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高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第22練 ??嫉倪f推公式問題的破解方略 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第22練 ??嫉倪f推公式問題的破解方略 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第22練常考的遞推公式問題的破解方略題型分析·高考展望利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考中??碱}型,掌握常見的一些變形技巧是解決此類問題的關(guān)鍵一般這類題目難度較大,但只要將已知條件轉(zhuǎn)化為幾類“模型”,然后采用相應(yīng)的計(jì)算方法即可解決體驗(yàn)高考1(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a11,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an_.答案3n1解析由3S1,2S2,S3成等差數(shù)列知,4S23S1S3,可得a33a2,公比q3,故等比數(shù)列通項(xiàng)ana1qn13n1.2(2015·課標(biāo)全國(guó))設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a11,an1SnSn1,則Sn_.答案解析由題意,得S1a11,又由an1SnSn1,得Sn1SnSnSn1,因?yàn)镾n0,所以1,即1,故數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,得1(n1)n,所以Sn.3(2015·江蘇)設(shè)數(shù)列an滿足a11,且an1ann1(nN*),則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_答案解析a11,an1ann1,a2a12,a3a23,anan1n,將以上n1個(gè)式子相加得ana123n,即an.令bn,故bn2,故S10b1b2b102.4(2016·課標(biāo)全國(guó)丙)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an,其中0.(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5,求.(1)證明由題意,得a1S11a1,故1,a1,a10.由Sn1an,Sn11an1,得an1an1an,即an1(1)an,由a10,0得an0,所以.因此an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是ann1.(2)解由(1)得Sn1n.由S5,得15,即5.解得1.高考必會(huì)題型題型一利用累加法解決遞推問題例1(1)在數(shù)列an中,a11,anan1,則an等于()A2B1C.D2答案A解析anan1,a2a1,a3a2,a4a3,anan1(n>1),以上各式左右兩邊分別相加得ana111,ana112,又a11適合上式,an2,故選A.(2)在數(shù)列an中,已知a12,an1ancn(nN*,常數(shù)c0),且a1,a2,a3成等比數(shù)列求c的值;求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解由題意知,a12,a22c,a323c,a1,a2,a3成等比數(shù)列,(2c)22(23c),解得c0或c2,又c0,故c2.當(dāng)n2時(shí),由an1ancn,得a2a1c,a3a22c,anan1(n1)c,以上各式相加,得ana112(n1)cc.又a12,c2,故ann2n2(n2),當(dāng)n1時(shí),上式也成立,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2n2(nN*)點(diǎn)評(píng)由已知遞推關(guān)系式,若能轉(zhuǎn)化為an1anf(n),或f(n)且f(n)的和可求,則可采用累加法變式訓(xùn)練1在數(shù)列an中,a11,an1anln(1),則an等于()A1nln nB1nln nC1(n1)ln nD1ln n答案D解析a11,an1anln(1),an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1ln(1)ln(1)ln(11)1ln(×××2)11ln n.題型二利用累乘法解決遞推問題例2(1)已知a11,則an_.(2)已知數(shù)列an中,a11,n(nN*),則a2 016_.答案(1)(2)2 016解析(1),×××××××××××.即,又a11,an,而a11也適合上式,an的通項(xiàng)公式為an.(2)由n(nN*),得,各式相乘得n,ann(n1適合),a2 0162 016.點(diǎn)評(píng)若由已知遞推關(guān)系能轉(zhuǎn)化成f(n)的形式,且f(n)的前n項(xiàng)積能求,則可采用累乘法注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)公式變式訓(xùn)練2數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan (n2),且a11,a22,則an的通項(xiàng)公式an_.答案解析Sn1an1 (n3),SnSn1anan1,ananan1,.當(dāng)n3時(shí),···2····,n1,an(n1)·a22(n1)(n3)a22滿足an2(n1),an題型三構(gòu)造法求通項(xiàng)公式例3(1)已知數(shù)列an,a12,an(n2),則an_.(2)已知a11,an1,則an_.答案(1)(2)解析(1)由an兩邊取倒數(shù)得1,數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列,(n1)n.an.(2)由an1,得1(常數(shù)),又1,為以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,n,從而an,即所求通項(xiàng)公式為an.