專題測試練習(xí)題 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題

專題18 等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的問題【自主熱身,歸納提煉】1、設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a2a42,S2S41,則a10_【答案】. 8【解析】： 列方程組求出a1和d,則a10a19d.設(shè)公差為d,則解得所以a10a19d8.2、 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若S1530,a71,則S9的值為_【答案】： 9 解法1利用等差數(shù)列基本量；解法2利用等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列項數(shù)與項數(shù)的關(guān)系：在等差數(shù)列an中,若m,n,p,qN*且mnpq,則amanapaq；等差數(shù)列任兩項的關(guān)系：在等差數(shù)列an中,若m,nN*且其公差為d,則aman(mn)d.3、在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,若a21,a8a66a4,則a3的值為_【答案】： 【解析】：由a8a66a4得a2q6a2q46a2q2,則有q4q260,所以q23(舍負(fù)),又q>0,所以q,則a3a2q. 等差、等比數(shù)列基本量的計算是高考?？碱}型,熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式是解題的關(guān)鍵,值得注意的是等比數(shù)列的通項公式的推廣“anamqnm(n>m)”的應(yīng)用4、已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且,a4a2,則a3的值為_【答案】：. 【解析】： 兩個已知等式均可由a3和公比q表示由已知,得解得5、記等差數(shù)列an的前n項和為Sn.若am10,S2m1110,則m的值為_【答案】： 6【解析】：由S2m1·(2m1)a1(m1)d(2m1)(2m1)am得,11010(2m1),解得m6.6、已知各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若4a4,a3,6a5成等差數(shù)列,且a33a,則S3_【答案】：. 【解析】：設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q,則q>0,且a1>0,由4a4,a3,6a5成等差數(shù)列,得2a34a46a5,即2a34a3q6a3q2,解得q.又由a33a,解得a1,所以S3a1a2a3. 7、知是等比數(shù)列,是其前項和若,則的值為 【答案】2或6【解析】由,當(dāng)左邊=右邊=顯然不成立,所以,則有,因為,所以,即,所以或,所以.【易錯警示】若用到等比數(shù)列的前項公式,要討論公比是否為1；方程兩邊,若公因數(shù)不為0,可以同時約去,若不確定是否為0,要移項因式分解,轉(zhuǎn)化成乘積為0的形式再求解,否則會漏解.8、九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則該竹子最上面一節(jié)的容積為_升【答案】：. 【解析】：設(shè)該等差數(shù)列為an,則有S43,a9a8a74,即a8,則有即解得a1.9、 等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且anSnn216n15(n2,nN*),若對任意nN*,總有SnSk,則k的值是_10、若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且a3a12,則a5的最小值為 【答案】：8 【解析】： 因為a3a12,所以,即所以,設(shè),即,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時取到等號.【問題探究,變式訓(xùn)練】例1、已知公差為d的等差數(shù)列的前n項和為Sn,若3,則的值為_【答案】：. 【解析】：設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1,則由3得3,所以d4a1,所以.【變式1】、設(shè)是等差數(shù)列的前n項和,若,則= 【解析】 由,得,由S3,S6- S3,S9- S6成等差數(shù)列,故S6- S3 = 2S3,S9- S6 = 3S3 = S6,解得=【變式2】、 設(shè)是等比數(shù)列的前n項和,若,則= 【解析】 由,得,由S5,S10- S5,S15- S10,S20- S15成等差數(shù)列,故S10- S5 = 2 S5,S15- S10 = 4S5,S20- S15 = 8S5,所以,故【變式3】、 設(shè)是等比數(shù)列的前n項和,若,則= 【解析】 由,得,則【關(guān)聯(lián)1】、設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足Sn2an2,則_.【解析】： 4 求出a1及an1與an間的遞推關(guān)系由Sn2an2和Sn12an12,兩式相減得an12an0,即an12an.又a1S12,所以數(shù)列an是首項為2、公比q2的等比數(shù)列,所以q24.【關(guān)聯(lián)2】、Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若,則_.【答案】： 解法1 由可得,當(dāng)n1時,所以a22a1. da2a1a1,所以.解法2 ,觀察發(fā)現(xiàn)可令Snn2n,則anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n,所以.【關(guān)聯(lián)3】、 已知等差數(shù)列an和bn的前n項的和分別是An和Bn,且,使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為 【解析】,所以,要使得為整數(shù),則n+1為18的因數(shù), n=1,2,5,8,17,所以,使得為整數(shù)的正整數(shù)n共有5個例1、已知數(shù)列an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且a2·a315,S416.