高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(cè)（九）空間幾何體的三視圖、表面積與體積 理（重點(diǎn)生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題跟蹤檢測(cè)（九） 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 一、全練保分考法——保大分 1．已知長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為2的矩形，則該長(zhǎng)方體的正視圖的面積等于(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B. C．2 D．2 解析：選C　依題意得，題中的長(zhǎng)方體的正視圖和側(cè)視圖的高都等于，正視圖的長(zhǎng)是，因此相應(yīng)的正視圖的面積等于×＝2. 2.將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選B　由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①所示，故其側(cè)視

2、圖為圖②. 3．若將半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為(　　) A.πR3 B.πR3 C.πR3 D.πR3 解析：選A　設(shè)該圓錐的底面半徑為r，則2πr＝πR，∴r＝，∴h＝.因此V＝πr2h＝πR3. 4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為棱DD1上的點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，則三棱錐B1-BFE的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由等體積法可知VB1-BFE＝VE-BFB1＝S△BB1F·AD＝×1××1＝. 5．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　

3、　) A．25π B．24π C．28π D．32π 解析：選C　由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面半徑為r，周長(zhǎng)為c，圓錐母線長(zhǎng)為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 6．(2019屆高三·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：選C　所求幾何體可看作是將長(zhǎng)方體截去兩個(gè)三棱柱得到的，在長(zhǎng)方體中還原該幾何體如圖中ABCD-A′B′C′D′所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、

4、寬、高分別為4,2,3，兩個(gè)三棱柱的高為2，底面是兩直角邊長(zhǎng)分別為3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積V＝4×2×3－2××3××2＝15. 7．(2018·開封模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　由三視圖知該幾何體底面扇形的圓心角為120°，即該幾何體是某圓錐的三分之一部分，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，所以該幾何體的體積V＝××π×22×4＝π. 8．(2018·沈陽(yáng)質(zhì)監(jiān))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，則該幾何體的體積

5、為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由三視圖可得該幾何體為半圓錐，底面半圓的半徑為2，高為2，則其體積V＝××π×22×2＝. 9．(2018·武漢調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D．3 解析：選D　由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，記為A-BCD，將其放入棱長(zhǎng)為3的正方體中，如圖，則VA-BCD＝××2×3×3＝3. 10.如圖，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，則多面體E-ABCD的外接球的表

6、面積為(　　) A. B．8π C．16π D．64π 解析：選C　由題知△EAB為等邊三角形，設(shè)球心為O，O在平面ABCD的射影為矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影為△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，則△OGA為直角三角形，OG＝1，AG＝，所以R2＝4，所以多面體E-ABCD的外接球的表面積為4πR2＝16π. 11．(2018·昆明調(diào)研)古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成．一個(gè)“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體)的體積為(　　) A．63π B．72π C

7、．79π D．99π 解析：選A　由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為π×32×5＋×π×33＝63π. 12．(2019屆高三·武漢調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則它的表面積為(　　) A．28 B．24＋2 C．20＋4 D．20＋2 解析：選B　根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖如圖所示，可以看出該幾何體是一個(gè)底面是梯形的四棱柱．根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)，可得該幾何體中梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為3，高為2，所以該幾何體的表面積S＝×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×＝24＋2.

8、13．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的外接球的表面積等于________． 解析：由三視圖可得該幾何體的外接球等同于長(zhǎng)、寬、高分別為5,3,3的長(zhǎng)方體的外接球，故此幾何體的外接球的表面積S＝π(52＋32＋32)＝43π. 答案：43π 14．已知一個(gè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均等于2，它的俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，那么它的側(cè)視圖的面積的最小值是________． 解析：如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，當(dāng)CD⊥AB，C1D1⊥A1B1時(shí)，側(cè)視圖的面積最小，此時(shí)D，D1分別是AB，A1B1的中點(diǎn)．易得CD＝，則側(cè)視圖面積的最小值為2×＝2. 答案：2 15．一個(gè)幾何體

9、的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析：根據(jù)三視圖還原幾何體，其是由一個(gè)長(zhǎng)方體被挖去半個(gè)圓錐后形成的， 如圖所示，因此所求的幾何體的體積V＝2×1×2－××π×12×2＝4－＝. 答案： 16.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅?zhǔn)侵麛?shù)學(xué)家祖沖之之子，祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任意一平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．其著名的應(yīng)用是解決了“牟和方蓋”中的體積問題．核心過程：如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)R為2，若圖中四分之一圓柱體BB1C1-AA1

10、D1和四分之一圓柱體AA1B1-DD1C1的公共部分的體積為V，用平行于正方體上下底面的平面EFGH在高度h處去截兩個(gè)四分之一圓柱體的公共部分，截得的面積為S1，截正方體所得面積為S2，截錐體C1-ABCD所得面積為S3，S1＝R2－h(huán)2，S2＝R2，S2－S1＝S3，則V的值為________． 解析：由祖暅原理易得正方體ABCD-A1B1C1D1除去兩個(gè)四分之一圓柱體的公共部分后所得幾何體的體積等于四棱錐C1-ABCD的體積， 所以V＝23－×2×22＝. 答案： 二、強(qiáng)化壓軸考法——拉開分 1．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB

