高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測（十三）圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理（重點(diǎn)生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題跟蹤檢測（十三） 圓錐曲線的方程與性質(zhì) 一、全練保分考法——保大分 1．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B． C. D． 解析：選B　不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)B(0，b)和一個焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選B． 2．(2019屆高三·湖南長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B．

2、 C．2 D． 解析：選C　依題意，設(shè)雙曲線的漸近線y＝x的傾斜角為θ，則有3θ＝π，θ＝，＝tan ＝，雙曲線C的離心率e＝ ＝2. 3．(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(b>0)的一個焦點(diǎn)與拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x 解析：選B　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)是(2,0)，即雙曲線－＝1的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)，則c＝2，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以3＋b＝22，即b＝1，于是雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 4．(2018·昆明調(diào)研)過拋物線C：y2＝2px(

3、p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若|MN|＝|AB|，則l的傾斜角為(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 解析：選B　分別過A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，Q，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NQ|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因為|MN|＝|AB|，所以|NQ|＝|MN|，所以∠MNQ＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°. 5．(2018·南

4、昌模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為(　　) A. B． C．1 D． 解析：選B　如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的點(diǎn)，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.設(shè)|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，則在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化

5、簡得(2－)a＋(2＋)a＝4c2，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，∴＋＝4， 又＋≥2＝， ∴≤4，即e1·e2≥， ∴橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為. 6．(2018·長春質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D． 解析：選A　不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長F1H交PF2于點(diǎn)M，由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M，故△PF1M為等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H為F1M的中點(diǎn)，所以O(shè)

6、H為△MF1F2的中位線，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1. 7．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點(diǎn)，則|AB|＝________. 解析：拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.從而橢圓E的半焦距c＝2.可設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，因為離心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由題意知|AB|＝＝2×＝6. 答案：6 8．(2018·南寧模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，

7、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4，1)，則橢圓的離心率是________． 解析：設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)， 因為AB的中點(diǎn)M(－4,1)， 所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2. 易知直線AB的斜率k＝＝1. 由兩式相減得， ＋＝0， 所以＝－·，所以＝， 于是橢圓的離心率e＝＝＝. 答案： 9．(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點(diǎn)，過其中一個焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是________．

8、 解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點(diǎn)F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立 解得即M.因為點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故2＋2b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B，若△BF1F2的周長為6，且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為 B． (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)A1，A2是橢圓C長軸的兩個端點(diǎn)，P是橢圓C上不同于A1

9、，A2的任意一點(diǎn)，直線A1P交直線x＝m于點(diǎn)M，若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，求實數(shù)m的值． 解：(1)由題意得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)， 則2a＋2c＝6.① 直線BF2的方程為bx＋cy－bc＝0， 所以＝b，即2c＝a.② 又a2＝b2＋c2，③ 所以由①②③可得a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)不妨設(shè)A1(－2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)， 則直線A1P的方程為y＝(x＋2)， 所以M. 又點(diǎn)P在橢圓C上，所以y＝3. 若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2，則A2M⊥A2P， 即·＝0， 所以·(x0－2，y0) ＝(

10、m－2)(x0－2)＋(m＋2) ＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2) ＝(x0－2)＝0. 又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1，A2，所以x0≠±2， 所以m－＝0，解得m＝14. 11．(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，長為＋1的線段的兩端點(diǎn)C，D分別在x軸、y軸上滑動，＝ .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，＝＋，當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時，求四邊形AOBM的面積． 解：(1)設(shè)C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． 由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， 所以得 由| |＝＋1，得m2＋n2＝(＋1

11、)2， 所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲線E的方程為x2＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＝＋，知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)． 由題意知，直線AB的斜率存在． 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1， 代入曲線E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－. y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. 由點(diǎn)M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1， 解得k2＝2. 所以|AB|＝|x1－x2| ＝＝， 又原點(diǎn)到直線AB的距離d＝＝， 所以平行四邊形OAMB的面積S＝|AB|·d＝.

12、 12．(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)已知短軸長為2的橢圓E：＋＝1(a>b>0)，直線n的橫、縱截距分別為a，－1，且原點(diǎn)O到直線n的距離為. (1)求橢圓E的方程； (2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)C滿足＋ －2 ＝0，求直線l的方程． 解：(1)∵橢圓E的短軸長為2，∴b＝1. 依題意設(shè)直線n的方程為－y＝1， 由＝，解得a＝， 故橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 當(dāng)直線l的斜率為0時，顯然不符合題意． 當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時，F(xiàn)(，0)，設(shè)直線