(1) 求數(shù)列an的通項公式(2) 設(shè)數(shù)列bn滿足b1a1,bn1bn.求數(shù)列bn的通項公式；是否存在正整數(shù)m,n(mn),使得b2,bm,bn成等差數(shù)列？若存在,求出m,n的值；若不存在,請說明理由【解析】： (1) 設(shè)數(shù)列an的公差為d,則d0.由a2·a315,S416,得解得或(舍去)所以an2n1.(4分)(2) 因為b1a11,bn1bn·, (6分)即b2b1,b3b2,bnbn1,n2,累加得bnb1,(9分)所以bnb11.又b11也符合上式,故bn,nN*.(11分)解后反思 對于研究與整數(shù)有關(guān)的問題,一般地,可利用整數(shù)性或通過求出某個變量的限制范圍,利用整數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行一一地驗證【變式1】、設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,滿足,S7 = 7（1）求數(shù)列an的通項公式及前n項和Sn；（2）試求所有的正整數(shù)m,使得為數(shù)列an中的項【解析】（1）設(shè)公差為d,則,得,因為d 0,所以,又由S7 = 7得a4 = 1,解得a1 = -5,d = 2,所以,（2）,令,則, 因為t是奇數(shù),所以t可取的值為,當(dāng)t = 1,m = 1時,是數(shù)列中的項；當(dāng)t = -1時,m = 0（舍）,所以,滿足條件的正整數(shù)m = 1【變式2】、已知數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列bn,cn滿足(n1)bnan1,(n2)cn,其中nN*.(1) 若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列cn的通項公式；(2) 若存在實數(shù),使得對一切nN*,有bncn,求證：數(shù)列an是等差數(shù)列思路分析 (2) 若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,則an1d,d,所以bncnd.因此要先證bncn是常數(shù)【解析】： (1) 若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列,則.(2分)所以(n2)cnn2,得cn1.(4分)(2) 由(n1)bnan1,得n(n1)bnnan1Sn,從而(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1.兩式相減,得(n1)(n2)bn1n(n1)bn(n1)an2(n1)an1,即(n2)bn1nbnan2an1.(*)(6分)又(n2)cn(n1)bn,所以2(n2)cn2(n1)bn(n2)bn1nbn,整理,得cn(bnbn1)(9分)因為bncn對一切nN*恒成立,所以bncn(bnbn1)對一切nN*恒成立,得cn,且bnbn12.而bn,bn1,所以必有bnbn1.綜上所述,bncn對一切nN*恒成立(12分)此時,由(*)式,得an2an12對一切nN*恒成立(14分)對(n1)bnan1,取n1,得a2a12.綜上所述,an1an2對一切nN*恒成立所以數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列(16分)思想根源 若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,則是公差為d的等差數(shù)列【關(guān)聯(lián)1】、已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a13,且對任意的正整數(shù)n,都有Sn1Sn3n1,其中常數(shù)>0.設(shè)bn (nN*)(1) 若3,求數(shù)列的通項公式；(2) 若1且3,設(shè)cnan×3n(nN*),證明數(shù)列是等比數(shù)列；(3) 若對任意的正整數(shù)n,都有bn3,求實數(shù)的取值范圍【解析】： 因為Sn1Sn3n1,nN*,所以當(dāng)n2時,SnSn13n,從而an1an2·3n,n2,nN*又在Sn1Sn3n1中,令n1,可得a2a12×31,滿足上式,所以an1an2·3n, nN* (2分)(1) 當(dāng)3時, an13an2·3n,nN*,從而,即bn1bn,又b11,所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,所以bn.(4分)(2) 當(dāng)>0且3且1時,cnan×3nan12×3n1×3n an1×3n1(33) (an1×3n1)·cn1, (7分) 又c130,所以是首項為,公比為的等比數(shù)列,cn·n1(8分)(3) 在(2)中,若1,則cn0也可使an有意義,所以當(dāng)3時,cn·n1.從而由(1)和(2)可知 (9分)當(dāng)3時,bn,顯然不滿足條件,故3.(10分)當(dāng)3時,bn×n1.若>3, >0,bn<bn1,nN*,bn1,),不符合,舍去. (11分)若0<<1,>0,>0,bn>bn1,nN*,且bn>0.所以只需b113即可,顯然成立故0<<1符合條件； (12分)若1,bn1,滿足條件故1符合條件；(13分)若1<<3,<0,>0,從而bn<bn1,nN*,因為b11>0.故bn,要使bn3恒成立,只需3即可所以1<. (15分)綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.(16分)【關(guān)聯(lián)2】、已知數(shù)列an的各項均為正數(shù),記數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列a的前n項和為Tn,且3TnS2Sn,nN*.