點(diǎn)評(píng)構(gòu)造法就是利用數(shù)列的遞推關(guān)系靈活變形,構(gòu)造出等差、等比的新數(shù)列,然后利用公式求出通項(xiàng)此類問題關(guān)鍵在于條件變形:在“ancan1b”的條件下,可構(gòu)造“anxc(an1x)”在“an”的條件下,可構(gòu)造“”變式訓(xùn)練3已知數(shù)列an中,a12,當(dāng)n2時(shí),an,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解因?yàn)楫?dāng)n2時(shí),an1,兩邊取倒數(shù),得.即,故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列所以(n1).所以an.又當(dāng)n1時(shí),上式也成立,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(nN*)高考題型精練1數(shù)列an滿足a11,a2,且(n2),則an等于()A.B()n1C()nD.答案D解析由題意知是等差數(shù)列,又1,公差為d,(n1)×,an,故選D.2已知數(shù)列an中,a11,且3(nN*),則a10等于()A28 B33 C. D.答案D解析由已知3(nN*),所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,即1(n1)×33n2,解得an,a10,故選D.3已知數(shù)列an中,a1,an1an(nN*),則數(shù)列an的通項(xiàng)為()AanBanCanDan答案B解析由an1an可得,an1an,所以a2a1,a3a2,a4a3,anan1,累加可得ana1,又a1,所以an,故選B.4已知f(x)log21,anf()f()f(),n為正整數(shù),則a2 016等于()A2 015 B2 009 C1 005 D1 006答案A解析因?yàn)閒(x)log21,所以f(x)f(1x)log21log212.所以f()f()2,f()f()2,f()f()2,由倒序相加,得2an2(n1),ann1,所以a2 0162 01612 015,故選A.5已知數(shù)列an滿足a11,an1ann2n(nN*),則an為()A.2n11B.2n1C.2n11D.2n11答案B解析an1ann2n,an1ann2n.ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1(12)(222)(n1)2n11123(n1)(2222n1)12n1.6已知數(shù)列an滿足a11,anan12n(n2),則a7等于()A53 B54C55 D109答案C解析anan12n(n2),a2a14,a3a26,a4a38,a7a614,以上各式兩邊分別相加得a7a14614,a7155.7數(shù)列an中,a11,an2·3n1an1(n2),則an_.答案3n2解析因?yàn)閍n2·3n1an1(n2),所以anan12·3n1(n2),由疊加原理知ana12(332333n1)(n2),所以ana1213n33n2(n2),因?yàn)閍11也符合上式,故an3n2.8若數(shù)列an滿足an3an12(n2,nN*),a11,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.答案2×3n11解析設(shè)an3(an1),化簡(jiǎn)得an3an12,an3an12,1,an13(an11)a11,a112,數(shù)列an1是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,an12×3n1,an2×3n11.9若數(shù)列an滿足a11,且an14an2n,則通項(xiàng)an_.答案22n12n1解析an14an2n,設(shè)bn,則bn12bn,bn12(bn),即2,又b11,bn是等比數(shù)列,其中首項(xiàng)為1,公比為2,bn2n1,即bn2n1,即2n1,an2n(2n1)22n12n1.10數(shù)列an滿足an1,a82,則a1_.答案解析an1,an1111(1an2)an2,周期T(n1)(n2)3.a8a3×22a22.而a2,a1.11數(shù)列an滿足a11,a22,an22an1an2.(1)設(shè)bnan1an,證明bn是等差數(shù)列;(2)求an的通項(xiàng)公式(1)證明由an22an1an2,得bn1bnan22an1an2an1an22an1an2,又b1a2a11,bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列(2)解由(1)得bn2n1,于是an1an2n1,an(a2a1)(a3a2)(anan1)a113(2n3)1(n1)21,而a11也符合,an的通項(xiàng)公式an(n1)21.12已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn12Snn1(nN*)(1)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列nann的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由已知,Sn12Snn1(nN*), 當(dāng)n2時(shí),Sn2Sn1n,兩式相減得,an12an1,于是an112(an1)(n2)當(dāng)n1時(shí),S22S111,即a1a22a111,所以a23,此時(shí)a212(a11),且a1120,所以數(shù)列an1是首項(xiàng)為a112,公比為2的等比數(shù)列所以an12·2n1,即an2n1(nN*)(2)令cnnann,則cnn·2n,于是Tn1·212·22n·2n,2Tn1·22(n1)·2nn·2n1,兩式相減得,Tn2222nn·2n1n·2n1(1n)·2n12,所以Tn(n1)·2n12.

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本文(高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題5 數(shù)列、推理與證明 第22練 ??嫉倪f推公式問題的破解方略 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題)為本站會(huì)員(文***)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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