13、l的方程為x＝ty＋， 由消去x，得(t2＋3)y2＋2ty－1＝0， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，① ∵＋ －2＝0， ∴x3＝x1＋x2，y3＝y(tǒng)1＋y2， 又點(diǎn)C在橢圓E上， ∴＋y＝2＋2＝＋＋＝1， 又＋y＝1，＋y＝1， ∴x1x2＋y1y2＝0，② 將x1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1， 即t＝1或t＝－1. 故直線l的方程為x＋y－＝0或x－y－＝0. 二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開分 1．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|

14、PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A. B．2 C. D． 解析：選C　法一：不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x， 則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b. 在Rt△F2PO中，|F2O|＝c， 所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a， 又|F1O|＝c，所以在△F1PO與Rt△F2PO中， 根據(jù)余弦定理得 cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－， 即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝. 法二：如圖，過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形．因為|F2P|

15、＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝. 2．(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1，橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為(　　) A．(1,6) B．(1,5) C．(3,6) D．(3,5) 解析：選D　由于橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點(diǎn)P，所以解得3

16、，則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為＋y0y＝1，圓C在P處的切線方程為x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)． 3．(2019屆高三·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)一條動直線l與拋物線C：x2＝4y相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝2，則(－)2－42的最大值為(　　) A．24 B．16 C．8 D．－16 解析：選B　由＝2知G是線段AB的中點(diǎn)， ∴＝(＋)， ∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·. 由A，B是動直線l與拋物線C：x2＝4y的交點(diǎn)， 不妨設(shè)A，B， ∴－4·＝－4 ＝－4＝16－42≤16， ∴(－)2－42的最

17、大值為16. 4．(2018·合肥檢測)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＝3|FB|.直線l1，l2分別過點(diǎn)A，B，且與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點(diǎn)M，N(M，N分別在點(diǎn)A，B的右側(cè))，分別作∠ABN和∠BAM的角平分線并相交于點(diǎn)P，則△PAB的面積為(　　) A. B． C. D． 解析：選C　因為拋物線方程為y2＝4x，所以其焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上方，過點(diǎn)B向l1作垂線，垂足為C.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，因為|AF|＝3|FB|，所以xA＋1＝3(xB＋1)，所以x

18、A－xB＝2(xB＋1)＝2|FB|，所以cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝60°，因為AP，BP分別為∠BAM與∠ABN的角平分線，所以∠BAP＝60°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝90°，所以|AP|＝2|FB|＝2xB＋2，所以S△PAB＝|AP||AB|sin 60°＝×2(xB＋1)×4(xB＋1)×＝2(xB＋1)2.由∠BAC＝60°，F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y＝－(x－1)，聯(lián)立解得x＝或x＝3，易知xB＝，所以S△PAB＝2×2＝. 5．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，雙曲線以A，B為焦點(diǎn)，且與線段CD(包括端點(diǎn)C，D)有

19、兩個交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________． 解析：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(－2,0)，B(2,0)，C(1，)．設(shè)以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則c＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝4－a2，當(dāng)x＝1時，y2＝a2＋－5.要使雙曲線與線段CD(包括端點(diǎn)C，D)有兩個交點(diǎn)，則a2＋－5≥3，解得a2≥4＋2或0＜a2≤4－2，由a2≥4＋2得a≥＋1＞2，舍去，∴a2≤4－2，即0＜a≤－1.∴雙曲線的離心率e＝≥＝＋1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是[＋1，＋∞

20、)． 答案：[＋1，＋∞) 6．(2018·洛陽統(tǒng)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P(x0，y0)是雙曲線C右支上的一點(diǎn)，連接PF1并過F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R，Q，其中R(－x0，－y0)，△QF1P為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為________． 解析：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP，OR，F(xiàn)2P，F(xiàn)2R， 因為P，R關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以|OP|＝|OR|， 又|OF1|＝|OF2|，PF1⊥RQ， 故四邊形F1RF2P為矩形． 設(shè)|PF1|＝m，由雙曲線的定義，得|PF2|＝m－2a. 法一：因為△QF1P為等腰直角三角

21、形， 所以|QF1|＝|PF1|＝m，|PQ|＝m， 連接QF2，則|QF2|＝m＋2a. 在△QPF2中，∠QPF2＝45°＋90°＝135°， 由余弦定理得(m＋2a)2＝(m－2a)2＋(m)2－2(m－2a)·m·cos 135°，化簡得m＝3a. 在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c， 所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝， 即雙曲線的離心率為. 法二：因為△QF1P為等腰直角三角形， 所以|QF1|＝|PF1|＝m，連接QF2， 則在Rt△QRF2中，|RQ|＝2m－2a， |RF2|＝m，|QF2|＝m＋2a， 由勾股定理得(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2， 化簡得m＝3a. 在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c， 所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝， 即雙曲線的離心率為. 答案：