(1) 求a1的值；(2) 求數(shù)列an的通項公式；(3) 若k,tN*,且S1,SkS1,StSk成等比數(shù)列,求k和t的值 第(2)問,由于式子“3TnS2Sn”涉及數(shù)列an,a的前n項和,常用相鄰項作差法處理,將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列an的遞推式,進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列求解；第(3)問,由題意,兩個未知量k和t,一個等式,屬于不定方程問題,通常有以下思考方法：因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計法、奇偶性分析法,本題采用奇偶性分析法求解規(guī)范解答 (1) 由3T1S2S1,得3aa2a1,即aa10.因為a10,所以a11.(2分)(2) 因為3TnS2Sn,所以3Tn1S2Sn1,得3aSS2an1,即3a(Sn1Sn)(Sn1Sn)2an1,即3a(Sn1Sn)an12an1,因為an10,所以3an1Sn1Sn2,(5分)所以3an2Sn2Sn12,得3an23an1an2an1,即an22an1,所以當(dāng)n2時,2.(8分)又由3T2S2S2,得3(1a)(1a2)22(1a2),即a2a20.因為a20,所以a22,所以2,所以對nN*,都有2成立,所以數(shù)列an的通項公式為an2n1,nN*.(10分)(3) 由(2)可知Sn2n1.因為S1,SkS1,StSk成等比數(shù)列,所以(SkS1)2S1(StSk),即(2k2)22t2k,(12分)所以2t(2k)23·2k4,即2t2(2k1)23·2k21(*)由于SkS10,所以k1,即k2.當(dāng)k2時,2t8,得t3.(14分)當(dāng)k3時,由(*),得(2k1)23·2k21為奇數(shù),所以t20,即t2,代入(*)得22k23·2k20,即2k3,此時k無正整數(shù)解綜上,k2,t3.(16分) 數(shù)列中不定方程的常見解題策略有因式分解法、利用整除性質(zhì)、不等式估計法、奇偶性分析法,這些策略有一個共同的特征,就是對等式兩邊適當(dāng)?shù)淖冃芜x擇等式一邊的特征進(jìn)行解題,如整除的性質(zhì)、范圍上界或下界、因式分解的形式、是否為有理數(shù)、奇偶性等【關(guān)聯(lián)3】、在數(shù)列an中,已知a12,an13an2n1.(1) 求證：數(shù)列ann為等比數(shù)列；(2) 記bnan(1)n,且數(shù)列bn的前n項和為Tn,若T3為數(shù)列Tn中的最小項,求的取值范圍思路分析 (1) 證明等比數(shù)列,一般從等比數(shù)列的定義出發(fā),首先要說明它的任意一項均不為0,且相鄰兩項的比值為非零的常數(shù)(2) 由第(1)問求出數(shù)列an的通項公式,由此得到bn的通項公式,通過分組求和后得到它的前n項和注意到T3為數(shù)列Tn中的最小項,因此,將它轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式恒成立問題,而要研究數(shù)列中的不等式恒成立問題,研究數(shù)列的單調(diào)性是必然的手段,通過研究數(shù)列的單調(diào)性后來得到變量的取值范圍當(dāng)n2時,由T2T3,得9；(12分)當(dāng)n4時,n2n12(n4)(n3)0恒成立,所以對n4恒成立令f(n),n4,則f(n1)f(n)0恒成立,故f(n)在n4時單調(diào)遞增,所以f(4).(15分)綜上,9.(16分)解后反思 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法,其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可而研究數(shù)列中的取值范圍問題,一般都是通過研究數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行求解【關(guān)聯(lián)4】、已知等差數(shù)列an的公差d不為0,且ak1,ak2,akn,(k1k2kn)成等比數(shù)列,公比為q.(1) 若k11,k23,k38,求的值；(2) 當(dāng)為何值時,數(shù)列kn為等比數(shù)列？(3) 若數(shù)列kn為等比數(shù)列,且對于任意nN*,不等式anakn2kn恒成立,求a1的取值范圍 思路分析 (1) 通過等比中項,得到a1和d的方程,從而求出的值；(2) 先由數(shù)列kn為等比數(shù)列,得出kk1k3,再結(jié)合ak1,ak2,ak3成等比數(shù)列,得方程a1(k11)da1(k31)da1(k21)d2,化簡得1,再證明當(dāng)1時,數(shù)列kn為等比數(shù)列,從而確定的值為1；(3) 由(2)中結(jié)論得出knk1qn1(q1),代入anakn2kn并分離變量得0·,再證明無限小,從而確定·有下界,得到0,從而確定a1的取值范圍是2,)【解析】： (1) 由已知可得a1,a3,a8成等比數(shù)列,所以(a12d)2a1(a17d), (2分)整理可得4d23a1d.因為d0,所以.(4分)(2) 設(shè)數(shù)列kn為等比數(shù)列,則kk1k3.又因為ak1,ak2,ak3成等比數(shù)列,所以a1(k11)da1(k31)da1(k21)d2.整理,得a1(2k2k1k3)d(k1k3kk1k32k2)因為kk1k3,所以a1(2k2k1k3)d(2k2k1k3)因為2k2k1k3,所以a1d,即1.(6分)當(dāng)1時,ana1(n1)dnd,所以aknknd.又因為aknak1qn1k1dqn1,所以knk1qn1.所以q,數(shù)列kn為等比數(shù)列綜上,當(dāng)1時,數(shù)列kn為等比數(shù)列(8分)因為lnxxx,則lnn12lnn1n1,解不等式n1n1lnqln,即(n1)2lnqn1ln0,可得n1,所以n12.設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)不妨取n01,則當(dāng)n1n0時,原式得證所以0,所以a12,即得a1的取值范圍是2,)(16分)解后反思 本題第(2)問是根據(jù)必要條件來解題,由數(shù)列kn為等比數(shù)列,得出前三項成等比,求出1,但要注意要證明當(dāng)1時,數(shù)列kn為等比數(shù)列；第(3)問,證明當(dāng)n時,0,這里用代數(shù)方法嚴(yán)格證明,要認(rèn)真地體會