)30，8分故方差s21×(1930)23×(2830)23×(2930)25×(3030)24×(3130)23×(3230)21×(4030)2×(1211230412100)12.6.12分