11、＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B.π C．6π D.π 解析：選B　要使球的體積V最大，必須使球的半徑R最大．當(dāng)球與三棱柱的三個(gè)側(cè)面都相切時(shí)，球的半徑為＝2，這時(shí)球的直徑大于三棱柱的高，不符合題意．當(dāng)球與直三棱柱的上下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，此時(shí)球的體積為πR3＝π×3＝π. 2．(2018·南寧模擬)三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐P-ABC的外接球的體積為(　　) A.π B.π C．27π D．27π 解析：選B　∵在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝P

12、B＝PC＝3， ∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥P B.以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球．∵正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝3，∴其外接球半徑R＝.因此三棱錐P-ABC的外接球的體積V＝×3＝π. 3．(2019屆高三·洛陽(yáng)第一次聯(lián)考)已知球O與棱長(zhǎng)為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π 解析：選A　將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對(duì)角線，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4，所以正方體的棱長(zhǎng)為2.因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所

13、以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑2R＝2，則球O的體積V＝πR3＝π. 4.(2018·唐山模擬)把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)(皮球不變形)，則皮球的半徑為(　　) A．10 cm B．10 cm C．10 cm D．30 cm 解析：選B　依題意，在四棱錐S-ABCD中，所有棱長(zhǎng)均為20 cm，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，則SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知點(diǎn)O到AB，BC，CD，AD的距離均為10 cm，在等腰三角形OAS中，OA＝OS＝10 cm，AS＝20 cm，所以O(shè)到

14、SA的距離d＝10 cm，同理可證O到SB，SC，SD的距離也為10 cm，所以球心為四棱錐底面ABCD的中心，所以皮球的半徑r＝10 cm. 5.某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)是(　　) A. B. C. D．3 解析：選A　由三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱錐D-ABC，如圖，將其置于長(zhǎng)方體中，該長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2.所以AB＝1，AC＝，BC＝，CD＝，DA＝2，BD＝，因此最長(zhǎng)棱為BD，棱長(zhǎng)是. 6．(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O，半徑為R的球面上，AB＝6，BC＝2，且四棱

15、錐O-ABCD的體積為8，則R等于(　　) A．4 B．2 C. D. 解析：選A　如圖，設(shè)矩形ABCD的中心為E，連接OE，EC，由球的性質(zhì)可得OE⊥平面ABCD，所以VO-ABCD＝·OE·S矩形ABCD＝×OE×6×2＝8，所以O(shè)E＝2，在矩形ABCD中，可得EC＝2，則R＝＝＝4. 7．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝2，點(diǎn)M在平面ACB1內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則線段BM的最小值為(　　) A. B. C. D．3 解析：選C　線段BM的最小值即點(diǎn)B到平面ACB1的距離h.在△ACB1中，AC＝B1C＝，AB1＝2，所以AB1邊上的高為

16、＝，所以S△ACB1＝×2×＝.又三棱錐B-ACB1的體積VB-ACB1＝VA-BB1C＝××2×1×2＝，所以VB-ACB1＝×h＝，所以h＝. 8．(2019屆高三·南昌調(diào)研)已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC滿足AB＝2，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點(diǎn)P到底面ABC的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選B　取AB的中點(diǎn)O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O(shè)1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，所以O(shè)A＝2，所以O(shè)O1＝＝，且OO

17、1⊥底面ABC，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為2OO1＝2. 9．某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為________． 解析：依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，設(shè)其直角邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)為a，圓錐的底面半徑為a、母線長(zhǎng)為a，因此其俯視圖中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a、短軸長(zhǎng)為a，其離心率e＝＝. 答案： 10．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________． 解析：在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·S

18、A2＝8， 解得SA＝4.設(shè)圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r＝2，h＝2，所以圓錐的體積為πr2·h＝π×(2)2×2＝8π. 答案：8π 11．如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則平面CBF將幾何體EFABCD分成的三棱錐與四棱錐的體積的比為________． 解析：由題意可知，平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為V四棱錐F-ABCD，V三棱錐F-CBE.過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G(圖略)，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平

19、面ABCD∩平面ABEF＝AB，F(xiàn)G?平面ABEF，所以FG⊥平面ABC D.所以V四棱錐F-ABCD＝×1×2×FG＝FG，V三棱錐F-BCE＝V三棱錐C-BEF＝×S△BEF×CB＝××FG×1×1＝FG，由此可得V三棱錐C-BEF∶V四棱錐F-ABCD＝1∶4. 答案：1∶4 12．(2018·開封模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD的外接球的表面積為________． 解析：如圖(1)，在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，則BD＝DC＝1，AD＝.在翻折后所得的幾何體中，如圖(2)，AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，則AD⊥平面BCD，三棱錐A-BCD的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，球心到截面BCD的距離d＝AD＝.在△BCD中，BC＝，則由余弦定理，得cos∠BDC＝＝＝－，所以∠BDC＝120°.設(shè)球的半徑為R，△BCD的外接圓半徑為r，則由正弦定理，得2r＝＝＝2，解得r＝1，則球的半徑R＝＝＝，故球的表面積S＝4πR2＝4π×2＝7π. 答案：7π